数论中的多项式

数论中的多项式数论中的多项式问题一．有理系数多项式的因式分解定理1：设I是Q[x]的一个子集，满足如下性质。Vf(x),g(x)eI,有f(x)+g(x)eIVf(x)eI,c(x)eQ[x]，有f(x)c(x)eI则存在p(x)eI使得I={q(x)Ip(x)是q(x)的因式}证明：取I中次数最低的非零多项式f(x)，如果有多个，任取其中一个。若f(x)为常数，根据第二条性质，显然I=Q[x]满足条件。若degf>1，假设存在一个多项式g(x)不是f(x)的倍式，设g(x)=q(x)f(x)+r(x)，degr

数论中的多项式问题一．有理系数多项式的因式分解定理1：设I是Q[x]的一个子集，满足如下性质。Vf(x),g(x)eI,有f(x)+g(x)eIVf(x)eI,c(x)eQ[x]，有f(x)c(x)eI则存在p(x)eI使得I={q(x)Ip(x)是q(x)的因式}证明：取I中次数最低的非零多项式f(x)，如果有多个，任取其中一个。若f(x)为常数，根据第二条性质，显然I=Q[x]满足条件。若degf>1，假设存在一个多项式g(x)不是f(x)的倍式，设g(x)=q(x)f(x)+r(x)，degr 数学归纳法。当degf=1时，f只能等于eci，e为常数。假设degfa>...>a>0。否则，存在aj，由对称性，必存在交换x与x的12niiij项，它的字典排列将在原首项的前面。构造对称多项式g(x,xx)=aca!-a2ca2-a3..Qan-严”can，它的首项为12n12n-1nax^-a2(XX)a?-a彳.,XX...X)a”与f的首项相同。因此f-g比f的"次项少了若干11212n项。以此类推，由于f的n次项总数有限，必然可如上构造有限次g「g2,…使得f的全部n次项等于g+g+...，证毕。12四、有限域上的多项式F上的多项式性质和复，实，有理系数多项式非常相似。因此前面的理论p基本可以照搬来用，这里不再重复证明。注意F上两个多项式相等定义为它们p次数相同且对应项系数modp同余，而不是两个多项式在modp意义下取值恒等。例如xp三X(modp)恒成立，但XpWX并不是相等的多项式。定理10(拉格朗日定理)：F上n次多项式pnaxn+axn-1+...+ax0三0(modp)至多有个根。nn-10证明：同代数基本定理中不超过n个根部分的证明。定理11：F上的多项式可分解为首项系数乘若干首一不可约多项式的乘积p且分解在不记次序的意义下是唯一的。证明：同有理系数多项式唯一分解定理的证明。定理12：f(xp)三f(x)p(modp)证明：对f的次数用数学归纳法，degf=0时显然成立。设degf2。首先证明存在素数P，存在单位根卩使2n得卩和卩p是0(x)不同因式的根。若k为素数，显然卩二w满足条件。反之，设nnk=pq，P素数。由k的最小性，wq—定不是f2(x)的根。n2下面不妨设f(0)-0，f(0P)二0。由于卩是多项式f(xp)的根，不可约多122项式fi是卩的最小多项式，故f(x)lf(xp)。存在整系数多项式g(x)使112f(xp)二f(x)g(x)成立。将上式在modp意义下考虑，任取f(x)在域F上的不211p可约因式u(x)，则u(x)lf(xp)，由定理12，u(x)lf(x)pnu(x)lf(x)。故222u(x)21f(x)f(x)Ixn-1在F上成立。令xn-1二u(x)2h(x)，对两边求导数，得12pnxn-i=2u(x)h(x)+u2(x)h'(x)。所以u(x)Inxn-1。但nxn-1和xn一1在f上互素，矛p盾，证毕。综上所述，xn-1=n0(x)给出的表达式即为xn-1的唯一分解式。ddIn

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