南京航空航天大学《高等数学》123齐次方程求y"+py'+qy=0−−(1)的解的步骤如下:1.写出(1)的特征方程:r2+pr+q=0−−(2)2.求出(2)的特征根r1,r23.根据特征根的情况,通解分为三种情况r1xr2xi)r1≠r2⇒y=c1e+c2er1xii)r1=r2⇒y=(c1+c2x)eαxiii)r1,2=α±βi⇒y=e(c1cosβx+c2sinβx)λx若：y"+py'+qy=Pm(x)e（1）⇒特解形式*kλxy=xQm(x)eQm(x)(系数待定)与Pm(x)同次的多项式⎧0λ不是特征根⎪k=⎨1λ是特征单根⎪⎩2λ是特征重...
求y"+py'+qy=0−−(1)的解的步骤如下:1.写出(1)的特征方程:r2+pr+q=0−−(2)2.求出(2)的特征根r1,r23.根据特征根的情况,通解分为三种情况r1xr2xi)r1≠r2⇒y=c1e+c2er1xii)r1=r2⇒y=(c1+c2x)eαxiii)r1,2=α±βi⇒y=e(c1cosβx+c2sinβx)λx若：y"+py'+qy=Pm(x)e（1）⇒特解形式*kλxy=xQm(x)eQm(x)(系数待定)与Pm(x)同次的多项式⎧0λ不是特征根⎪k=⎨1λ是特征单根⎪⎩2λ是特征重根αx若y"+py'+qy=e[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx]⇒特解形式*kαx(1)(2)y=xe[Rm(x)cosβx+Rm(x)sinβx]m=max{l,n}⎧0α+iβ不是特征根k=⎨⎩1α+iβ是特征根形如n(n)n−1(n−1)xy+p1xy+"+pn−1xy′+pny=f(x)的方程(其中p1,p2"pn为常数)叫欧拉方程.特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.作变量变换x=et或t=lnx,将自变量换为t,dydydt1dy==,dxdtdxxdtd2yd1dy1dy1d2y11d2ydy=()=−+=(−)dx2dxxdtx2dtxdt2xx2dt2dtd2y1⎛d2ydy⎞=⎜−⎟,dx2x2⎝dt2dt⎠d3y1⎛d3yd2ydy⎞=⎜−3+2⎟,""dx3x3⎝dt3dt2dt⎠d用D表示对自变量t求导的运算,dt上述结果可以写为xy′=Dy,d2ydyx2y′′=−=(D2−D)y=D(D−1)y,dt2dtd3yd2ydyx3y′′′=−3+2dt3dt2dt=(D3−3D2+2D)y=D(D−1)(D−2)y,""一般地，xky(k)=D(D−1)"(D−k+1)y.将上式代入欧拉方程，则化为以t为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后，把换为tlnx，即得到原方程的解.例1求x2y"+2xy'−2y=2xlnx+x−2的通解(x>0)解令x=ett=lnxD(D−1)y+2Dy−2y=(2t+1)et−2即[D2−D+2D−2]y=(2t+1)et−2d2ydy+−2y=(2t+1)et−2−−(*)dt2dt2r+r−2=0r1=−2,r2=1t−2ty=c1e+c2ed2ydy自然y*=1是+−2y=−2的一个特解,1dt2dt*t又λ=1是特征单根,∴令y2=t(b0+b1t)ed2ydy代入方程+−2y=(2t+1)et定出dt2dt1111b=,b=∴y*=(t2+t)et091323911故y*=y*+y*=1+t(t+)et是(*)的解123911(*)的通解为:y=cet+ce−2t+1+t(t+)et1239还原得原方程的解11y=cx+cx−2+1+[(lnx)2+lnx]x1239例2求欧拉方程x3y′′′+x2y′′−4xy′=3x2的通解．解作变量变换x=et或t=lnx,原方程化为D(D−1)(D−2)y+D(D−1)y−4Dy=3e2t,即D3y−2D2y−3Dy=3e2t,32dydydy2t−2+3=3e.(1)或dt3dt2dt方程(1)所对应的齐次方程为d3yd2ydy−2+3=0,dt3dt2dt其特征方程r3−2r2−3r=0,特征方程的根为r1=0,r2=−1,r3=3.所以齐次方程的通解为CY=C+Ce−tCe3t=C+2+Cx3.1231x3设特解为y∗=be2t=bx2,1x2代入原方程，得b=−.即y∗=−,22C1所给欧拉方程的通解为y=C+2+Cx3−x2.1x32小结欧拉方程解法思路变系数的线变量代换常系数的线性微分方程x=et或t=lnx性微分方程注欧拉方程的形式．
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