清华领军与自招数学与逻辑

2017年清华大学自主招生与领军 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 数学 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 （1）设函数，若对，则实数的取值范围是分析：如果是解答题，我们需要对求导，对分类讨论单调性，求上的最小值，进而求得答案。但是对于清华领军考试这样的要求快速作答的选择题，这么做很浪费时间，可以用数形结合快速得出答案。解：问题等价于在上恒成立记，，两函数均过，且由图像可得选A（2）设为两个随机事件，且，则解：（A），所以A错（B），所以B对（C），所以C错（D），所以D错选B（3）从中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如，这样的四位数共有解：十个数中先选出3个数，再从中选出一个作为用两次的，再选出两个位置放这个数，剩下两个数再排列一下，共有个.下面考虑被排在了首位的情况：1°0在后三位还出现了一次：则在剩下9个数中再选两个，于是有个.2°只出现在首位：则在剩下9个数中再选两个，其中一个重复两次，于是有个.于是符合题目要求的四位数共有个选D（4）已知集合，，设映射满足：对任意的是奇函数，这样的映射的个数解：设则，，，均为奇数，所以只需令为奇数，所以共有种选择选C（5）若关于的方程只有一个实数解，则实数的值解：显然与均关于对称，若有之外的解，则均成对出现，所以要只有一个解，则只能在处，此时当时，时，，确实只有一个解.选A（11）方程的非负整数解的个数是答案：解析：令，先研究的解的个数，然后对于的每一个可能的取值，分别研究的解的个数。考查的是类比转化的思想——既然二元一次不定方程会解，三元怎么办？自然将未知问题（三元）转化为已知问题（二元）去解决。具体来说：的非负整数解有组，其中，分别研究的非负整数解的个数：（写一写，看一看——归纳猜想！当然直接求解也可以，但容易算错）…………组数……所以，总组数（6）设为非零向量，且，则与夹角的最大值为（B）解析：因为，取，则平移向量的起点到点，则向量的终点在以为圆心，以为半径的圆上，如下图所示，则与夹角为，方法一：根据几何意义可知，当与圆相切时，夹角最大，此时，，则,则.方法二：在中，不妨假设，，则，当且仅当时，取最小值，此时最大，为.方法三：假设，则，则，设与夹角为，则令，则，则所以（7）已知三棱锥的底面为边长为3的正三角形，且则的体积为（C）解析：如图，因为,过点向面作垂线，因为斜边长相等，则射影相等，可知到顶点距离相等，因此为的外心，因为为直角三角形，所以为的中点.平面，则,所以.（8）设函数，若对任意的实数则实数的取值范围是（A）解：方法一：排除法，当时，显然满足题意，可以排除选项BD；当时，显然，也满足题意，因此排除D选项，选A.方法二：即则，题目等价于对任意的实数恒成立，当时，不等式显然成立，当时，题目等价于对任意的实数恒成立，因为，而且0能取到，所以的最大值为0，因此.（9）设正实数满足，则的最小值为D解：设，则由均值不等式可得，，又因为，所以，则，又因为，所以，故选D.（10）给定圆及圆内一点，设是圆的两个动点，满足，则的中点的轨迹为(A)一个圆一个椭圆一段双曲线一段抛物线解：如图，建立平面直角坐标系，不妨假设圆的方程为，则,所以,因为，所以，设，则化简得：，即，所以轨迹为一个圆.（11）方程的非负整数解的个数是答案：解析：令，先研究的解的个数，然后对于的每一个可能的取值，分别研究的解的个数。考查的是类比转化的思想——既然二元一次不定方程会解，三元怎么办？自然将未知问题（三元）转化为已知问题（二元）去解决。具体来说：的非负整数解有组，其中，分别研究的非负整数解的个数：（写一写，看一看——归纳猜想！当然直接求解也可以，但容易算错）…………组数……所以，总组数（12）设整数满足且对任意整数，是24的倍数，满足条件的有序数组的个数为答案：解析：整体思路——尽量给出足够强的必要条件，进而枚举解决。具体来说：令，易得，所以可能的取值有种；下面分析即可；令，易得；令，易得；因此，设，其中，更进一步讨论，有：，即，因为奇数的平方模余，偶数的平方模余，所以只需，即可满足题意；当时，；当时，；当时，；当时，；因此总共有种情况（13）设是三角形的三个内角，则的最大值答案：解析：方法一：尝试和差化积，发现搞不定，再尝试积化和差：取等条件显然能取到，从而选方法二：根据不等号的方向和整个式子的结构，想到采用均值不等式进行放缩，然后和差化积：取等条件显然能取到，从而选方法三：作为选择题，容易根据的不对称性判断，选项应该不是答案，而，所以直接猜。此方法适用于时间不够的情况。（14）设则答案：解析：；；所以（15）设是的排列，且满足，则这种排列的个数是答案：解析：首先若（）满足题意，则（）也满足题意，所以答案一定是或；此时若时间不够，直接选或。由题意，，所以（或对换），此时有：，所以为奇数，下面分类讨论：若，有，矛盾；若，则，从而；若，则，此时对应两种情况；若，则，此时无解；其它情况无解；综上，满足题意的排列有种。（16）设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，例如，当取遍所有的个有序数组时，的平均值为【答案】C解析：首先的取值有4种情况。①当时，说明的取值各不相同，因为，所以共有种不同情况；②当时，说明取3个不同的数值，先把对分成三组，任取两个字母为一组，剩余两个字母各自一组，共有种，然后再从任取三个数字有种，所以共有种不同情况；③当时，说明取2个不同的数值，第一种情况：有3个字母取值相同，根据上述分析有种不同情况；第二种情况：分别有2个字母取值相同，根据上述分析有种不同情况；④当时，说明仅取1个数值，所以有种不同情况。所以的平均值为（17）设，则的体积为【答案】D解析：由题知在空间直角坐标系中，几何体在第一象限，且与轴的交点分别为，法1：因为,所以几何体的体积为法2：以为棱的平行六面体的体积为而三棱锥的（18）已知在区间内有两个零点，则的取值范围为【答案】B解析：二次函数在区间内有两个零点充要条件是在直角坐标系中，画出上述区域所求，对于抛物线，与纵轴的交点在点之间，因为边界不能取到，所以解得.（19）在中，为上的点，且，设则解析：为中点，为中点，为中点，如图所示，故，D正确（20）一根直细杆放在数轴上占用的范围是区间，若该细杆的质量线密度为，则其质量为解答：用换元法求积分：,记则质量等于（21）设函数，则有两个极大值点有两个极小值点的极大值点的极小值点解答：直接求导数，得到由导数可知函数由3个极值点，并且综上可知是函数的极大值点，，是函数的极小值点；答案BC.（22）一道四选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同.赵说：我选的是；钱说：我选的是之一；孙说：我选的是；李说：我选的是.已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是赵钱孙李解答：假设赵说了假话，则钱孙李说的真话，钱孙李分别选了B,C,D,因为选的恰不相同，推出赵选A，即赵没说假话，矛盾.假设钱说了假话，则钱选的是A，而赵选A说的是真话，也矛盾;假设孙说了假话，则赵钱李说的是真话，一种可能是孙选的是B，钱选的是C，没有矛盾.同理，假设李说了假话，则赵钱孙说了真话，一种可能性是李选了B，钱选了D，也没有矛盾.综上，答案是CD.（23）某人投100次篮球，设投完前次篮球时的命中率为.已知则存在，使得答案：ABCD.（24）设为两个单位向量，是实数，若，则的最大值为1的最大值为的最大值为的最大值为解答：;,从而最大值是，取到极大值时;从而的最大值为，取到极大值时;答案:BD（25）设复数满足：，则的的最小值为的最小值为的最大值为的最大值为【答案】BD解析：由题可设，①，②把①两边平方得把②式代入上式，有所以因为，所以，所以且由的任意性可知，均能取到.（26）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，为椭圆上的动点，设直线分别与直线相交于两点，则椭圆上满足的点恰有2个椭圆上满足的点恰有4个轴上满足的点恰好有2个轴上满足的点恰好有4个解析：椭圆，求得，设直线，因为所以（点处切线斜率），易得联立与椭圆方程，化简得：由韦达定理，得，再求得故利用两点式，可得直线方程：与直线联立，求得因此需满足，显然椭圆上有4个点满足此要求。欲满足，即满足∽，即，也即，轴上满足此要求的点恰好有2个综上，选BC（27）已知为椭圆的左焦点，设是椭圆的右准线上一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，则的面积为定值的周长为定值解析：，离心率，右准线即椭圆的右焦点为，由圆锥曲线的切线性质（切线方程），若是椭圆上的点，是椭圆右准线上点，且是椭圆切线，则有成立，同理，即共线，为焦点弦，焦点弦最短为通径，故，B正确，A错误，对来说，三角形的周长为，为定值，D正确；显然不是定值，故三角形面积不是定值，C错误综上，选BD（28）设满足，则点只有有限个有无限个位于同一条直线上位于同一条抛物线上【答案】C解析：将进行代数变形，有令函数，易证是奇函数，且在上单调递增。因为由是奇函数，由单调递增，,得.（29）设函数是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则的值不唯一的值唯一的值不唯一的值唯一答案：AC解：根据题意（），又在区间上单调，有，因此或，当时，，；当时，，．（30）已知为随机变量，则答案：ABC解：（A），正确；（B）,正确；（C），，相等，正确；（D）反例：时，．（31）已知实数满足：当时，恒有，则答案：ABD解：处理这类选择题，通常采用必要条件解题：令，有，线性规划如图所示：C选项反例：．（32）设均为正数，且，则中小于1的数最多只有一个小于2的数最多只有两个答案：AC解：（A）若，则，矛盾，故选项正确；（B）若，则，不矛盾，例如取，（），故选项错误；（C）若（），则，求和后与条件矛盾，故选项正确；（D）反例，取（）．33．数列中，①，②，③．A．一定是等比数列B．当，时C．当各项为正数时，D．当存在正整数使得时，解析：根据对称特点，将①②③相加得故为等比数列，所以A选项正确；于是所以，递推有④将④代入①得⑤⑤可写为于是⑥同理时，上述各式也成立将，代入①，得，所以代入⑥中得，故B选项正确当各项为正数时，假设不全相等，（i）若最小，则现取当时，故总有充分大的，当时，这与题设矛盾．（ii）若不是最小数，则从而现取当时，故总有充分大的，当时，这与题设矛盾．所以当各项为正数时，，故C选项正确当存在正整数使得时，易得，故D选项正确（竞赛原题）设，数列中，且①，②，③．试求证：若则．证明：根据对称特点，将①②③相加得故为等比数列，于是所以，递推有④将④代入①得⑤⑤可写为于是⑥同理时，上述各式也成立假设不全相等，不妨设最小，则现取当时，故总有充分大的，当时，这与题设矛盾．从而（34）设若则答案：BCD解：假设，则，从而，矛盾，因此．假设，则，从而，矛盾，因此．（35）在扇形中，点为上的动点且不与重合，于，于，则的长为定值的大小为定值面积的最大值为四边形面积的最大值为解析：，将逆时针旋转90°，如图所示由对称性，易证≌，，，显然，根据余弦定理，B正确，且由内角和公式，记，则，化简得：，即，，故，A正确的面积：当，即时，的面积取到最大值，解得（舍负），C正确四边形面积：当，即时，四边形面积取到最大值，D正确综上，选ABCD