精品解析：2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）（解析版）

精品解析：2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）（解析版）绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x||x|1，x∈Z}，则A∩B=（）A.B....

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A.B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2}D.{–2，2}【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合AB,的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为Axx3,xZ2,1,0,1,2，Bxx1,xZxx1或x1,xZ，所以AB2,2.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】(1−i)4([=1−i)2]2(=1−2i+i2)2−(=2i)2−=4.故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i10为否第2次循环，a=2×1+1=3,k=1+1=2，3>10为否第3次循环，a=2×3+1=7,k=2+1=3，7>10为否第4次循环，a=2×7+1=15,k=3+1=4，15>10为是退出循环输出k=4.故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为（）5253545A.B.C.D.5555【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为a,a,a0，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点2,1在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2xy30的距离.【详解】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为a,a，则圆的半径为a，22圆的标准方程为xayaa2.由题意可得2a21a2a2，关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料可得a26a50，解得a1或a5，所以圆心的坐标为1,1或5,5，225圆心到直线2xy30的距离均为d；5525所以，圆心到直线2xy30的距离为.5故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.x2y29.设O为坐标原点，直线xa与双曲线C:1(a0,b0)的两条渐近线分别交于DE,两点，若a2b2AODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】【分析】x2y2b因为C:1(a0,b0)，可得双曲线的渐近线方程是yx，与直线xa联立方程求得D，a2b2aE两点坐标，即可求得|ED|，根据AODE的面积为8，可得ab值，根据2c2a2b2，结合均值不等式，即可求得答案.x2y2【详解】C:1(a0,b0)a2b2b双曲线的渐近线方程是yxax2y2直线xa与双曲线C:1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D，E两点a2b2不妨设D为在第一象限，E在第四象限xaxa联立b，解得yxyba故D(,)abxaxa联立b，解得yxyba故E(,)ab关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料|ED|2b1AODE面积为：Sa2bab8△ODE2x2y2双曲线C:1(a0,b0)a2b2其焦距为2c2a2b222ab2168当且仅当ab22取等号C的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.110.设函数f()xx3,则f()x（）x3A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为xx0，利用定义可得出函数fx为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．1【详解】因为函数fxx3定义域为xx0，其关于原点对称，而fxfx，x3所以函数fx为奇函数．又因为函数yx3在(0,+¥)上单调递增，在(-¥,0)上单调递增，1而yx3在0,+¥上单调递减，在-¥,0上单调递减，x3()()1所以函数fxx3在0,+¥上单调递增，在-¥,0上单调递增．x3()()故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料9311.已知△ABC是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）33A.3B.C.1D.22【答案】C【解析】【分析】根据球O的表面积和AABC的面积可求得球O的半径R和AABC外接圆半径r，由球的性质可知所求距离dR2r2.【详解】设球O的半径为R，则4R216，解得：R2.设AABC外接圆半径为r，边长为a，AABC是面积为93的等边三角形，413932a229a2，解得：a3，ra293，2243434球心O到平面ABC的距离dR2r2431.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2x2y3x3y，则（）A.ln(yx1)0B.ln(yx1)0C.ln|xy|0D.ln|xy|0【答案】A【解析】【分析】tt将不等式变为2x3x2y3y，根据ft23的单调性知xy，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2x2y3x3y得：2x3x2y3y，令ft2t3t，关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x0∴，y−x+1>1∴，ln(y−x+1>)0，则A正确，B错误；Qx−y与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.213.若sinx，则cos2x__________．31【答案】9【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.281【详解】cos2x12sin2x12()21.3991故答案为：.9【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记Sn为等差数列an的前n项和．若a12,a2a62，则S10__________．【答案】25【解析】【分析】因为an是等差数列，根据已知条件a2a62，求出公差，根据等差数列前n项和，即可求得答案.【详解】an是等差数列，且a12，a2a62设an等差数列的公差d根据等差数列通项公式：ana1n1d可得a1da15d2即：2d25d2关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料整理可得：6d6解得：d1n(n1)根据等差数列前n项和公式：Snad,nN*n1210(101)可得：S102204525102S1025.故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n项和，解题关键是掌握等差数列的前n项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.xy1，15.若x，y满足约束条件xy1，则zx2y的最大值是__________．2xy1,【答案】8【解析】【分析】1在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线yx211，在平面区域内找到一点使得直线yxz22在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：111平移直线yx，当直线经过点A时，直线yxz在纵轴上的截距最大，222xy1x2此时点A的坐标是方程组的解，解得：，2xy1y3因此zx2y的最大值为：2238.关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是__________.①p1p4②p1p2③p2p3④p3p4【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题p1的真假；利用三点共线可判断命题p2的真假；利用异面直线可判断命题p3的真假，利用线面垂直的定义可判断命题p4的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为；若l3与l1相交，则交点A在平面内，同理，l3与l2的交点B也在平面内，所以，AB，即l3，命题p1为真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p3为假命题；关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料对于命题p4，若直线m平面，则m垂直于平面内所有直线，直线l平面，直线m直线l，命题p4为真命题.综上可知，p1p4为真命题，p1p2为假命题，p2p3为真命题，p3p4为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.517.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(AA)cos．24（1）求A；3（2）若bca，证明：△ABC是直角三角形．3【答案】（1）A；（2）证明见解析3【解析】【分析】2525（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，cosAAcos可化为1cosAAcos244，即可解出；3（2）根据余弦定理可得b2c2a2bc，将bca代入可找到a,,bc关系，3再根据勾股定理或正弦定理即可证出．2525【详解】（1）因为cosAAcos，所以sinAAcos，2445即1cos2AAcos，4关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料1解得cosA，又0A，2所以A；3b2c2a21（2）因为A，所以cosA，32bc2即b2c2a2bc①，32又bca②，将②代入①得，b2c23bcbc，3即2b22c25bc0，而bc，解得b2c，所以a3c，故b2a2c2，即AABC是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野20202020（2（2生动物的数量，并计算得xi60，yi1200，xix)80，yiy)9000，i1i1i1i120（（xix)yiy)800.i1（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.n（（xix))yiy附：相关系数i1，r=nn2=1.414.（（22xix))yiyi1i1【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；20(xix)(yiy)（）利用公式ri1计算即可；2202022()()xixyiyi1i1（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.1201【详解】（1）样区野生动物平均数为yi120060，20i120地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)xiyi的相关系数为20(xx)(yy)ii80022ri10.942020228090003()()xixyiyi1i1（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.x2y219.已知椭圆C1：1a2b2(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B4两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．3（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．221xy2【答案】（1）；（2）C1：1，C2：y8x.21612关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料【解析】【分析】（1）根据题意求出C2的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设AC,在第一象限，运用代入法求出4ABCD,,,点的纵坐标，根据|CD||AB|，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；3（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；2【详解】解：（1）因为椭圆C1的右焦点坐标为：F(c,0),所以抛物线C2的方程为y4cx，其中ca2b2.x2y2不妨设AC,在第一象限，因为椭圆C1的方程为：1，a2b2c2y2b2b2b2所以当xc时，有1y，因此AB,的纵坐标分别为，；a2b2aaa22又因为抛物线C2的方程为y4cx，所以当xc时，有y4ccy2c，2b2所以CD,的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c.a48b2cccc1由|CD||AB|得4c，即322()2，解得2（舍去），.33aaaaa21所以C的离心率为.12x2y2（2）由（1）知a2c，b3c，故C:1，所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，14c23c2(2c,0)，(0,3c)，(0,3c)，C2的准线为xc.由已知得3cccc12，即c2.22xy2所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y8x.1612【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；π（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–3EB1C1F的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由MN,分别为BC，BC11的中点，MN//CC1，根据条件可得AA1//BB1，可证MN//AA1，要证平面EB1C1F平面A1AMN，只需证明EF平面A1AMN即可；（）根据已知条件求得S和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得V2四边形EB1C1FMPNBEB1C1F.【详解】（1）MN,分别为BC，BC11的中点，MN//BB1又AA1//BB1MN//AA1在等边AABC中，M为BC中点，则BCAM又侧面BB1C1C为矩形，BCBB1MN//BB1MNBC由MNAMM，MN,AM平面A1AMN关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料BC⊥平面A1AMN又B1C1//BC，且BC11平面ABC，BC平面ABC，BC11//平面ABC又BC11平面EB1C1F，且平面EB1C1F平面ABCEFB1C1//EFEF//BC又BC平面A1AMNEF平面A1AMNEF平面EB1C1F平面EB1C1F平面A1AMN（2）过M作PN垂线，交点为H，画出图形，如图AO//平面EB1C1FAO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1FNPAO//NP又NO//APAONP6O为△ABC111的中心.11ONACsin606sin6033113关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料故：ONAP3，则AM3AP33，平面EB1C1F平面A1AMN，平面EB1C1F平面A1AMNNP，MH平面A1AMNMH平面EB1C1FEFAP又在等边AABC中BCAMAPBC36即EF2AM33由（1）知，四边形EB1C1F为梯形EFB1C126四边形EB1C1F的面积为：S四边形NP=624EB1C1F221VBEBCFS四边形h，113EB1C1Fh为M到PN的距离MH23sin603，1V24324.3【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；f()()xfa（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．xa【答案】（1）c1；（2）g()x在区间(0,a)和(,)a上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式f(x)2xc转化为f(x)2xc0，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数g()x求导，把导函数g()x的分子构成一个新函数m()x，再求导得到m()x，根据m()x关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料的正负，判断m()x的单调性，进而确定g()x的正负性，最后求出函数g()x的单调性.【详解】（1）函数f()x的定义域为：(0,)fxxcfxxc()2()202lnx12xc0()，22(1x)设h(x)2lnx12xc(x0)，则有h(x)2，xx当x1时，h(x)0,h(x)单调递减，当0x1时，h(x)0,h(x)单调递增，所以当x1时，函数h()x有最大值，即h()xmaxh(1)2ln1121c1c，要想不等式()在(0,)上恒成立，只需h(x)max01c0c1；2lnx1(2lna1)2(lnxlna)（2）g()x(x0且xa)xaxa2(xaxlnxxlna)因此g()x，设m(x)2(xaxlnxxlna)，x()xa2则有m(x)2(lnalnx)，当xa时，lnxlna，所以m(x)0，m()x单调递减，因此有m(x)m(a)0，即g(x)0，所以g()x单调递减；当0xa时，lnxlna，所以m(x)0，m()x单调递增，因此有m(x)m(a)0，即g(x)0，所以g()x单调递减，所以函数g()x在区间(0,a)和(,)a上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料1xt,x4cos2，t22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.y4sin21ytt（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.17【答案】（1）C:xy4；C:x2y24；（2）cos.125【解析】【分析】（1）分别消去参数和t即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.22【详解】（1）由cossin1得C1的普通方程为：xy4；11xtx2t222tt22由得：，两式作差可得C2的普通方程为：xy4.11yty2t22tt25xxy4253（2）由22得：，即P,；xy4322y2设所求圆圆心的直角坐标为a,0，其中a0，225321717则a0a，解得：a，所求圆的半径r，22101022172172217所求圆的直角坐标方程为：xy，即xyx，1010517所求圆的极坐标方程为cos.5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数f(x)xa2|x2a1|.（1）当a2时，求不等式f(x)…4的解集；（2）若f(x)…4，求a的取值范围.311【答案】（1）xx或x；（2）,13,.22【解析】【分析】（1）分别在x3、3x4和x4三种情况下解不等式求得结果；2（2）利用绝对值三角不等式可得到fxa1，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当a2时，fxx4x3.3当x3时，fx4x3x72x4，解得：x≤；2当3x4时，fx4xx314，无解；11当x4时，fxx4x32x74，解得：x；2311综上所述：fx4的解集为xx或x.222（2）fxxaxa221xaxa221aa221a1（当且仅当2a1xa2时取等号），a124，解得：a1或a3，a的取值范围为,13,.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料

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