数学悖论的发展与研究（简介了3个悖论和作用）

2003年第2期 山东教育学院学报 总第96期 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 悖论的发展与研究 明清河 (枣庄师范高等专科学校， 山东 枣庄2”160) 摘要：时数学幛论的产生、发展、研究状况以厦悻论的作用作了较细致的阐连。 芙键词：悖论；集合；悖论 中圈分类号：01442 文献标识码：A 文章编号：l∞8—2816(2003)∞—0077—02 悖论，是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非 常广泛的论题。它是科学发展过程中的一个重要的存在形 态。悖论对科学的发展起到丁深刻的推动作用，它越来越 引起人们的充分注意。本文对数学悖论的产生、发展、研究 状况以及悖论的作用阐述如下： 1、悖论的产生与发展 悖论的历史起源，几乎是同科学史同时并行的。最早 的悖论可以追溯到古希腊时代的“芝诺悖论”和我国先秦时 代的矿色鸟说悖论”和“二分说悖论”，以后又相继出现了一 大批著名的悖论，如：“毕达哥拉斯悖沦”、“伽利略悖论”、 “唐吉诃德悖论”、“贝克莱悖论”等。 以上历史上出现的悖论，都属于认识论方面的悖论，产 生的原因是因为限于人们当时认识的局限性，产生了一些 无法解释的命题。但这些悖论随着人们对极限、无穷等一 系列概念的逐步认识，已完善地解决了这些悖论。 在历史上，与现在所讲的悖论含义较近的悖论是“说谎 者悖论”，后来人们将它改进、构造出了“永恒性说谎者悖 论”，陈述如下： “在本页本行旦所写的这句话是谎话”。 对悖论的研究，在历史上一直没有引起人们的足够重 视，直到19世纪集台论中悖论的出现，才震惊了数学界，真 正引起了数学家们的重视，从而探讨数学基础、解决数学悖 论的大运动。 集合论中最著名的三个悖论是：罗素悖论、康托尔的最 大基数悖论和布拉里福蒂的最大序数悖论。 1897年意大利数学家布拉里福蒂从集合论中的基本 概念“序数”出发，提出了一个重要的集台悖论——”最大序 数悖论”。这个悖论的内容为：所有序数组成集合形成了一 收稿日期：砸n一1卜12 作者简介：明清河(196}一)，男，山东腺州市人，副教授。 个良序集，这个良序集也有～个序数Q且这个序数Q廊该 属于这个良序集；但由序数的定义，Q应该比这个良序集中 的任何序数都大，从而Q叉不属于这个良序集= 1899年，德国数学家康托尔从集合论中的“基数”概念 出发．也提出了一个重要的集合论悖论——“最大基数悖 论”。内容为：一切集合构成了一个新的集合M，由定义知． 集台M的基数应该是最大的；但由基数理论又可知，任何 集合的基数都小于它的幂集的基数，困些，集合M的幂集 的基数又应该比M的基数大。 1902年．英国著名哲学家、逻辑家罗素提出了一个最 有影响的集合学悖论——“罗紊悖论”。内容如下： 由所有不属于自身的集合构成的一个新的集合为S， 由于s也是一个集合，因此可以考虑“s是否属于自身”这 样一个闯题。根据排中律，要么s∈S，要么SEs。如果SE s，则由S定义可知，S不属于自身，即SES，这是自相矛盾 的；如果SES，即不属于自身，则由S的定义可知，SEs，这 也是自相矛盾的。 2、悖论的研究途径及状况 由于做为数学基础的集合论中悖论的出现，引起了人 们对悖论的探讨和研究。有大批著名的数学家、哲学家积 极投身于探讨数学基础、解决集合悖论中。纵观人们对集 合悖论的研究．主要有以下两种途径： 一种是认为康托尔的集合论使用r太大的集合，应加 以限制，限制到足以排除悖沦，同时叉能保留有价值东西的 境界，即对集合的定义严格化。如罗素等人用“分支类型 论”致力于集合论的改造，他对概念的存在性加以限制，提 出了“量性限制理论”、“曲折理论”、“非集合理论”。又如德 国数学家策梅罗为代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的一批人，用公理集合论致力于集 万方数据 明清河：数学悖论的发展与研究 2003年第2期 台论的改造，他们对集合的定义加以限制，运用“划分公理” 得出以下结论：(1)任意集合M必有其子集不是M的元素； (2)一切不属于自身的集合的全体不构成集台；(3)一切集 合所构成的“集台”不是集台等。他叉从研究改进“概括原 则”着手，于1908年给出了公理集合论体系，后加以改进， 形成了“ZFC公理系统”。但至今此系统的无矛盾性尚未得 到证明，虽然排除了一些已知的悖论，但不能保证今后不出 现悖论。 另一种研究集合论的途径是在康托尔集合论的基础 上，加上某些公理或去掉某些公理，使其严格化。近年来， 也有不少人沿着这种途径致力于对悖论的研究，通过近些 年的研究可以发现，若去掉某些公理，虽然可以解决某些悖 论，但现行的有些定理却靠不住了；若加上某些公理．结果 有时会更糟，加上了一条公理，就可能产生一个悖论。 如对集台论中“选择公理”的争论，这条公理说：可以从 一族集合中各取一个元素构成一个新的集合。 如果承认“选择公理”，就导致了“分球悖论”(1924波兰 数学家巴拿赫提出的)，这与常识相违背。如果不承认“选 择公理”，虽然可以避免分球悖论，但通过研究．人们却发现 结果更令人失望，从1963年以来，在没有“选择公理”的模 型中，平均每年都会产生一个悖论。例如：连续函数变得不 连续、一个空间会有两个维数、不可测集变成了可测集等 等。 通过对集合悖论的研究，推动了数学的发展．但同时也 发现，至今集合论中的悖论仍没有得到圆满的解决，数学大 厦的基础仍存在着裂缝。 3、悖论的作用 悖论在整个科学发展史中，起着不可磨灭的作用，它的 作用主要表现在检验、完善某一理论体系，促进科学进步。 由于悖论大多出现在某一理论体系不够完善的时期． 在这种情况下，对悖论的研究，不应以推翻或否定此理论体 系为目标，而应体现在以消除悖论的方式来检验、加固此理 论体系的严谨性。下面举例说明： 引起第一次数学危机的“毕达哥拉斯悖论”，此悖论产 生的时代处于人们刚刚由自然数扩充到有理数的时期，人 们认为：一切数都可由有理数(整数之比)来表示，而希伯索 斯却发现了“等腰直角三角的斜边与直角边不可公度”的悖 论，这促使人们对传统的数系加以完善、将数系进行扩充。 引起第二次数学危机的“贝克莱悖论”。17世纪的微 积分理论是建立在无穷小分析之上的，虽然从贝克莱本人 的目的来看，他试图通过对微积分的批判，曲解数学而为神 学辨护。但从客观上看，微积分的理论体系还是具有高度 的精确性(虽然不十分严谨)和广泛的应甩性。贝克莱悖论 的出现只是从一个更高层次上对新生的微积理论体系所提 出的更高的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，后来通过柯西、维尔斯特拉斯，直至康托 尔的努力，使微积分有了较为可靠的基础——集合论，促进 了微积分不断健康的发展。 引起第三次数学危机的“集合论悖论”，在集合论独立 不久，便出现了罗紊悖论、康托尔的最大基数悖论和布拉里 福蒂的最大序数悖论等一系列集合论悖论，掀起了一场研 究数学基础的太辨论，但通过这场辨论，人们终于意识到还 是以集合论作为数学基础较为理想。因此，人们并不是必 批判、否定集合论为目的，而是以消除“集合论悖论”、加强 集合理论的严谨性为最终目标，从而出现了公理化方法、点 集拓扑学、数理逻辑等新颖学科，极大地促进了数学的 发展。 ’考文献： [1]张莫宙．赵斌．二十世纪数学史话[M]．北京：知识出 版杜。1983． [2]朱学志．数学史与数学方法论选讲[M]．哈尔滨：黑 龙江林业教育出版社．1987． [3]徐利治．数学方法论教程[M]．南京：江苏教育出版 社．1992． DevelopmentandResearchofMathematicalParadox MingQinghe (ZaozhuangTeachers’college，zaozhtmng277160，‰) Al!目掣：咖㈣枷缸吣咖i吣，蛳“鼬∞conditkm∞well∞effect”举蒯thatbythi8text articleere． Keywords：mathematicalparadox；assemblypmad“ 万方数据 数学悖论的发展与研究 作者： 明清河 作者单位： 枣庄师范高等专科学校,山东,枣庄,277160 刊名： 山东教育学院学报 英文刊名： JOURNAL OF SHANDONG EDUCATION INSTITUTE 年，卷(期)： 2003，18(2) 引用次数： 1次 参考文献(3条) 1.张奠宙.赵斌 二十世纪数学史话 1983 2.朱学志 数学史与数学方法论选讲 1987 3.徐利治 数学方法论教程 1992 相似文献(10条) 1.期刊论文 蒋星耀 关于悖论的统一模式——纪念罗素悖论发现100周年 -北京工业大学学报2002,28(1) 用数学的语言给出了一个抽象的悖论. 令F是从集合A到集合B的双射,记M＝{a∈A | aF( a )},如果在某个理论中M∈B是合法的(或看起来是合理的 ),则问题m∈M - 将是该理论中的一个悖论. 该抽象悖论也可看成悖论的统一模式,只要适当选择双射F和集合A、B就可以将所有己知悖论包含在该模式中 . 由于找到所有悖论的统一模式,也找到了产生悖论的唯一的本质的原因,为圆满解决悖论问题创造条件. 2.期刊论文 丛山 集合与悖论 --谈“集合”的定义问题 -安徽电力职工大学学报2003,8(4) 本文通过对"罗素集"与其同型集合的悖论分析,阐述了包含自身为元素的"集合"存在的逻辑问题,从而指出了为什么"集合"不能"定义"的问题所在. 3.期刊论文 欧阳耿.OUYANG Geng 罗素悖论的两个现代翻版——康托在集合论中的两个证明 -喀什师范学院学报 2008,29(3) 从经典无穷理论体系中的缺陷入手,分析了康托的实数集合不可数证明及康托定理S=