线性代数习题讲解第六章二次型一、要点复习二、作业讲解三、典型例题介绍二次型定义矩阵表示可逆线性变换标准二次型正交变换配方法正定二次型正定矩阵定义判定一、要点复习1.二次型及其矩阵表示定义6.1含有个变量的二次齐次函数称为元二次型，用矩阵表示为其中向量，矩阵称为对称矩阵的二次型，并称的秩为该二次型的秩.所以是对称矩阵，称为二次型的矩阵，注二次型的矩阵要求是对称矩阵.还有正定矩阵也是这样.称为的标准形或法式.称这时的标准形为的
规范
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形，即特别地，当标准形中的系数只取1，-1或0时，只含平方项的二次型2.二次型的标准形二次型的标准形不唯一，但其规范形唯一（在实变换下）.标准形中所含非零平方项的项数等于二次型的秩.3.
合同
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变换对于阶方阵，如果存在可逆方阵，使则称为合同矩阵或称与合同，变换称为合同变换，矩阵称为合同变换矩阵.对任意可逆方阵，若对称，则也对称且用可逆变换把实二次型化为标准形等同于用合同变换把实对称矩阵化为对角矩阵.实对称矩阵可以用正交的相似变换对角化，又正交的相似变换也是合同变换.4.化二次型为标准型方法和步骤定理任给实二次型总有正交变换使化为标准形其中是的矩阵的特征值.（1）用正交变换化二次型为标准形步骤:第一步写出二次型所对应的实对称矩阵；第二步求出的所有特征值；第三步对的每一特征值求出对应的特征向量，把对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根的特征向量正交化、规范化；第四步以全体正交规范化向量为列向量构成正交矩阵，得正交变换；第五步写出标准形，其中为的特征值，其顺序应和中的列特征向量顺序相对应.以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基本一致.(2)用配方法化二次型为标准形这种方法是将二次型的各项归并成完全平方项，即不含交叉项，再对这些平方项引入新变量以达到二次型成为关于新变量的平方项之和.具体做法是：如果二次型中含有某的平方项，则先把含的各项集中，按配成完全平方，然后按此法对其它变量配方，直至都配成平方项；如果二次型中不含平方项，但有某个，则先作一个可逆的线性变换：使二次型出现平方项，再按上面方法配方.5.惯性定理一个二次型的标准形是不唯一的，但其所含非零项的项数是确定的（即二次型的秩）.不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正平方项的个数是不变的（从而负平方项的个数也是不变的）.6.正定二次型设有实二次型，如果对任何都（），则称为正定二次型，并称对称矩阵是正定的，记作；如果对任何都有则称为负定二次型，并称对称矩阵是负定的，记作.判断实二次型正定的充要条件（1)实二次型标准形中的个系数全为正；（2)实二次型的矩阵的特征值全为正；（3)实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全大于零.至于的负定性可通过的正定性来判断.注判断一实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要条件若是一具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断相对方便些.另要强调的是,我们说是正定矩阵是在为实对称矩阵的大前提下讲的,离开了这一点就会犯下列错误:各阶顺序主子式大于0的矩阵为正定矩阵；特征值全大于0的矩阵为正定矩阵；对任意,使的矩阵为正定矩阵.二、作业讲解用矩阵记号表示下列二次型：(1)(2)(3)解：(1)(3)(2)2.求一个正交变换将下列二次型化成标准形：解：得，，当时，特征向量为当时，特征向量为当时，特征向量为分析这是本章的一个主要问题，只要按步骤求解即可，关键还是求特征值和特征向量。取则利用正交变换二次型可化为标准型3.求一个正交变换将下列二次型化成标准形：解：.得，当时，特征向量为，通过施密特正交化得到，当时，特征向量为单位化得取则利用正交变换二次型可化为标准型4.求一个正交变换将下列二次型化成标准形：解：得，，当时，特征向量为，当时，特征向量为当时，特征向量为取则利用正交变换二次型可化为标准型5.二次型通过正交变换可化为标准形求参数及所用的正交变换矩阵.解：二次型矩阵为特征值为，，故，又，得当时，特征向量为当时，特征向量为当时，特征向量为分析本题是已知二次型通过正交变换所得到的标准形，这等于知道了二次型矩阵的特征值.取用正交变换二次型标准型为6.用配方法化为规范形，写出所用变换的矩阵．由得得二次型的规范型为取C可逆，由变换分析化二次型为标准形可用正交变换法也可用配方法，这要看题目的具体要求.若无要求，在变量不多时配方法相对简单些.解：注用配方法化二次型为标准形所用的线性变换只是可逆的，这实际上是对二次型作了合同变换.而特征向量正交、规范化所得的变换是正交变换.由于配方的方法不同，因此所作的合同变换是不唯一的，自然所得到的标准形也不唯一.7.判别下列二次型的正定性：(1)(2)解：（1）分析：判断一二次型或实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要条件，若是一具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断相对方便些.故负定.(2)故为正定8.二次型取何值时是正定二次型？二次型正定即要求所有顺序主子式可得时此二次型正定.解：二次型矩阵为9.已知为阶方阵，是正定矩阵，证明为正定矩阵.是正定矩阵，所以所以，即为对称矩阵.证明：因为为的任意一个特征值，则是的一个特征值设为正定矩阵，所以从而，因此为正定矩阵.因为分析本题所涉及的是抽象矩阵，根据已知条件，可用特征值证明10.设为可逆矩阵，，证明为正定二次型．证明：令，因为可逆，,有从而为正定二次型。对任意分析本题所涉及的是抽象问题，根据已知条件，可用定义证明。三、典型例题介绍解写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例1从而得特征值求特征向量将特征向量正交化得正交向量组将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，例3判别二次型的正定性.解例4设为阶实对称矩阵，试证明：矩阵可逆的充要阶方阵，使为正定矩阵.条件是存在证由题设已知为实对称矩阵，所以又即也为实对称矩阵.所以而为正定矩阵，故为正定矩阵.存在，取（必要性）因（充分性）用两种方法证明：因此，对任给，恒有即齐次方程组只有零解，为正定矩阵，方法1如，则对任意向量为满秩矩阵从而可逆所以方法2(反证法)若不可逆，有非零解，即存在向量，使从而对任意阶方阵，有则齐次方程组这与存在阶方阵使为正定矩阵矛盾，故可逆.这与存在阶方阵使为正定矩阵矛盾，故
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