2022-2023学年吉林省白城市通榆县重点中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年吉林省白城市通榆县重点中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有(    )A.C31C471B.C32C470C.C31C491D.C31C471+C32C4702.等比数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=3(a1+a3)，则公比为(    )A.1B.−2C.2D.2或−23.两个女生和四个男生排成一排，其中两个女生必须排在一起的不同排法有几种(    )A.240B.480C.120D.604.已知C126−x=C122x−3，则x的值是(    )A.3B.6C.9D.3或95.(x+1x)10展开式中的常数项为(    )A.第5项B.第6项C.第5项或第6项D.不存在6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7+a10=a11+3，则S11=(    )A.33B.66C.22D.447.已知f(x)是定义在R上的可导函数，y=ef′(x)的图象如下图所示，则y=f(x)的单调减区间是(    )A.(−∞,−1)B.(−∞,2)C.(0,1)D.(1,2)8.在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为(    )A.1200B.2400C.3000D.3600二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有(    )A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C31C72种B.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C31C92种C.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C31C72+C32C71+C33种D.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C103−C73种10.在(2x−1x)7的展开式中，下列叙述中正确的是(    )A.二项式系数之和为128B.各项系数之和为1C.常数项为15D.x−4的系数为−4811.4名男生和3名女生排队(排成一排)照相，下列说法正确的是(    )A.若女生必须站在一起，那么一共有A33A55种排法B.若女生互不相邻，那么一共有A33A44种排法C.若甲不站最中间，那么一共有C61A66种排法D.若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有A77−2A66种排法12.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(    )A.f(x)在(−3,1)上是增函数B.f(x)在(1,3)上是减函数C.f(x)在(1,2)上是增函数D.当x=4时，f(x)取得极小值三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为______．14.在(2+x)5的二项展开式中，x4项的系数为______(结果用数值表示)．15.有10本相同的画册要分给6个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为______(用数字作答)．16.若函数y=2ex−3在x=0处的切线与y=lnx+ax的图象相切，则实数a的值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)在(1+2x)7的展开式中，求：(1)第4项的二项式系数；(2)含x3的项的系数．18.(本小题12.0分)已知等差数列{an}中，a2=2，a1+a5=6．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的{an}前n项和Sn．19.(本小题12.0分)某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人．(1)若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？(2)郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法(列式并用数字作答)？20.(本小题12.0分)有8名男生和5名女生，从中任选6人．(1)有多少种不同的选法？(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？21.(本小题12.0分)已知函数f(x)=lnx−ax+1(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意的x>0，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．22.(本小题12.0分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=43(an−1)，n∈N*．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)令bn=log2an，记数列{1(bn−1)(bn+1)}的前n项和为Tn.证明：13≤Tn<12．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：“至少取到1件次品”分两种情况：取到1件次品的方法数为C31C471种；取到2件次品的方法数为C32C470，由分类计数原理知，共有C31C471+C32C470种不同的方法数．故选：D．分“取到1件次品”和“取到2件次品”两种情况，结合组合数与分类加法计数原理，得解．本题考查排列组合与计数原理的综合应用，熟练掌握组合数与分类加法计数原理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．2.【答案】C 【解析】解：设公比为q，∵a1+a2+a3+a4=3(a1+a3)，∴a2+a4=q(a1+a3)=2(a1+a3)，解得q=2．故选：C．根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．3.【答案】A 【解析】解：因两个女生要排在一起，所以将两个女生视为一个人，第一步，将两个女生的整体与其余四个男生进行全排列，有A55种不同排法．第二步，对于其中的每一种排法，两个女生之间有A22种不同排法．由分步计数原理可知共有A55A22=240(种)不同排法．故选：A．捆绑法：将两个女生捆绑为一个整体与其余四个男生进行全排列．本题考查排列组合相关知识，属于中档题．4.【答案】A 【解析】解：由题意得6−x=2x−3或6−x+2x−3=12，解得x=3或x=9(舍)，所以x=3．故选：A．利用组合数的性质列方程求解即可．本题考查了组合数公式的性质，是基础题．5.【答案】B 【解析】解：根据题意，(x+1x)10展开式中的通项为Tr+1=C10r(x)10−r(1x)r=C10r(x)10−2r，令10−2r=0，可得r=5；则其常数项为第5+1=6项；故选B．根据题意，写出(x+1x)10展开式中的通项为Tr+1，令x的指数为0，可得r的值，由项数与r的关系，可得答案．本题考查二项式系数的性质，解题的关键是正确应用二项式定理，写出二项式展开式，其次注意项数值与r的关系．6.【答案】A 【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，若a7+a10=a11+3，则a7+a10−a11=a6=3，则S11=(a1+a11)×112=11a6=33；故选：A．根据题意，由等差数列的性质可得a7+a10−a11=a6=3，又由S11=(a1+a11)×112=11a6，计算可得答案．本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．7.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，属于基础题．根据函数的图象，求出f′(x)的符号，从而求出函数的单调区间即可．【解答】解：由图象得：x∈(−∞,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,2)上单调递减，故选B．  8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查排列组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为C51C53C41A33=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为C52C52(A22⋅2A22+A22A22)=1200，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为C51C53C41A33=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为C52C52(A22⋅2A22+A22A22)=1200，总共不同的提问方式的种数为2400，故选：B．  9.【答案】ACD 【解析】解：根据题意，对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有C31C72种取法，所以A正确；对于B，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C103−C73=85，所以B不正确；对于C，抽出的3件产品中一件不合格的抽法：C31C72，两件不合格的抽法：C32C71，三件不合格的抽法：C33，所以至少有1件是不合格品的抽法有C31C72+C32C71+C33种，所以C正确；对于D，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C103−C73=85，所以D正确；故选：ACD．根据题意，由排列组合公式依次分析选项，即可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．10.【答案】AB 【解析】解：在(2x−1x)7的展开式中，二项式系数的和为27=128，所以A正确；令x=1，可得展开式的各项系数的和为(2−1)7=1，所以B正确；又由二项式(2x−1x)7展开式的通项为Tr+1=C7r(2x)7−r(−1x)r=(−1)r⋅27−rC7rx7−3r2，因为r∈N，所以7−3r2≠0，所以展开式没有常数项，所以C错误；令7−3r2=−4，可得r=5，所以x−4的系数为(−1)5⋅22C75=−84，所以D错误．故选：AB．根据展开式的二项式系数的性质，可判定A正确，令x=1，求得展开式的各项系数和，可判定B正确，求得展开式的通项，结合通项，可判定C、D错误．本题主要考查二项式定理，属于基础题．11.【答案】AC 【解析】解：选项A，利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有A33种，加上4名男生一共有5个个体，则有A55种排列方式，则由乘法原理可知一共有A33A55种排法，故A正确；选项B，利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有A44钟，再将3名女生插入空中，有A53种排列方式，则由乘法原理可知一共有A44A53种排法，故B不正确；选项C，利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间，甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有C61种，再将剩余的6人全排列，有A66种排列方式，则由乘法原理可知一共有C61A66种排法，故C正确；选项D，利用间接法，7人站成一排共有A77种排法，若甲站最左边有A66种排法，乙站最右边有A66种排法，甲站最左边且乙站最右边有A55种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有A77−2A66+A55种排法，故D不正确．故选：AC．分别利用捆绑法，插空法、优先安排特殊元素法，间接法依次求解．本题考查排列组合的应用，属于基础题．12.【答案】CD 【解析】解：根据导函数图象可知，在(−3,1)上f(x)先单调递减后单调递增，A错；在(1,3)上f(x)先单调增后单调递减，B错；在(1,2)上f′(x)>0，f(x)单调递增，C对；在(3,4)时单调递减，在(4,5)时单调递增，在x=4时，f(x)取极小值，D对，故选：CD．根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果．本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于基础题．13.【答案】60 【解析】解：根据题意可知，先安排2人去A场馆有C52种结果，再安排其余3人到剩余3个场馆，有A33种结果，所以不同的安排方法种数为C52A33=60．故答案为：60．运用分步乘法先安排2人去A场馆，再安排其余3人到剩余3个场馆即可得结果．本题考查排列组合的应用，属于基础题．14.【答案】10 【解析】解：二项式(2+x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r⋅25−rxr，根据题意可知，r=4，故含x4的项的系数是C54⋅2=10．故答案为：10．利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x的指数为4，将r的值代入通项，求出展开式中含x4的项的系数即可．本题考查二项式定理的应用，属于基础题．15.【答案】126 【解析】解：将10本相同的画册要分给6个小朋友，每个小朋友至少一本，只需在10本相同的画册形成的9个空位中(不包括两端的空位)插入5块板即可，所以，不同的分法种数为C95=126种．故答案为：126．由题意可知，只需在10本相同的画册形成的9个空位中(不包括两端的空位)插入5块板即可，结合隔板法可得结果．本题考查排列组合相关知识，属于基础题．16.【答案】1 【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，公切线问题的解题思路，属于中档题．先求出函数y=2ex−3在x=0处的切线方程，再表示出y=lnx+ax的切线方程，两方程是同一个，根据对应系数相等，即可求出a的值．【解答】解：由y=2ex−3得y′=2ex，切点为(0,−1)，k1=y′|x=0=2，故切线方程为y+1=2x，即y=2x−1⋯⋯①，设函数y=2ex−3在x=0处的切线与y=lnx+ax的图象切于点(t,lnt+at)，而y′=1x+a，k2=1t+a，故切线方程为y−lnt−at=(1t+a)(x−t)，即y=(1t+a)x+lnt−1⋯⋯②，由已知，①②是同一方程，故1t+a=2lnt−1=−1，解得a=t=1．故答案为：1．  17.【答案】解：(1)由二项式定理可知，在(1+2x)7展开式中，第r+1项为Tr+1=C7r⋅17−r⋅(2x)r=C7r⋅2r⋅xr．所以第4项的二项式系数为C73=35．(2)由二项式定理可知，在(1+2x)7展开式中，第r+1项为Tr+1=C7r⋅17−r⋅(2x)r=C7r⋅2r⋅xr．当r=3时，(1+2x)7展开式中含x3的项的系数为C73⋅23=280． 【解析】(1)先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解；(2)先写出通项公式，找到含有x3的项，然后可得系数．本题主要考查二项式定理，属于基础题．18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a2=2，a1+a5=6，∴a1+d=22a1+4d=6，解得a1=d=1，∴an=1+(n−1)=n；(2)Sn=na1+n(n−1)2d=12n2+12n. 【解析】(1)利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公差，由此能求出{an}的通项公式；(2)利用等差数列前n项和公式能求出数列的{an}前n项和Sn．本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)八个人坐两台车，只需要考虑第一辆车坐的人，先选一位老师坐入第一辆车，共C21种选法，再选三名学生坐入第一辆车，共C63种选法，因此共有C21C63=40种分配方式．(2)先让6名学生排队，共A66种方法，然后两名老师插入7个空隙，共A72种方法，因此共有A66A72=30240种站法． 【解析】(1)该问不涉及排序问题，考虑用组合去处理，第一辆车选好后，剩下的归为第二辆车．(2)排序问题中，不相邻问题考虑用插空法．本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)所有的不同的选法的总数，就是从13个不同元素中取6个不同元素的组合数，故共有C136=1716(种)不同的选法．(2)从5名女生中选出3名女生，有C53种选法；从8名男生中选出3名男生，有C83种选法．根据分步计数原理，共有C53C83=560(种)不同的选法．(3)从8名男生和5名女生中抽出的6人中至多有3名女生，包括没有女生，有1名女生，有2名女生，有3名女生四种情况；第一类，没有女生，有C86种选法；第二类，有1名女生，有C85C51种选法；第三类，有2名女生，有C84C52种选法；第四类，有3名女生，有C83C53种选法．由分类计数原理得，不同的选法共有C86+C85C51+C84C52+C83C53=1568(种)． 【解析】(1)从13人中任意抽取6人，不需考虑顺序，是一个组合问题，(2)可以先从5名女生中选出3名女生，再从从8名男生中选出3名男生，因此可以看做是一个分步完成的组合问题；(3)从8名男生和5名女生中抽出的6人中至多有3名女生，包括没有女生，有1名女生，有2名女生，有3名女生四种情况，因此可以看做是一个分类完成的组合问题．本题考查排列组合相关知识，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，f′(x)=1x−a(x>0)，当a≤0时，显然f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，令f′(x)>0，得01a；即f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减．(2)由题意得f(x)=lnx−ax+1≤0(x>0)恒成立，等价于a≥lnx+1x(x>0)恒成立，令g(x)=lnx+1x(x>0)，即a≥g(x)max时成立．则g′(x)=−lnxx2，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，那么g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递增减，所以g(x)max=g(1)=1，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1,+∞)． 【解析】(1)求导可得f′(x)=1x−a(x>0)，分a≤0和a>0进行讨论即可得解；(2)根据题意参变分离可得a≥lnx+1x恒成立，令g(x)=lnx+1x，求出g(x)的最大值即可得解．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(I)当n=1时，有a1=S1=43(a1−1)，解得a1=4，当n≥2时，有Sn−1=43(an−1−1)，则an=Sn−Sn−1=43(an−1)−43(an−1−1)，整理得an=4an−1，则数列{an}是以q=4为公比，以4为首项的等比数列，∴an=4×4n−1=4n(n∈N*)；(II)证明：由(I)有bn=log2an=log24n=2n，则1(bn+1)(bn−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，可得前n项和为Tn=12(1−13+13−15+…+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)，易知数列{Tn}为递增数列，∴T1≤Tn<12，即13≤Tn<12． 【解析】(I)运用数列的递推式，求得首项，再由n≥2时，an=Sn−Sn−1，结合等比数列定义和通项公式可得所求；(II)由(I)有bn=log2an=log24n=2n，求得1(bn+1)(bn−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，再由数列的求和：裂项相消求和，化简整理，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查数列不等式的证明，注意运用数列的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．