高中数学 圆锥曲线 解答题解法

高中数学圆锥曲线解答 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解法面面观圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值、最值问题问题八：直线问题问题九：对称问题问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）题型二：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，，，。由消y整理，得①由直线和抛物线交于两点，得即②由韦达定理，得：EMBEDEquation.DSMT4。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，EMBEDEquation.DSMT4到直线AB的距离d为。EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4解得满足②式此时。【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．题型三：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得EMBEDEquation.DSMT4是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为EMBEDEquation.DSMT4，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4椭圆的焦点为EMBEDEquation.DSMT4，即故当时，MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E：上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。解：(I)，且BC过椭圆的中心OEMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4又EMBEDEquation.DSMT4点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II)直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：EMBEDEquation.DSMT4是方程的一个根，即同理可得：＝＝＝EMBEDEquation.DSMT4则直线PQ的斜率为定值。题型五：共线向量问题1：如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.∴曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3又当直线GH斜率不存在，方程为EMBEDEquation.32：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若，，求证：.解：设椭圆C的方程为（＞＞）抛物线方程化为，其焦点为，则椭圆C的一个顶点为，即由，∴，椭圆C的方程为（2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入方程并整理，得∴，又，，，，而，，即，∴，，所以3、已知△OFQ的面积S=2,且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，，当取得最小值时，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为，Q（x0,y0）。，S△OFQ=，∴。=c(x0－c)=。当且仅当，所以。类型1——求待定字母的值例1设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)∵PA=∴x1=.联立消去y并整理得，(1－a2)x2+2a2x－2a2=0(*)∵A、B是不同的两点，∴∴0<a<且a1.于是x1+x2=且x1x2=，即，消去x2得，=，∴a=，∵0<a<且a1，∴a=。类型2——求动点的轨迹例2如图2，动直线与y轴交于点A，与抛物交于不同的两点B和C,且满足BP=λPC，AB=λAC，其中。求ΔPOA的重心Q的轨迹。思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。解：由得，k2x2+(2k－1)x+4=0.由EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3设P(x’,y’)，B(x1，y1)，C(x2,y2)，（图2）则x1+x2=,x1.x2=.由EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3==EMBEDEquation.3由EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3。EMBEDEquation.3消去k得，x’－2y’－6=0(*)设重心Q(x,y)，则，代入(*)式得，3x－6y－4=0。因为故点Q的轨迹方程是3x－6y－4=0（），其轨迹是直线3x－6y－4=0上且不包括点的线段AB。类型3——证明定值问题例3已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。设M为椭圆上任意一点，且，其中证明：为定值。思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。解：设椭圆方程为则直线AB的方程为EMBEDEquation.3代入椭圆方程中，化简得，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由与共线，得，。又而于是。因此椭圆方程为设M(x,y),由得，，因M为椭圆上一点，所以即①又，则而EMBEDEquation.3代入①得，=1，为定值。类型4——探索点、线的存在性例4在△ABC中，已知B(－2,0),C(2,0),AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段AD设P(－1,0),Q(1,0),那么是否存在点H，使成等差数列，为什么？思路：先将AC⊥BH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。解：设H(x,y),由分点坐标公式知∵H为垂心∴AC⊥BH，∴，整理得，动点H的轨迹方程为EMBEDEquation.3。，，。假设成等差数列，则即①∵H在椭圆上a=2,b=,c=1，P、Q是焦点，∴，即∴②由①得，EMBEDEquation.3③联立②、③可得，，∴显然满足H点的轨迹方程，故存在点H（0，±），使成等差数列。类型5——求相关量的取值范围例5给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且，求l在轴上截距的变化范围。思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得，，即由②得，EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3③。联立①、③得，。而当直线l垂直于轴时，不符合题意。因此直线l的方程为或直线l在轴上的截距为或由知，在上递减的，所以EMBEDEquation.3于是直线l在轴上截距的变化范围是存在、向量例6、双曲线，若上存在一点。解：方程为，即EMBEDEquation.3。由，消去y得EMBEDEquation.3，EMBEDEquation.3定值问题例7：是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：（1）两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线经过一定点。分析：（1）设，则又由（2）直线的方程为，故直线过定点。题型六：面积问题例题1、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意EMBEDEquation.DSMT4，所求椭圆方程为。（Ⅱ）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，，。EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4。当且仅当，即时等号成立。当时，，综上所述。当最大时，面积取最大值。2、已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．（Ⅱ）设，．（1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知，得．把代入椭圆方程，整理得，，．．当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．当最大时，面积取最大值．3、已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．解：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则，EMBEDEquation.DSMT4；因为与相交于点，且的斜率为，所以，．四边形的面积．当时，上式取等号．（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．综上，四边形的面积的最小值为．题型七：弦或弦长为定值、最值问题1、已知△的面积为，（1）设，求正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），当取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设EMBEDEquation.DSMT4（2）设所求的双曲线方程为∴，∴又∵，∴当且仅当时，最小，此时的坐标是或，所求方程为2、已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）求证直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB面积的最大值.解：（Ⅰ）由题可得，，设则，，∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为.（Ⅱ）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，则BP的直线方程为：.由得，设，则，同理可得，则，.所以：AB的斜率为定值.（Ⅲ）设AB的直线方程：.由，得，由，得P到AB的距离为，则EMBEDEquation.3。当且仅当取等号∴三角形PAB面积的最大值为。3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径由得解得EMBEDEquation.DSMT4所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得EMBEDEquation.DSMT4点G横坐标的取值范围为4、已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．（1）求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）．解：（1）设点的坐标为，∵，∴．整理，得（），（2）如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为EMBEDEquation.DSMT4将①代入，整理，得，由，解得．设，，则令，且．EMBEDEquation.DSMT4．∵且，，解得且．，且．故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．5、已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则，设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．题型八：直线问题例题1、设椭圆过点，且着焦点为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解(1)由题意：，解得，所求椭圆方程为(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是，，从而，（1），（2）又点A、B在椭圆C上，即（1）+（2）×2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二设点，由题设，均不为零。且又四点共线，可设,于是（1）（2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得（3）(4)(4)－(3)　　　得即点总在定直线上2、已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，其中，，则．所以动点M的轨迹方程为．（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，∵，∴．∵，，∴①∴．由方程组得．则，，代入①，得．即，解得，或．所以，直线的方程是或．3、设、分别是椭圆的左、右焦点。（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（Ⅰ）解法一：易知所以，设，则EMBEDEquation.DSMT4因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：∴由得：或又∴又EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4∵，即∴故由①、②得或题型九：轨迹问题轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。【解析】设MN切圆C于N，则。设,则化简得（1）当时，方程为，表示一条直线。（2）当时，方程化为表示一个圆。◎◎如图，圆与圆的半径都是1，.过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得.试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.【解析】以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，.由已知，得.因为两圆半径均为1，所以.设，则，即.(或)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.求动圆圆心的轨迹的方程；【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；◎◎已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。【解析】由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。例3、如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。【解析】设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0②由①②解方程组得,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0◎◎已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足求点T的轨迹C的方程；【解析】解法一：（相关点法）设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（），则因此①由得②将①代入②，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是解法二：（几何法）设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以OA的斜率k为参数由解得A（k，k2）∵OA⊥OB，∴OB：由解得B设△AOB的重心G（x，y），则消去参数k得重心G的轨迹方程为解法二：设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…（1）∵OA⊥OB∴,即，……(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得∴所以重心为G的轨迹方程为。◎◎如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.【解析】设切点A、B坐标分别为，∴切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例5、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。解1（交轨法）：点A、B在抛物线上，设A（，B（所以kOA=kOB=,由OA垂直OB得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0①又OM的方程为②由①②消去得yA+yB即得，即得。所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。所以方程为，除去点（0，0）。1、已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且（1）动点N的轨迹方程；（2）线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.（1）设动点N的坐标为（x,y），则，因此，动点的轨迹方程为（2）设l与抛物线交于点A（x1,y1）,B(x2,y2)，当l与x轴垂直时，则由，不合题意，故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由由点A，B在抛物线又y2=4x,y=kx+b得ky2－4y+4b=0,所以因为解得直线l的斜率的取值范围是.题型九：对称问题1、例：若椭圆上存在两点A,B关于：对称，求的取值范围解法（1）设直线AB的方程为EMBEDEquation.3由消去得由题意知该方程有两个不等式跟故即设AEMBEDEquation.3,B则设AB中点M则EMBEDEquation.3，又点M在直线上即EMBEDEquation.3解得解法（2）：设AEMBEDEquation.3,B，AB中点M又A,B在椭圆上，两式相减得即也即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3中点M在上由求得又必在椭圆内部即解得2、已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线是双曲线S的一条渐近线，而且原点O，点A（a，0）和点B（0，-b）使等式·成立.（I）求双曲线S的方程；（II）若双曲线S上存在两个点关于直线对称，求实数k的取值范围.解：（I）根据题意设双曲线S的方程为且解方程组得所求双曲线的方程为解法一（设而不求法）：（II）当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线当时，设又曲线S上的两点M、N关于直线对称，由直线MN的方程为则M、N两点的坐标满足方程组消去y得显然EMBEDEquation.3即设线段MN中点为则在直线即即的取值范围是解法二（点差法）：当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线当时，设两式相减整理得EMBEDEquation.3的取值范围是问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）1、设椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以,,①当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”.2当时,.3当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,|AB|的取值范围为即:2、在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．（Ⅱ）设，则，由方程①，．　　　②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．3、设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：易知，设P（x，y），则，，，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为由方程组依题意当时，设交点C，CD的中点为R，则又|F2C|=|F2D|∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|4、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心故该椭圆中即椭圆方程可为，H（x,y）为椭圆上一点，则，，则有最大值，（舍去），，∴所求椭圆方程为（2）设，则由两式相减得……③又直线PQ⊥直线m∴直线PQ方程为将点Q（）代入上式得，④由③④得Q（），Q点必在椭圆内部，由此得故当时，E、F两点关于点P、Q的直线对称5、已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为（I）求，的值；（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）设当的斜率为1时，其方程为到的距离为，故，，由，得，=（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由（Ⅰ）知椭圆C的方程为+=6.设(ⅰ)　假设上存在点P，且有成立，则，，整理得故①将②于是,=,，代入①解得，，此时于是=，即因此，当时，，；当时，，。（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.6、已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又，由得故又，当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，此时的方程为要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线，则由解得或7、已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：由条件知，，设，．解法一：（I）设，则，，，由得即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．（II）假设在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．因为是与无关的常数，所以，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时．故在轴上存在定点，使为常数．8、在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．(1)求圆的方程；(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即=4①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得，m2+n2=8②联立方程①和②组成方程组解得，故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。9、设椭圆E:（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:（a，b>0）过M（2，），N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.�ABCOPxy�EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4���lO'PEDCBA�EMBEDPBrush����EMBEDPBrush����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDWord.Picture.8����EMBED\*MERGEFORMAT���1_1235320462.unknown_1243597006.unknown_1261422363.unknown_1274686672.unknown_1291321039.unknown_1333438866.unknown_1333439040.unknown_1333439200.unknown_1333439290.unknown_1333439417.unknown_1333450130.unknown_1334260086.unknown_1334261220.unknown_1388319961.unknown_1334261059.unknown_1334260064.unknown_1333439456.unknown_1333439464.unknown_1333439435.unknown_1333439322.unknown_1333439391.unknown_1333439299.unknown_1333439246.unknown_1333439256.unknown_1333439225.unknown_1333439133.unknown_1333439171.unknown_1333439188.unknown_1333439143.unknown_1333439083.unknown_1333439106.unknown_1333439057.unknown_1333438948.unknown_1333439015.unknown_1333439034.unknown_1333438993.unknown_1333438923.unknown_1333438932.unknown_1333438882.unknown_1322472449.unknown_1325674427.unknown_1333437136.unknown_1333437174.unknown_1333437115.unknown_1322472833.unknown_1322472984.unknown_1323628695.unknown_1323631322.unknown_1322472920.unknown_1322472730.unknown_1322472173.unknown_1322472262.unknown_1322472332.unknown_1322472226.unknown_1322472014.unknown_1322472123.unknown_1291322304.unknown_1291355302.unknown_1322471990.unknown_1291355293.unknown_1291322130.unknown_1274694241.unknown_1274694741.unknown_1291320591.unknown_1291320996.unknown_1291321013.unknown_1291320968.unknown_1274695006.unknown_1274695269.unknown_1291276840.unknown_1291319327.unknown_1291319500.unknown_1291276854.unknown_1274695322.unknown_1274695348.unknown_1274695140.unknown_1274695191.unknown_1274695095.unknown_1274694842.unknown_1274694935.unknown_1274694810.unknown_1274694579.unknown_1274694646.unknown_1274694378.unknown_1274694486.unknown_1274694511.unknown_1274694463.unknown_1274694368.unknown_1274693822.unknown_1274694085.unknown_1274694200.unknown_1274694219.unknown_1274694146.unknown_1274694039.unknown_1274694069.unknown_1274693995.unknown_1274693605.unknown_1274693735.unknown_1274693749.unknown_1274693684.unknown_1274686933.unknown_1274693528.unknown_1274686813.unknown_1261604124.unknown_1265089017.unknown_1274384766.unknown_1274384831.unknown_1274384924.unknown_1274384949.unknown_1274384842.unknown_1274384792.unknown_1274384811.unknown_1274384782.unknown_1274384602.unknown_1274384684.unknown_1274384729.unknown_1274384653.unknown_1265089429.unknown_1265089492.unknown_1265089614.unknown_1265089662.unknown_1265091224.unknown_1265089560.unknown_1265089466.unknown_1265089200.unknown_1265089323.unknown_1265089089.unknown_1265088540.unknown_1265088767.unknown_1265088861.unknown_1265088965.unknown_1265088801.unknown_1265088717.unknown_1265088730.unknown_1265088635.unknown_1265043492.unknown_1265043809.unknown_1265088518.unknown_1265043626.unknown_1261646465.unknown_1261646557.unknown_1261604160.unknown_1261423269.unknown_1261424608.unknown_1261425148.unknown_1261425274.unknown_1261505285.unknown_1261505338.unknown_1261505225.unknown_1261505253.unknown_1261505220.unknown_1261425186.unknown_1261424812.unknown_1261424996.unknown_1261424633.unknown_1261423679.unknown_1261424412.unknown_1261424490.unknown_1261424381.unknown_1261423345.unknown_1261423477.unknown_1261423326.unknown_1261423061.unknown_1261423095.unknown_1261423143.unknown_1261423079.unknown_1261422644.unknown_1261422740.unknown_1261422827.unknown_1261422575.unknown_1243597422.unknown_1258616264.unknown_1260282776.unknown_1260939853.unknown_1261387956.unknown_1261422170.unknown_1261422252.unknown_1261422263.unknown_1261422236.unknown_1261388076.unknown_1261388265.unknown_1261388056.unknown_1261387737.unknown_1261387912.unknown_1261387942.unknown_1261387784.unknown_1260939945.unknown_1260939946.unknown_1260939860.unknown_1260939944.unknown_1260771835.unknown_1260872680.unknown_1260887641.unknown_1260939831.unknown_1260887624.unknown_1260772019.unknown_1260772198.unknown_1260784224.unknown_1260793714.unknown_1260793726.unknown_1260772425.unknown_1260772561.unknown_1260772067.unknown_1260772092.unknown_1260772035.unknown_1260771867.unknown_1260771936.unknown_1260771851.unknown_1260292560.unknown_1260771658.unknown_1260771692.unknown_1260292569.unknown_1260292491.unknown_1260292516.unknown_1260290181.unknown_1260290274.unknown_1260290160.unknown_1258698653.unknown_1259694482.unknown_1260282697.unknown_1260282714.unknown_1260282761.unknown_1260084054.unknown_1260282530.unknown_1260084176.unknown_1260084038.unknown_1258698881.unknown_1258699256.unknown_1259694475.unknown_1258699046.unknown_1258698754.unknown_1258616434.unknown_1258698430.unknown_1258698628.unknown_1258641092.unknown_1258698336.unknown_1258616451.unknown_1258640935.unknown_1258616364.unknown_1258616418.unknown_1258616352.unknown_1243597456.unknown_1243597472.unknown_1258026607.unknown_1258122669.unknown_1258616158.unknown_1258616166.unknown_1258616175.unknown_1258615697.unknown_1258615739.unknown_1258026954.unknown_1258093231.unknown_1258121166.unknown_1258026969.unknown_1258026975.unknown_1258026961.unknown_1258026650.unknown_1258026860.unknown_1258026635.unknown_1243597480.unknown_1243597488.unknown_1243597492.unknown_1256916020.unknown_1258026519.unknown_1243597494.unknown_1243597495.unknown_1243597493.unknown_1243597490.unknown_1243597491.unknown_1243597489.unknown_1243597484.unknown_1243597486.unknown_1243597487.unknown_1243597485.unknown_1243597482.unknown_1243597483.unknown_1243597481.unknown_1243597476.unknown_1243597478.unknown_1243597479.unknown_1243597477.unknown_1243597474.unknown_1243597475.unknown_1243597473.unknown_1243597464.unknown_1243597468.unknown_1243597470.unknown_1243597471.unknown_1243597469.unknown_1243597466.unknown_1243597467.unknown_1243597465.unknown_1243597460.unknown_1243597462.unknown_1243597463.unknown_1243597461.unknown_1243597458.unknown_1243597459.unknown_1243597457.unknown_1243597440.unknown_1243597448.unknown_1243597452.unknown_1243597454.un