例：求函数 xexf =)( 在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平
方逼近误差 2
2
δ ，小数点后保留 5位.
解：（解法 1） 使用 Legendre正交多项式
作变换 )1(
2
1
22
tabtbax +=−++= ，则
]1,0[,)( ∈= xexf x ⇔ ]1,1[,)( 2
1
−∈=
+
tetF
t
已知 Legendre多项式
)13(
2
1)(,)(,1)( 2210 −=== ttpttptp
在[−1,1]上关于权函数 1)( =xρ 两两正交，于是相应的正规方程组为
=
),(
),(
),(
),(
),(
),(
2
1
0
*
2
*
1
*
0
22
11
00
Fp
Fp
Fp
c
c
c
pp
pp
pp
解得
9535
5/2
3814
),(
),(
93
3/2
62
),(
),(
1
2
)1(2
),(
),(
22
2*
2
11
1*
1
00
0*
0
−=
−
==
+−=
+−
==
−=
−
==
ee
pp
Fpc
ee
pp
Fpc
ee
pp
Fpc
故 )11()( 2
1
≤≤−=
+
tetF
t
的最佳二次平方逼近多项式为
)()()()( 2*21*10*0* tpctpctpct ++=ϕ
)10()( ≤≤= xexf x 的最佳二次平方逼近多项式为
01299.185113.083918.0
10539)588216()570210(
)1)12(3(
2
1)12()(
2
2
2*
2
*
1
*
0
*
++=
−++−+−=
−−+−+=
xx
exexe
xcxccxϕ
对 F(t)的平方逼近误差为
∑
=
−=−=
2
0
*2
2
2
2
*2
2
),()()(
i
ii pFcFttF ϕδ
)]3814()9535()62()93()22()1[()(
1
1
22
1
−×−++−×+−+−×−−= ∫−
+
eeeeeedte
t
)]197()9535()3()93()1()1[(2)(2
1
0
2 −×−++−×+−+−×−−= ∫ eeeeeedxex
52 1056709.536672700497 −×≈−+−= ee
注意作变换 )1(
2
1
22
tabtbax +=−++= 后，有
dtttFabdxxxf 2*
1
1
2*1
0
)]()([
2
)]()([ ϕϕ −−=− ∫∫ −
因此，对 f(x)的平方逼近误差为
52
2
*2
2
*2
2
10783545.2)()(
2
1)()( −×≈−=−= ttFxxf ϕϕδ .
（解法 2） 构造[0,1]上首项系数为 1的正交多项式的前三项. 设
cbxxxaxxx ++=+== 2210 )(,)(,1)( ϕϕϕ
由正交性 0)(1),(
1
010
=+⋅= ∫ dxaxϕϕ 可解出 2
1
−=a . 又由正交性
0)(1),(
1
0
2
20 =++⋅= ∫ dxcbxxϕϕ
0)()(),(
1
0
2
21 =++⋅+= ∫ dxcbxxaxϕϕ
可解出
6
1,1 =−= cb ，正规方程组为
=
=
=
),(),(
),(),(
),(),(
222
*
2
111
*
1
000
*
0
fc
fc
fc
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
计算可得
1),( 00 =ϕϕ ， 12
1),( 11 =ϕϕ ， 180
1),( 22 =ϕϕ
1),( 0 −= ef ϕ ， 2
3),( 1
ef −=ϕ ，
6
197),( 2
−
=
ef ϕ
于是解得 570210,618,1 *2
*
1
*
0 −=−=−= ececec ．
)10()( ≤≤= xexf x 的最佳二次平方逼近多项式为
01299.185113.083918.0
10539)588216()570210(
)()()()(
2
2
2
*
21
*
10
*
0
*
++=
−++−+−=
++=
xx
exexe
xcxcxcx ϕϕϕϕ
平方逼近误差为
∑
=
−=−=
2
0
*2
2
2
2
*2
2
),()(
i
ii fcffx ϕϕδ
52 102.7835455.183313505.248 −×≈−+−= ee
（解法 3） 使用线性无关函数族 2210 )(,)(,1)( xxxxx === ϕϕϕ ，
相应的正规方程组为
=
),(
),(
),(
),(),(),(
),(),(),(
),(),(),(
2
1
0
2
1
0
221202
211101
201000
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
f
f
f
a
a
a
亦即
−
−
=
2
1
1
5
1
4
1
3
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
11
2
1
0
e
e
a
a
a
解得 0.83918,85113.0,1.01299 210 === aaa ，所求最佳平方逼近多项式为
01299.185113.083918.0)()()()( 2221100
* ++=++= xxxaxaxax ϕϕϕϕ
平方逼近误差为 5
2
0
2
2
2
22
2
2
102.783545),()( −
=
×≈−=−= ∑
i
ii fafpfx ϕδ .
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