【高考数学】1981年试题及解析答案(理工农医类)一、设A
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示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.[Key]一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={},或A∩B=空集.)二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.[Key]二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.[Key]三、解:(1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.[Key]四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解不等式(x为未知数):[Key]五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.[Key]所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060[Key]七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10,10×1.02,10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.[Key]八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.[Key]九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1,(i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0,(ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,(iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:(2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n≥3).[Key]十、证法一:通项公式可写为uk=ak-ak-1b+ak-2b2-…+(-1)kbk因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证un=un-1+un-2成立,只要证明an+1-(-1)n+1bn+1=an-(-1)nbn+an-1-(-1)n-1bn-1,即an-1·a2-(-1)n-1bn-1·b2=an-1·a+(-1)n-1bn-1·b+an-1-(-1)n-1bn-1,或或上式确是等式,故证得un=un-1+un-2.
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