0,考虑球形域B(0)uR3上拉普拉斯特征值问题af-Au=卩u,(x,y,x)eB(0)/a[u=0,(x,y,x)e0B(0).a(7.2.6)其中卩为待定常数。若对某个卩定解问题(7.2.6)有非零有界解,则卩称为(726)特征值,相应的非零有界解称为(7.2.6)的特征函数。求解(7.2.6)就是确定出所有特征值和相应的特征函数。对(7.2.6)利用球面坐标变换得(urrAu=—|L1su,(r,9,0)eB(0)a[u=0,(r,9,0)e0B(0).a7.2.7)利用分离变量法求解(7.2.7)。令u=R(r)f(9,0)=Rf,并将其代入到(7.2.7)中的方程得2R(R''+_R')f+—Af=—卩Rf,rr2s整理可得r2R''+2rR'+pr2RAf.=———s——=九,故有-Af=Xf,sr2R''+2rR'+(pr2一九)R=0.结合(7.2.10)中边界条件可得如下定解问题J-Af=Xf,0<9<2兀,00.nn且有特征函数系IP(cosp)|n>0〕关于权sin申是相互正交的,n2LP(cosp)P(cosp)sinpdp=5,n,l>00nlnl2n+1(7.2.11)(3)特征函数系(cosp)|n>0〕是完备的,即对任意在区间[0,兀]上分段光n滑的函数f(p),可展成如下的傅里叶级数f(p)=£cP(cosp)nnn=0(7.2.12)其中n>0c=2n+1Lf(p)P(cosp)sinpdpn20n(7.2.13)下面给出定理2.1的证明。对(7.2.10)作变量代换x=cosp,y(x)=O(p)=O(arccosx)直接计算可得dOdydxdy==-sinpdpdxdpdx或写成.d①.小dysm申=-sm2申d申dx将上式代入(7.2.10)中得sin2申—(sin2申—y)+九sin2申y=0dxdx方程两边同时除sin2申,并利用sin2申=1-x2得—[(1-x2)—y]+九y=0,-10}。例2.1将函数f(申)=sin申在区间[0,“]按特征函数系{P(cos申)In>0}展成n傅里叶级数。解根据定理2.1可得f(9)=cP(cos9),其中nnn=0c=2n+1J兀sin9P(cos9)sin9d9.n20n对积分作变量代换x=cos9,并利用P(x)的奇偶性得c=°k+彳J1V'1-x2P(x)dx=0,2k+1而当n为偶数时有7.2.15)c=(4k+1)J\-'1-x2P(x)dx.2k02k上面积分总是可以求出的,譬如当k=2时,P(x)=35x448153x2+48故有c=9J-x2(35x4-30x2+3)dx,x=sint4809fx=—J2(35sin41-30sin21+3)cos2tdt809fx=一J2(3-33sin21+65sin41-35sin61)dt802349=—x.从而有展开式sin9=^cP(cos9),其中系数由(7.2.15)给出。2n2nn=0例2.2将函数f仰)二cos4甲在区间[0,兀]按特征函数系(P(cos申)n>o}展成n傅里叶级数。解作变量代换x二COS申即得f(申)二x4,xG[-1,1].利用例1.6的结果得TOC\o"1-5"\h\z148x4=5仆x)+7px)+35P4(x),从而有展开式148COS4申=_P(cos申)+P(cos申)+P(cos申).5072354例2.3设有一球心在原点半径为a的球形导热体,内部无热源,球面温度为1+cos2申,求经过充分长时间后导体内的温度分布。解由于导热体内部无热源,球面温度与时间无关,所以经过充分长的时间后导体内的温度将趋于稳态,即温度不随时间变化。设导体内温度为u(x,y,z),则u满足如下定解问题f-Au=u+u+u=0,(x,y,z)gB(0)Jxxyyzza\u=1+cos2申,(x,y,z)GdB(0).a由于边界温度与9无关且有界,可推知导体内温度有界且u(x,y,z)与0也无关,即球体内任一圆:r=r,x2+y2=r2cos29,00.nn下面求解R(r),将X=n(n+1)代入到(7.2.17)中得nr2R”+2rR'-n(n+1)R=0该方程为欧拉方程作变量代换r=es将该方程转化为常系数微分方程后易得其通解为R—crn+dr-(n+1)nnn利用u的有界性可得d—0,即nR—crn.nn利用叠加原理就得到(7.2.16)的解为u(r,9)—crnP(cos9)nnn—0其中系数c由(7.2.16)中的边界条件来确定。在上式中令r—a得n1+cos29—艺canP(cos9)nn易得n—042c—,c—,c—0,n丰0,2.0323a2n最后就得到(7.2.16)的解为42r41ru(r,9)—+三(一)2P(cos9)—+才(一)2(3cos29-1).33a233a注2如果在例7.2.3的问题中,导热体内部有热源且热源密度是r和9的函数,就要用特征函数法求解。7・2・3*球面调和函数(与0有关)对于球面拉普拉斯算子的特征值问题(7.2.8),若f与0有关时,还是利用分离变量法求解,令f(9,0)-①(9)0(0)-①0,并将其带入到(7.2.8)中方程得—-—(sin申①')◎+—-①®”=一九①®sin申d申sin2申整理可得sin申(sin申①')+九sin2申①d申_0”_——'V①0结合(7.2.8)中的边界条件可得j0"+v0-0,0<0<2兀10(0)—0(0+2兀).7.2.19)dsin申——(sin申①')+(九sin2申一v)0=0,0<申<兀0m(7.2.19)为n二1时拉普拉斯算子带有周期边界条件得特征值问题,由第二章定理1.3可知其特征值和特征函数分别为v=m2,m(7.2.21)将V二m2代入到(7.2.20)中便得m00n0nn(7.2.23)当m>1时,对(7.2.22)作变量代换x=cos申,y(x)=①®),直接计算可得rd…、dy^rm2_—[(1一x2)—]+[九一]y=0,一10(7.2.25)nn对于特征值问题(7.2.22)有如下结果。定理2.2[2][3]对特征值问题(7.2.22),如下结果成立。①仰)=(sin*)mP(m)(cos9),mnnn>m特征值和特征函数分别为X=n(n+1),mn7.2.26)(2)特征函数系{①(*)|n>m}是相互正交的,且有mnJ①(*)0(*)cos*d*=6mnmknk22n+107.2.27)(n+m)!(n一m)!n,k>m(3)特征函数系{①(*)|n>m}是完备的,即对任意在区间[0,兀]上分段光mn滑的函数f(9),可展成如下的傅里叶级数f(*)=£c①(*)nmnn=0(7.2.28)其中系数可根据(7.2.27)求出。由(7225)可得到(7.2.26)。(7.2.27)的证明可通过直接计算而得,作为练习放在习题中。特征函数系{①®)n>m}的完备性,即(7.2.28)的证明可查mn阅参考文献[2]和[3]。注3由(7.2.21)和定理7.2.2可知,当f与9有关时,所有球面调和函数为{①(*)cosm9,①(*)sinm9},m>0,n>m。mnmn特别当n给定时,即当Xn=n(n+1)时,所有的球面调和函数为{sinm9P(m)(cos9)cosm9,sinm9P(m)(cos9)sin},00,n>0m>0,n>m(7.2.31)mnY仰,9)={(sin甲)mP(m)(cosQ)cosm9,(sinq)mP(m)(cosQ)sinm9},mnnn(2)特征函数系{Y(p,0)Im>0,n>m}是相互正交的,且有mnJ2Kd9jKY(申,9)Y(申,9)sin申d申00mnkl匚cosm9cosk9小f=J2K(.八)(.n)d9JKP(m)(cos申)P(k)(申)(sin申)m+k+1d申0sinm9sink90nl0,k丰m,或n丰lm=k>1,n=l>0(2.32)2兀(n+m)!=0.〔2n+1(3)特征函数系{Y(Q,9)|m>0,n>m}是完备的,由于此完备性结果要涉及mn到二重级数展开问题,这里就省略了。7.2.4*球形贝塞尔函数求解球形域上与拉普拉斯算子相关的一些定解问题时,有时还需求解(729)。将九=n(n+1)代入到(729)中可得n将九=n(n+1)代入到(729)中可得nr2R"+2rR'+[卩r2一n(n+1)]R=0,0
方法
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可证R>0。当卩=0时,(3.32)中的方程为欧拉方程,方程的通解为R=crn+dr-(n+i)nnn结合(7.2.33)中的边界条件可得c=d=0,nn故卩=0不是(7.2.33)的特征值。当卩〉0时,对(7.2.33)中的方程作变量代换R(r)=r-2u(r),直接计算可得—3—1R'(r)=——r—2u(r)+r—2u'(r),2531R''(r)=r—2u(r)一r—2u'(r)+r—2u''(r),4将上面两式代入到(7.2.33)中并整理可得r2u"+ru'+[卩r2一(n+2)2]u=0,此即(n+丄)阶贝塞尔方程。利用第三章中求解贝塞尔方程的结果可得2u(r)=cJ(冲r)+cJ(沖r)1“+12-(n+1)22由此可得(7.2.33)中方程通解为R(r)=cr-2J(“r)+cr-2J(“r).11¥21*(7.2.34)由边界条件|R(0)|1}为J丄(x)的正零点。1u(n+2)R(r)=r—2J(—kr),k>1nkn+1a2n+2注4可以证明⑵:(n+1)阶贝塞尔函数J(x)有无穷个正零点p(n+2),且21kn+2有limp(n+2=+^。当x充分大时,J(x)具有以下的渐进表示式kT8122•/n兀、〜一3、sm(x—)+0(x2)兀x2n+(7.2.36)注5函数x-1J(x)称为n阶球面贝塞尔函数,通常记为j(x),即n+丄n2丄1j(X)=X2J(X)=J(X)。Inn+1Xn+122为求解贝塞尔方程和勒让德方程,引入了两类特殊函数,即贝塞尔函数和勒让德函数。为求解贝塞尔伴随方程,通过变量代换得到了球形贝塞尔函数。将上面所得结果总结为如下定理。定理2.4[3]对任意的非负整数n,对特征值问题(7.2.33),如下结果成立。(1)特征值和特征函数分别为卩=(氏-)2,nkaR(r)=r-2J(nk2)r),k>1n+丄a2(7.2.38)对任其中{k:T|k>1}为J丄(X)的正零点。n+2特征函数系{R(r)Ik>1}关于权r2是相互正交的,且有nkJaR(r)R(r)r2dr=6A,m,k>10nmnkmkk2)(2.37)其中(n+)Ak=()2J2(x)XdX,k>10(7239)nk(3)特征函数系{R(r)|k>1}是完备的,即对任意在区间[0,a]上分段光滑nk(7.2.40)的函数f(r),可展成如下的傅里叶级数f(r)=才cR(r)knkk=1其中系数可根据(7.2.39)求出。有了球面调和函数和球形贝塞尔函数,我们就可以解决球形域上拉普拉斯算子的特征值问题了。为简单起见,下面仅考虑函数与o无关的情形。考虑如下特征值问题21八(u+—u)+一Au=一卩u,(r,p,0)wB(0)rr2(r,p,0)wQB(0).a0,k>1nknnk(7.2.43)其中R(r)如(7238)中所示。.nk(2)特征函数系{X(r,p)|n>0,k>1}关于权r选取常数c使得cy(x)为三阶勒让德多项式P(x)。sin申是相互正交的,且有nkJar2drJ兀X(r,p)X(r,p)sinpdp=582A,n,l>0;m,k>100nmlknlmk2n+1k(7.2.44)(3)特征函数系{X(r,p)|n>0,k>1}是完备的,即对于在区域[0,a]x[0,兀]nk上分片光滑的函数f(r,p),可展成傅里叶级数其中(7.2.45)习题七f(r,p)=£cX(r,p)nkn=0,k=12n+1nk2AJaf(r,p)X2(r,p)sinpdp.nk1.求解或证明以下各题取^=3,利用本章递推公式(7.1.4)写出y(x)和y(x),其中y(x)和121y(x)如(7.1.5)中所示。2证明y(x)表达式中的无穷级数在区间(-1,1)收敛而在x二±1发散。12.求解或证明以下各题取a=5.2,利用本章递推公式(7.1.4)写出y(x)和y(x),其中y(x)121和y(x)如(7.1.5)中所示。2证明y(x)和y(x)中的无穷级数在区间(-1,1)收敛。12证明当x二±1时,y(x)和y(x)中的无穷级数的系数当k充分大不变号123・求出第二类勒让德函数Q(x)和Q(x)的和函数。014.求解或证明以下各题(1)证明{P(x)|00.nn设f(x)二艺cP(x),则有f(1)=艺c。kkkk=0k=05.利用勒让德函数求解以下方程3(1-x2)y''-2xy'+才y=0,-1m,n丰k.nk(2)f1(1一x2)mP(m)(x)P(m)(x)dx=-,n=k>m._1nk(n一m)!1+2n将f(x)=x4按{P(x)|n>0}展成傅里叶级数。n设f(x)=;°'一1-X<0,将该函数按{P(x)|n>0}展成傅里叶级数。[1,00}展成傅里叶级数(求出[x,00}展成傅里叶级n数。求在半径为2的球内调和函数u,它在球面上等于2_3COS2申。求函数u(r,申)使得在半径为3的球外调和,满足边界条件u(3,q)=cos2甲,limu(r,申)=0.rTg由上式可得