数学分析课后答案

数学分析课后答案数学分析答案第一章实数集与函数§1实数1、设a为有理数，x为无理数，试证明：⑴xa是无理数.⑵当0a时，ax是无理数.证：⑴假设xa是有理数，则xaxa)(是有理数，这与题设x为无理数相矛盾，故xa是无理数.⑵假设ax是有理数，则xaax为有理数，这与题设x为无理数相矛盾故ax是无理数.1、试在数轴上表示出下列不等式的解：⑴0)1(2xx；⑵⑶2、设a、Rb.证明：若对任何正数有ba，则ba.证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有ba或ba;若ba,则又...

数学分析答案第一章实数集与函数§1实数1、设a为有理数，x为无理数，试证明：⑴xa是无理数.⑵当0a时，ax是无理数.证：⑴假设xa是有理数，则xaxa)(是有理数，这与题设x为无理数相矛盾，故xa是无理数.⑵假设ax是有理数，则xaax为有理数，这与题设x为无理数相矛盾故ax是无理数.1、试在数轴上表示出下列不等式的解：⑴0)1(2xx；⑵⑶2、设a、Rb.证明：若对任何正数有ba，则ba.证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有ba或ba;若ba,则又由绝对值定义知:baba.令ba,则为正数,但这与baba矛盾;若ba,则又由绝对值定义知:abba.令ab,则为正数,但这与abba矛盾;从而必有ba.3、设0x,证明21xx,并说明其中等号何时成立.证:因x与x1同号,从而21211xxxxxx,等号当且仅当xx1,即1x时成立.数学分析答案4、证明:对任何Rx,有⑴121xx；⑵2321xxx证:⑴因为21111xxx,所以121xx.⑵因为21132xxxx,所以2321xxx5、设a、b、Rc(R表示全体正实数的集合),证明:cbcaba2222证:对任意的正实数a、b、c有)(22222cbabca,两端同时加244cba,有224222222242cbacababcacba,即))(()(222222cababcabccabaa2))((2222222,两端再同加22cb,则有cbcaba2222其几何意义为:当cb时,以),(ba,),(ca,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边.当cb时,此三角形变为以),(ca,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、设0,0bx,且ba,证明xbxa介于1与ba之间.证:因为xbabxbxa1,)()(xbbabxbaxbxa,且0,0bx所以当ba时,baxbxa1;当ba时,1xbxaba;故xbxa总介于1与ba之间.数学分析答案7、设p为正整数,证明:若p不是完全平方数,则p是无理数证:假设p是有理数,则存在正整数m、n使nmp，且m与n互素.于是22mpn.可见n能整除2m.由于m与n互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u、v使1nvmu.从而mmnvum2因n能整除2m,又能整除mnv,故能整除其和,于是n可整除m,这样1n因此2mp.这与p不是完全平方数相矛盾,故p是无理数8、设a与b为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：⑴bxax；⑵bxax；⑶bax2.解:⑴原不等式等价于11bxba这又等价于20bxba即bxbabx220或bxbabx220即babaxbx2或babaxbx2故当ba时,不等式的解为2bax当ba时,不等式的解为2bax当ba时,不等式无解.⑵原不等式等价于bxaxbx且bxxabx即babx且2baxbx故当ba时,21bx;当ba时,不等式无解.数学分析答案⑶当0b时,显然原不等式无解,当0b时原不等式等价于baxba2因此①当0ba或0b时,无解②当0ba且0b时,有解Ⅰ如果ba,则解为baxba即baxba或baxbaⅡ如果ba,则解为bax即baxba

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