最全的递推数列求通项公式方法

--.PAGE--考试 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.解：，，即，…………将以上k个式子相加，得将代入，得，。经检验也适合，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例:已知，，求。解：。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________（key:）变式:（2006..理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列EMBEDEquation.DSMT4即　EMBEDEquation.DSMT4（II）证法一：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4　　　　　　　　　　　　　①EMBEDEquation.DSMT4　　　　　②②－①，得EMBEDEquation.DSMT4即EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4　③－④，得　EMBEDEquation.DSMT4即　EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4是等差数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"证法二：同证法一，得EMBEDEquation.DSMT4令EMBEDEquation.DSMT4得EMBEDEquation.DSMT4设EMBEDEquation.DSMT4下面用数学归纳法证明　EMBEDEquation.DSMT4（1）当EMBEDEquation.DSMT4时，等式成立HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"（2）假设当EMBEDEquation.DSMT4时，EMBEDEquation.DSMT4那么EMBEDEquation.DSMT4这就是说，当EMBEDEquation.DSMT4时，等式也成立HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"根据（1）和（2），可知EMBEDEquation.DSMT4对任何EMBEDEquation.DSMT4都成立HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"EMBEDEquation.DSMT4是等差数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"（III）证明：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4变式:递推式：EMBEDEquation.3。解法：只需构造数列EMBEDEquation.3，消去EMBEDEquation.3带来的差异．类型4EMBEDEquation.3（其中p，q均为常数，EMBEDEquation.3）。（或EMBEDEquation.3,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以EMBEDEquation.3，得：EMBEDEquation.3引入辅助数列EMBEDEquation.3（其中EMBEDEquation.3），得：EMBEDEquation.3再待定系数法解决。例:已知数列EMBEDEquation.3中，EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3，求EMBEDEquation.3。解：在EMBEDEquation.3两边乘以EMBEDEquation.3得：EMBEDEquation.3令EMBEDEquation.3，则EMBEDEquation.3,解之得：EMBEDEquation.3所以EMBEDEquation.3变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列EMBEDEquation.DSMT4的前EMBEDEquation.DSMT4项的和EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4（Ⅰ）求首项EMBEDEquation.DSMT4与通项EMBEDEquation.DSMT4；（Ⅱ）设EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4，证明：EMBEDEquation.DSMT4解：（I）当EMBEDEquation.3时，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3；当EMBEDEquation.3时，EMBEDEquation.3，即EMBEDEquation.3，利用EMBEDEquation.3（其中p，q均为常数，EMBEDEquation.3）。（或EMBEDEquation.3,其中p，q,r均为常数）的方法，解之得：EMBEDEquation.3(Ⅱ)将EMBEDEquation.3代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,EMBEDEquation.DSMT4=eq\f(3,2)EMBEDEquation.DSMT4eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－eq\f(1,2i+1－1))<eq\f(3,2)类型5递推公式为EMBEDEquation.3（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为EMBEDEquation.3其中s，t满足EMBEDEquation.3解法二(特征根法)：对于由递推公式EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3给出的数列EMBEDEquation.3，方程EMBEDEquation.3，叫做数列EMBEDEquation.3的特征方程。若EMBEDEquation.3是特征方程的两个根，当EMBEDEquation.3时，数列EMBEDEquation.3的通项为EMBEDEquation.3，其中A，B由EMBEDEquation.3决定（即把EMBEDEquation.3和EMBEDEquation.3，代入EMBEDEquation.3，得到关于A、B的方程组）；当EMBEDEquation.3时，数列EMBEDEquation.3的通项为EMBEDEquation.3，其中A，B由EMBEDEquation.3决定（即把EMBEDEquation.3和EMBEDEquation.3，代入EMBEDEquation.3，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数——迭加法）:数列EMBEDEquation.3：EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3，求数列EMBEDEquation.3的通项公式。由EMBEDEquation.3，得EMBEDEquation.3，且EMBEDEquation.3。则数列EMBEDEquation.3是以EMBEDEquation.3为首项，EMBEDEquation.3为公比的等比数列，于是EMBEDEquation.3。把EMBEDEquation.3代入，得EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3。把以上各式相加，得EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3。EMBEDEquation.3。解法二（特征根法）：数列EMBEDEquation.3：EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3的特征方程是：EMBEDEquation.3。EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3。又由EMBEDEquation.3，于是EMBEDEquation.3故EMBEDEquation.3例:已知数列EMBEDEquation.3中，EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3，求EMBEDEquation.3。解：由EMBEDEquation.3可转化为EMBEDEquation.3即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3或EMBEDEquation.3这里不妨选用EMBEDEquation.3（当然也可选用EMBEDEquation.3，大家可以试一试），则EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3是以首项为EMBEDEquation.3，公比为EMBEDEquation.3的等比数列,所以EMBEDEquation.3,应用类型1的方法，分别令EMBEDEquation.3，代入上式得EMBEDEquation.3个等式累加之，即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3又EMBEDEquation.3，所以EMBEDEquation.3。变式:（2006，,文,22,本小题满分14分）已知数列EMBEDEquation.DSMT4满足EMBEDEquation.DSMT4（I）证明：数列EMBEDEquation.DSMT4是等比数列；（II）求数列EMBEDEquation.DSMT4的通项公式；（III）若数列EMBEDEquation.DSMT4满足EMBEDEquation.DSMT4证明EMBEDEquation.DSMT4是等差数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"（I）证明：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4是以EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4为首项，2为公比的等比数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"（II）解：由（I）得EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4（III）证明：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4　　　　　　　　①EMBEDEquation.DSMT4　　②②－①，得EMBEDEquation.DSMT4即EMBEDEquation.DSMT4　　　　　③EMBEDEquation.DSMT4　　　　④④－③，得EMBEDEquation.DSMT4即EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4是等差数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"类型6递推公式为EMBEDEquation.3与EMBEDEquation.3的关系式。(或EMBEDEquation.DSMT4)解法：这种类型一般利用EMBEDEquation.3与EMBEDEquation.3消去EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3或与EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3消去EMBEDEquation.3进行求解。例：已知数列EMBEDEquation.3前n项和EMBEDEquation.3.（1）求EMBEDEquation.3与EMBEDEquation.3的关系；（2）求通项公式EMBEDEquation.3.解：（1）由EMBEDEquation.3得：EMBEDEquation.3于是EMBEDEquation.3所以EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3.（2）应用类型4（EMBEDEquation.3（其中p，q均为常数，EMBEDEquation.3））的方法，上式两边同乘以EMBEDEquation.3得：EMBEDEquation.3由EMBEDEquation.3.于是数列EMBEDEquation.3是以2为首项，2为公差的等差数列，所以EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3变式:（2006，,理,20HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项anHYPERLINK"http://wxc.833200.com/"解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"当a1=3时，a3=13，a15=73HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"变式:(2005,,文,22．本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3EMBEDEquation.3求数列{an}的通项公式.解：EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，两边同乘以EMBEDEquation.3，可得EMBEDEquation.3令EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3…………EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3又EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3。EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3类型7EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令EMBEDEquation.3，与已知递推式比较，解出EMBEDEquation.3,从而转化为EMBEDEquation.3是公比为EMBEDEquation.3的等比数列。例:设数列EMBEDEquation.3：EMBEDEquation.3，求EMBEDEquation.3.解：设EMBEDEquation.3，将EMBEDEquation.3代入递推式，得EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3…（１）则EMBEDEquation.3,又EMBEDEquation.3，故EMBEDEquation.3代入（１）得EMBEDEquation.3说明：（1）若EMBEDEquation.3为EMBEDEquation.3的二次式，则可设EMBEDEquation.3;(2)本题也可由EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3（EMBEDEquation.3）两式相减得EMBEDEquation.3转化为EMBEDEquation.3求之.变式:（2006，,文,22,本小题满分14分）已知数列｛EMBEDEquation.3｝中，EMBEDEquation.DSMT4在直线y=x上，其中n=1,2,3…HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"(Ⅰ)令EMBEDEquation.3(Ⅱ)求数列EMBEDEquation.3(Ⅲ)设EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3的前n项和,是否存在实数EMBEDEquation.3，使得数列EMBEDEquation.DSMT4为等差数列？若存在，试求出EMBEDEquation.3HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"若不存在,则说明理由HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"解：（=1\*ROMANI）由已知得EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4又EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4是以EMBEDEquation.DSMT4为首项，以EMBEDEquation.DSMT4为公比的等比数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）知，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4将以上各式相加得：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4（=3\*ROMANIII）解法一：存在EMBEDEquation.DSMT4，使数列EMBEDEquation.DSMT4是等差数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4数列EMBEDEquation.DSMT4是等差数列的充要条件是EMBEDEquation.DSMT4、EMBEDEquation.DSMT4是常数EMBEDEquation.DSMT4即EMBEDEquation.DSMT4又EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4当且仅当EMBEDEquation.DSMT4，即EMBEDEquation.DSMT4时，数列EMBEDEquation.DSMT4为等差数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"解法二：存在EMBEDEquation.DSMT4，使数列EMBEDEquation.DSMT4是等差数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"由（=1\*ROMANI）、（=2\*ROMANII）知，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4又EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4当且仅当EMBEDEquation.DSMT4时，数列EMBEDEquation.DSMT4是等差数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"类型8EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为EMBEDEquation.3，再利用待定系数法求解。例：已知数列｛EMBEDEquation.3｝中，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，求数列EMBEDEquation.3解：由EMBEDEquation.3两边取对数得EMBEDEquation.3，令EMBEDEquation.3，则EMBEDEquation.3，再利用待定系数法解得：EMBEDEquation.3。变式:（2005，,理,21．本小题满分12分）已知数列EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3（1）证明EMBEDEquation.3（2）求数列EMBEDEquation.3的通项公式an.解：用数学归纳法并结合函数EMBEDEquation.3的单调性证明：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，EMBEDEquation.3∴EMBEDEquation.3，命题正确.2°假设n=k时有EMBEDEquation.3则EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4而EMBEDEquation.3又EMBEDEquation.3∴EMBEDEquation.3时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有EMBEDEquation.3方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，EMBEDEquation.3∴EMBEDEquation.3；2°假设n=k时有EMBEDEquation.3成立，令EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3在[0，2]上单调递增，所以由假设有：EMBEDEquation.3即EMBEDEquation.3也即当n=k+1时EMBEDEquation.3成立，所以对一切EMBEDEquation.3（2）解法一：EMBEDEquation.3所以　　EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,又bn=－1，所以EMBEDEquation.3解法二：EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3由（I）知，EMBEDEquation.3，两边取以2为底的对数，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3令EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,则EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3或EMBEDEquation.3变式:（2006,,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=EMBEDEquation.3，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+EMBEDEquation.3=1HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"解：（Ⅰ）由已知EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4，两边取对数得EMBEDEquation.DSMT4，即EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4是公比为2的等比数列HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"（Ⅱ）由（Ⅰ）知EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4（*）EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4=EMBEDEquation.DSMT4由（*）式得EMBEDEquation.DSMT4（Ⅲ）EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4，又EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4，又EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"类型9EMBEDEquation.3解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为EMBEDEquation.3。例：已知数列｛an｝满足：EMBEDEquation.3，求数列｛an｝的通项公式。解：取倒数：EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3是等差数列，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3变式:（2006，,理,22,本大题满分14分）已知数列｛an｝满足：a1＝EMBEDEquation.DSMT4，且an＝EMBEDEquation.DSMT4求数列｛an｝的通项公式；证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！解：（1）将条件变为：1－EMBEDEquation.DSMT4＝EMBEDEquation.DSMT4，因此｛1－EMBEDEquation.DSMT4｝为一个等比数列，其首项为1－EMBEDEquation.DSMT4＝EMBEDEquation.DSMT4，公比EMBEDEquation.DSMT4，从而1－EMBEDEquation.DSMT4＝EMBEDEquation.DSMT4，据此得an＝EMBEDEquation.DSMT4（n1）…………1（2）证：据1得，a1a2…an＝EMBEDEquation.DSMT4为证a1a2……an2n！只要证nN时有EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4…………2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN，有EMBEDEquation.DSMT41－（EMBEDEquation.DSMT4）…………3用数学归纳法证明3式：n＝1时，3式显然成立，设n＝k时，3式成立，即EMBEDEquation.DSMT41－（EMBEDEquation.DSMT4）则当n＝k＋1时，EMBEDEquation.DSMT4〔1－（EMBEDEquation.DSMT4）〕（EMBEDEquation.DSMT4）＝1－（EMBEDEquation.DSMT4）－EMBEDEquation.DSMT4＋EMBEDEquation.DSMT4（EMBEDEquation.DSMT4）1－（EMBEDEquation.DSMT4＋EMBEDEquation.DSMT4）即当n＝k＋1时，3式也成立HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"故对一切nN，3式都成立HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"利用3得，EMBEDEquation.DSMT41－（EMBEDEquation.DSMT4）＝1－EMBEDEquation.DSMT4＝1－EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4故2式成立，从而结论成立HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"类型10EMBEDEquation.3解法：如果数列EMBEDEquation.3满足下列条件：已知EMBEDEquation.3的值且对于EMBEDEquation.3，都有EMBEDEquation.3（其中p、q、r、h均为常数，且EMBEDEquation.3），那么，可作特征方程EMBEDEquation.3,当特征方程有且仅有一根EMBEDEquation.DSMT4时,则EMBEDEquation.DSMT4是等差数列;当特征方程有两个相异的根EMBEDEquation.3、EMBEDEquation.3时，则EMBEDEquation.DSMT4是等比数列。例：已知数列满足性质：对于EMBEDEquation.3且EMBEDEquation.3求EMBEDEquation.3的通项公式.解:数列的特征方程为EMBEDEquation.3变形得EMBEDEquation.3其根为EMBEDEquation.3故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有EMBEDEquation.3∴EMBEDEquation.3∴EMBEDEquation.3即EMBEDEquation.3例：已知数列EMBEDEquation.3满足：对于EMBEDEquation.3都有EMBEDEquation.3（1）若EMBEDEquation.3求EMBEDEquation.3（2）若EMBEDEquation.3求EMBEDEquation.3（3）若EMBEDEquation.3求EMBEDEquation.3（4）当EMBEDEquation.3取哪些值时，无穷数列EMBEDEquation.3不存在？解：作特征方程EMBEDEquation.3变形得EMBEDEquation.3特征方程有两个相同的特征根EMBEDEquation.3依定理2的第（1）部分解答.(1)∵EMBEDEquation.3对于EMBEDEquation.3都有EMBEDEquation.3(2)∵EMBEDEquation.3∴EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3令EMBEDEquation.3，得EMBEDEquation.3.故数列EMBEDEquation.3从第5项开始都不存在，当EMBEDEquation.3≤4，EMBEDEquation.3时，EMBEDEquation.3.(3)∵EMBEDEquation.3∴EMBEDEquation.3∴EMBEDEquation.3令EMBEDEquation.3则EMBEDEquation.3∴对于EMBEDEquation.3∴EMBEDEquation.3(4)、显然当EMBEDEquation.3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，EMBEDEquation.3时，数列EMBEDEquation.3是存在的，当EMBEDEquation.3时，则有EMBEDEquation.3令EMBEDEquation.3则得EMBEDEquation.3且EMBEDEquation.3≥2.∴当EMBEDEquation.3（其中EMBEDEquation.3且N≥2）时，数列EMBEDEquation.3从第EMBEDEquation.3项开始便不存在.于是知：当EMBEDEquation.3在集合EMBEDEquation.3或EMBEDEquation.3且EMBEDEquation.3≥2}上取值时，无穷数列EMBEDEquation.3都不存在.变式:（2005，,文,22,本小题满分12分）数列EMBEDEquation.3记EMBEDEquation.3（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列EMBEDEquation.3的通项公式及数列EMBEDEquation.3的前n项和EMBEDEquation.3解法一：由已知,得EMBEDEquation.3,其特征方程为EMBEDEquation.3解之得,EMBEDEquation.3或EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3解法二：（I）EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4（II）因EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3故猜想EMBEDEquation.3因EMBEDEquation.3，（否则将EMBEDEquation.3代入递推公式会导致矛盾）EMBEDEquation.3故EMBEDEquation.3的等比数列.EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4解法三：（Ⅰ）由EMBEDEquation.3整理得EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3（Ⅱ）由EMBEDEquation.3所以EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4解法四：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3从而EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4类型11EMBEDEquation.3或EMBEDEquation.3解法：这种类型一般可转化为EMBEDEquation.3与EMBEDEquation.3是等差或等比数列求解。例：（I）在数列EMBEDEquation.3中，EMBEDEquation.3，求EMBEDEquation.3（II）在数列EMBEDEquation.3中，EMBEDEquation.3，求EMBEDEquation.3类型12归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"提示:1EMBEDEquation.DSMT4为方程的根,代入方程可得EMBEDEquation.DSMT4将n=1和n=2代入上式可得EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT42HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"求出EMBEDEquation.DSMT4等,可猜想EMBEDEquation.DSMT4并用数学归纳法进行证明，本题主要考察一般数列的通项公式与求和公式间的关系3HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"方程的根的意义(根代入方程成立)4HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把EMBEDEquation.DSMT4分开为EMBEDEquation.DSMT4,可得EMBEDEquation.DSMT4解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ\f(1,2)HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－EQ\f(1,2)，于是(a2－EQ\f(1,2))2－a2(a2－EQ\f(1,2))－a2＝0，解得a1＝EQ\f(1,6)HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即　　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,6)＝EQ\f(2,3)HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"由①可得S3＝EQ\f(3,4)HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"由此猜想Sn＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"……8分下面用数学归纳法证明这个结论HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"(i)n＝1时已知结论成立HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝EQ\f(k,k＋1)，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝EQ\f(1,2－S\S\do(k))，即Sk＋1＝EQ\f(k＋1,k＋2)，故n＝k＋1时结论也成立HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"综上，由(i)、(ii)可知Sn＝EQ\f(n,n＋1)对所有正整数n都成立HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"……10分于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝EQ\f(n,n＋1)－EQ\f(n－1,n)＝EQ\f(1,n(n＋1))，又n＝1时，a1＝EQ\f(1,2)＝EQ\f(1,1×2)，所以｛an｝的通项公式an＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"……12分本题难度较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现HYPERLINK"http://wxc.833200.com/"类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列EMBEDEquation.3中，EMBEDEquation.3；数列EMBEDEquation.3中，EMBEDEquation.3。当EMBEDEquation.3时，EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3，求EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3.解：因EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3所以EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3即EMBEDEquation.3…………………………………………（1）又因为EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3所以EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3……EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3.即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3………………………（2）由（1）、（2）得：EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列EMBEDEquation.3满足EMBEDEquation.3，若EMBEDEquation.3，则EMBEDEquation.3的值为___________。变式:（2005，,文，5）已知数列EMBEDEquation.3满足EMBEDEquation.3，则EMBEDEquation.3=（）A．0B．EMBEDEquation.3C．EMBEDEquation.3D．EMBEDEquation.3