数列题型及解题方法归纳总结

数列题型及解题方法归纳总结数列题型及解题方法归纳总结数列题型及解题方法归纳总结文德教育知识框架求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可数列的分类能在高考取顺利地解决数列问题。数列函数角度理解一、典型题的技巧解法数列的通项公式1、求通项公式的观点数列的递推关系（1）察看法。（2）由递推公式求通项。等差数列的定义anand(n2)1关于由递推公式所确定的数列的求解，往常可通过对递推公式的变换转变成等等差数列的通项公式ana1(n1)d差数列或等比数列问题。等差数列Snn(a1an)na1n(n1)d(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）等差数列的求和公式22例1、已知{a}知足a=a+2，而且a=1。求a。nn+1n1n等差数列的性质anamapaq(mnpq)例1、解∵an+1-an=2为常数∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列两个基annnq(n2)∴a=1+2（n-1）即a=2n-1等比数列的定义1本数列an1例2、已知{}知足，求an1anan1an，而a12？等比数列的通项公式ana1qn=2等比数列a1anqa1(1qn)1)数列Sn1q1(q等比数列的求和公式qna1(q1)等比数列的性质anamapaq(mnpq)公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积概括猜想证明分期付款数列的应用其他2）递推式为an+1=an+f（n）例3、已知{an}中a1a1，求an.，an112n4n21解：由已知可知an1an(2n11(11)1)(2n1)22n12n1令n=1，2，，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）++（a-an-1）n掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、1文德教育anbn3(1)n2(1)nana11(11)4n32n2322n14n2★说明只需和f（1）+f（2）++f（n-1）是可求的，就能够由an+1=an+f（n）以n=1，2，，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）例4、{an}中，a11，关于n＞1（n∈N）有an3an12，求an.解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列{an+1n3的等比数列，其首项为21(5)递推式为an2pan1qan-a}是公比为a-a=（3×1+2）-1=4∴a-a=4·3n-1∴3an-1即an-1-1∵a=3a+2n+2-a=4·3n=2·3n+1nn+1nn思路：设an2pan1qan,能够变形为：an2an1(an1an)，解法二：上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，，an-an-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1想于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转变为前面的种类。(4)递推式为an+1=pan+qn（p，q为常数）求an。bn1bn2(bnbn1)由上题的解法，得：bn32(2)n∴332文德教育数列求和的常用方法：(6)递推式为Sn与an的关系式关系；（2）试用n表示an。∴Sn1Sn(anan1)(11)2n22n11∴anan1an1∴112n1an12an2n2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为上式两边同乘以2的等差数列。2nan=2+（n-1）·2=2n1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，从头组合分红几组，转变为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转变为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列1和1（其中an等差）an1ananan1可裂项为：11(11)，anan1danan111(an1an)anan1d等差数列前n项和的最值问题：3文德教育1、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通项an0；an，则Sn最大0an1（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近q的非零自然数时Sn最2p大；2、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值（ⅰ）若已知通项an0；an，则Sn最小0an1（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近q的非零自然数时Sn最2p小；数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知Sn（即aaLanf(n)）求an，用作差法：12anS1,(n1)。SnSn1,(n2)f(1),(n1)已知12nf(n)求an，用作商法：anf(n)。agagLgaf(n,(n2)1)⑶已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求an；有时也可直接求an。⑷若an1anf(n)求an用累加法：an(anan1)(an1an2)L(a2a1)a1(n2)。⑸已知an1f(n)求an，用累乘法：ananan1La2a1(n2)。anan1an2a1⑹已知递推关系求an，用结构法（结构等差、等比数列）。特别地，（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,b为常数）的递推数列都能够用待定系数法转变为公比为k的等比数列后，再求an；形如ankan1kn的递推数列都能够除以kn得到一个等差数列后，再求an。（2）形如anan1的递推数列都能够用倒数法求通项。kan1b（3）形如an1ank的递推数列都能够用对数法求通项。（7）（理科）数学概括法。（8）当碰到an1an1d或an1q时，分奇数项偶数项议论，结果可an1能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先归并在一同，再运用公式法求和。3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数有关系，则常可考虑采用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是4n和公式的推导方文德教育等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘组成，那么常采用错位相减法（这也是等比数列前法）.5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后有关系，那么常采用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①11)11；②11(1n1)；n(nnn1n(nk)knk③11111)，k2k21(k1k2111111k11；kk1(k1)kk2(k1)k1k④n(n12)1[11)(n12)]；⑤n1)!11；1)(n2n(n1)(n(nn!(n1)!⑥2(n1n)2122(nn1)nn1nnn1二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、Snann1a1S1n2anSnSn13、求差（商）法an1a11a21an2n512222n解：n11a121a11425n21a11a21an12n1522n122121nan22an2n1∴an14(n1)2n1(n2)［练习］anSnSn15an1a14an3an1Sn1SnSn14SnS14SnSn4nn2anSnSn13·4n1、叠乘法anaan1nan13n1an解：a2·a3an1·2n1ana1a2an123na13a13ann、等差型递推公式21n5由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)两边相加，得：anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)∴ana0f(2)f(3)f(n)［练习］数列an，a1，ann1an1n2，求an13（an13n1）26、等比型递推公式ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0可转变为等比数列，设anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴xdc1∴and是首项为a1d，c为公比的等比数列c1c1文德教育∴ancda1d·cn11c1∴ana1cdcn1cd11［练习］数列an知足a19，3an1an4，求an4n1（an1）837、倒数法比如：a，an12an，求an11an2由已知得：1an211an12an2an∴111an1an21为等差数列，1，公差为1ana11211n1·11n1an226文德教育2∴ann12．数列求和问题的方法（1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，此外记住以下公式对求和来说是有益的。（2）、分解转变法对通项进行分解、组合,转变为等差数列或等比数列求和。【例9】求和S=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）++n（n2-n2）解S=n2（1+2+3++n）-（13+23+33++n3）1＋3＋5＋＋(2n-1)=n23）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。【例8】求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），前n项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2++n=1n(n1)2个奇数，∴最后一个奇数为：1+[1n(n+1)-1]×2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为例10、求和：Sn3Cn16Cn2L3nCnn例10、解Sn0?Cn03Cn16Cn2L3nCnnSn=3n·2n-1（4）、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘组成的，可把和式的两头同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．例11、求数列1，3x，5x2,,(2n-1)xn-1前n项的和．解n2++(2n-1)xn-1．①设S=1+3+5x7文德教育(2)x=0时，Sn=1．(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以n23nx得xS=x+3x+5x++(2n-1)x，②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3++2xn-1-(2n-1)xn．注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项同样多。在掌握常有题型的解法的同时，也要着重数学思想在解决数列问题时的应用。(5)裂项法：二、常用数学思想方法把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。1．函数思想常有裂项方法：运用数列中的通项公式的特点把数列问题转变为函数问题解决。【例13】等差数列{a}的首项a＞0，前n项的和为S，若S=S（l≠k）问nn1nlk为何值时Sn最大？1111例12、求和3?75?9L1?5(2n1)(2n3)此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下∵f（l）=f（k）8文德教育∴x=1ogak，y=logbk，z=logck2．方程思想【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。剖析本题考察等比数列的基础知识及推理能力。解∵依题意可知q≠1。∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。∴b2=ac∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）q≠1整理得363）=0∵q≠0q（2q-q-1本题还能够作如下思考：33）S336S=S+qS=（1+qS=S+qS=S（1+q+q），6333。9363∴由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=03．换元思想【例15】已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且求证：a，b，c顺次成等比数列。证明依题意令xyza=b=c=k9内容总结（1）文德教育