实验五 用matlab求二元函数的极值
1．计算二元函数的极值
对于二元函数的极值问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:
步骤1.定义二元函数
.
步骤2.求解方程组
,得到驻点.
步骤3.对于每一个驻点
,求出二阶偏导数
步骤4. 对于每一个驻点
,计算判别式
,如果
,则该驻点是极值点,当
为极小值,
为极大值;如果
,需进一步判断此驻点是否为极值点; 如果
则该驻点不是极值点.
2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值
设函数
在有界区域
上连续，则
在
上必定有最大值和最小值。求
在
上的最大值和最小值的一般步骤为：
步骤1. 计算
在
内所有驻点处的函数值；
步骤2. 计算
在
的各个边界线上的最大值和最小值；
步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在
内的最大值和最小值。
3．函数求偏导数的MATLAB命令
MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。
diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。
jacobian(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。
可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息
例1 求函数
的极值点和极值.
首先用diff命令求z关于x,y的偏导数
>>clear; syms x y;
>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;
>>diff(z,x)
>>diff(z,y)
结果为
ans =4*x^3-8*y
ans =-8*x+4*y
即
再求解方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解方程的MATLAB代码为：
>>clear;
>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')
结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：
>>clear; syms x y;
>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;
>>A=diff(z,x,2)
>>B=diff(diff(z,x),y)
>>C=diff(z,y,2)
结果为
A=2*x^2
B =-8
C =4
由判别法可知
和
都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，
和
是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。
>>clear;
>>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;
>>[X,Y]=meshgrid(x,y);
>>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3;
>>mesh(X,Y,Z)
>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
结果如图16.5.1
图16.5.1 函数曲面图
可见在图6.1中不容易观测极值点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.
>>contour(X,Y,Z, 600)
>>xlabel('x'),ylabel('y')
结果如图16.5.2
图16.5.2 等值线图
由图16.5.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点
和
.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点
周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点.
例２ 求函数
在条件
下的极值..构造Lagrange函数
求Lagrange函数的自由极值.先求
关于
的一阶偏导数
>>clear; syms x y k
>>l=x*y+k*(x+y-1);
>>diff(l,x)
>>diff(l,y)
>>diff(l,k)
得
再解方程
>>clear; syms x y k
>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')
得
进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.
例3 抛物面
被平面
截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
这个问题实际上就是求函数
在条件
及
下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数
求Lagrange函数的自由极值.先求
关于
的一阶偏导数
>>clear; syms x y z u v
>>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);
>>diff(l,x)
>>diff(l,y)
>>diff(l,z)
>>diff(l,u)
>>diff(l,v)
得
再解方程
>>clear;
>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0',
'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')
得
上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数
在有界闭集
，上连续，从而存在最大值与最小值），故由
求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为
，最短距离为
。
习题16-5
1.求
的极值，并对图形进行观测。
2.求函数
在圆周
的最大值和最小值。
3.在球面
求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。
浙公网安备 33021202002483