将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦•一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移;【解题思路】找对称点，实现折转直、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线I上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q,Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处,PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。证明：连接AB，与直线l的交点Q,P为直线I上任意一点,在"PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB仝AB（当且仅当PQ重合时取=）例2：在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线I的对称点C,连接AC,与直线I的交点Q即为所要寻找的点,即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线I的交点Q，P为直线I上任意一点，在"PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC仝AC（当且仅当PQ重合时取=）2.两动一定型例3:在/MON的内部有一点A，在0M上找一点B,在ON上找一点C,使得△BAC周长最短.作法：作点A关于0M的对称点A,作点A关于ON的对称点A'',连接AA''与0M交于点B，与ON交于点C,连接AB,AC,△ABC即为所求.原理：两点之间，线段最短例4:在/MON的内部有点A和点B,在OM上找一点C,在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短.作法：作点A关于OM的对称点A，作点B关于ON的对称点B',连接AB，与OM交于点C,与ON交于点D，连接AC,BD,AB，四边形ABCD即为所求.原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线I上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移A作法一：将点A向右平移长度d得到点A'作A'关于直线I的对称点A''连接A'B,交直线I于点N，将点N向左平移长度d,得到点M。作法二：作点A关于直线I的对称点Ai，将点A1向右平移长度d得到点A2,连接A2B,交直线I于点Q,将点Q向左平移长度d,得到点Q。原理：两点之间，线段最短，最小值为AB+MN例6:（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？瞭望台例6:直线li//I2,在直线li上找一个点C,直线I2上找一个点D，使得CD丄12,且AC+BD+CD最短.作法:将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A,连接A'B,交I2于点DC丄12于点C,连接AC•则桥CD即为所求•此时最小值为A'B+CDD，过点D作原理:两点之间，线段最短,4.垂线段最短型例7:在/MON的内部有一点A，在0M上找一点B，在ON上找一点C,使得AB+BC最短.原理：垂线段最短点A是定点，0M,ON是定线，点B、点C是0M、ON上要找的点，是动点.作法：作点A关于0M的对称点A,过点A'作A'C丄ON,交OM于点B,B、C即为所求。例8:在定直线I上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB最小.作法：连接AB，作AB的中垂线与I的交点，即为所求点P此时IPA-PB|=0原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等例9：在定直线I上找一个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大作法：延长BA交I于点C,点C即为所求，即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。原理：三角形任意两边之差小于第三边例10：在定直线I上找一个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大作法：作点B关于I的对称点B,连接AB，交交I于点P即为所求，最大值为AB的长度。原理：三角形任意两边之差小于第三边三角形典型例题1.如图，在等边厶ABC中，AB=6,AD丄BC,E是AC上的一点，M是AD上的一点,且AE=2，求EM+EC的最小值解：点C关于直线AD的对称点是点B,连接BE，交AD于点M,则ME+MD最小，过点B作BH丄AC于点H,则EH=AH-AE=3-2=1,BH=BC2-CH2=.62-32=3,3在直角△BHE中，BE=BH2+HE2=(33)2+12=2,7I2■如圈「在戢角中.昂忆=45°上RAC的平分墟交BC于点D』MN分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是—,解：作点B关于AD的对称总B',过扁B•作BE丄AB于忌E,交AD于庶F「则找段G'E的氏就是BM+的最小倩&WRt-AEB'中』根据勾般是理雕!J.BE-43+r-A0C中,AB=2.Z0AC=3(r.若在AC,AB上各取一庶M,NrBM+MN的值忌小,區烟个最小值解：作AB关于M的对称圾段AB',过扁宙作田N丄AB”垂足九N「交M于薦M,S!lBN=MB'+MN=MB+MNBN的檢就星MB+MN的最小値SSzB'AN=2zBAC=60\ABh=AB=2.zANB'=90°”zB'=30\AN=1在育甫-ABM中.捋据勾股連理B'N=@Part2.正方形1•如骞正方形ABCD的边氏为趴M在DC上，且DM=2」NJtM上的一^札DN+MN的最小值为D即在直线AC上求一原N,便DN+MN最小解：故举成D关于AC的对称点B,连接BM’交ACT^N0则DN+MN=BN+MN=BM线段BM的长就星DN*MN的最小傅中'CM=6,BC=8.则BM=10故DN+MN的最小值是102.如圏所示r正方形ABCD的面积为12.-ABE是等边三驚形，点E在正方册A0CD内,在对甬域AC上有一爲P」便PD十PE的和敬h,5®个翻借为（}A.2-^3B.2^6C.3D.&離:即在AC上叢一扁P（便PE+PD的倩最小翥D关于直线AC的对称劇陆B,连接BE交AC于点P’则BE二PE+PE二PD+PE’BE的氏就是PD+PE的最JMHBE=AB=2\/33.在边氏为2m的正方形ABCD中倚Q为BC边的中点，点P为对角线AC上T區醸PB、PQ,则-PBQ周长的最小值为①（结果不取近似值）.解：在AC上菠一点P「捷PB+PQ的值最小•倆B关于AC的对称爲是D点'.•舷DQ,与胚的交亩P就是满足条件的点DQ=PD+PQ=PB+PQ故DQ的氏就是PB+PQ的最小值在直角-CDQ中.CQ=1rCD=2鹿勾飯禺DQ=
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