高一数学必修5不等式题型
总结
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高一数学必修5不等式题型总结PAGEPAGE8高一数学必修5不等式题型总结含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按项的系数的符号分类，即;例1解不等式：
分析
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：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵解得方程两根∴当时,解集为当时，不等式为,解集为当时,解集为例2解不等式分析因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解当时，解集为；当时，解集为二、按判别式的符号分类，即；例3解不等式分析本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解：∵∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为；当或即,此时两根分别为，，显然,∴不等式的解集为例4解不等式解因，所以当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为R。三、按方程的根的大小来分类，即；例5解不等式分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：，令，可得：，∴当或时，，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；当或时,,解集为。例6解不等式，分析此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.解原不等式可化为：，对应方程的两根为，当时，即，解集为；当时，即，解集为一元二次不等式参考例题（2）1．(1)解不等式（）(2)不等式的解集为，求的值.（）2．解下列关于的不等式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（）（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.（）4．（1）已知，①若，求实数的取值范围.；（）②若，求实数的取值范围.；（）③若为仅含有一个元素的集合，求的值.（）（2）已知，，求实数的取值范围.（）(3)关于的不等式与的解集依次为与，若，求实数的取值范围.（）（4）设全集，集合，若，求实数的取值范围.（）（5）已知全集，，若，求实数的取值范围.（）一元二次不等式及其解法1．二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是．2．二次函数的解析式的三种形式：（一般式）；（零点式）；（顶点式）．3．一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下
表
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：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R4．解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)；(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；(3)写出解集．5．讨论二次函数在指定区间上的最值问题：(1)注意对称轴与区间的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴在区间之内；③对称轴在区间右边．（2）函数在区间上的单调性．要注意系数的符号对抛物线开口的影响．6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．三、典型例题选讲题型1：考查一元二次函数的性质例1函数是单调函数的充要条件是（）A．B．C．D．解：∵函数的对称轴为，∴函数）是单调函数，．故选A．归纳小结：二次函数的单调区间是和，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出的范围．例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析．解：∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，∵截轴上的弦长为，∴过点和，又过点，∴，解之得，∴．归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．题型2：简单不等式的求解问题例3求下列不等式的解集．（1）；（2）解法一：因为．所以，原不等式的解集是．解法二：整理，得．因为无实数解，所以不等式的解集是．从而，原不等式的解集是．归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．例4不等式的解集为，求与的值．解法一：设的两根为、，由韦达定理得：由题意得∴，，此时满足，．解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故，．归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，，的两根为，．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．题型3：含参不等式的求解问题例5解关于的不等式．证：分以下情况讨论(1)当时，原不等式变为：，∴，即不等式的解集为(2)当时，原不等式变为： ①①当时，①式变为，∴不等式的解为或．即不等式的解集为；②当时，①式变为．②，∵，∴当时，，此时②的解为．即不等式的解集为；当时，，此时②的解为．当时，，即不等式的解集为．归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的
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，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解．题型4：一元二次不等式的应用例6（1）已知函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．解：依题意得所以，选C．（2）若函数f(x)=的定义域为R，则a的取值范围为_______．解：函数的定义域为R，对一切都有恒成立，即恒成立，成立，即，，故选A．归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．例7已知函数的最大值为，求的值．解：令，，∴，对称轴为，当，即时，，得或（舍去）．当，即时，函数在上单调递增，由，得；当，即时，函数在上单调递减，由，得（舍去）．综上可得，的值为或．归纳小结：令，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间的三种位置关系的讨论就可求得的值．此题中要注意的条件．例8设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围？解：有两种情况：其一是=，此时＜0；其二是M≠，此时=0或＞0，分三种情况计算a的取值范围．设，有==，当＜0时，－1＜＜2，=；当=0时，=－1或2；当=－1时=；当=2时，=当＞0时，a＜－1或a＞2．设方程的两根，，且＜，那么M=［，］，M1≤x1＜x2≤4，即解得2＜＜，∴M［1，4］时，的取值范围是(－1，)．一元二次不等式解法应试能力测试1．不等式的解集是()A．B．C．D．2．设集合M＝{x|0≤x<2}，，则有M∩N＝()A．{x|0≤x<1}B．{x|0≤x<2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}3．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是()A．－1≤a≤0B．－1≤a<0C．－1
0C．a＝0且b>0D．b＝0且a<01．不等式的解为_______________．2．使函数有意义的x的取值范围是_______________．3．已知，，若，则a的取值范围是_______________；若，则a的取值范围是_______________．4．关于x的不等式(a＋b>0)的解集是_______________．为使周长为20cm的长方形面积大于，不大于，它的短边要取多长？解不等式．3．解关于x的不等式(a>0)．k为何值时，关于x的不等式对一切实数x恒成立．参考
答案
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一、1．D2．B3．C4．C5．A提示：因为A∩B＝{3，4}6．A提示：因B＝{x|x<－1或x>3}，由已知得A＝{x|－1≤x≤4}∴－1，4是的两根，∴p＝－3，q＝－4．7．C8．A，提示：因的解为，只有a＝0且b≤0时，ax5提示：原不等式化为，∴|x|>52．{x|－32，1≤a≤2，提示：∵A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，∵，∴a>24．{x|x<－b或x>a}，提示：原不等式可化为(a－x)(x＋b)<0，即(x－a)(x＋b)>0，∵a＋b>0，∴a>－b，∴x>a或x<－b．三、1．设长方形较短边长为xcm，则其邻边长(10－x)cm，显然00时，不等式化为，即解得：3．原不等式化为(ax－2)(x－2)>0，∵a>0，∴，当a＝1时，，∴，∴{x|x∈R且x≠2}，当a≠1时：若a>1，则，∴，若0
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