2019年全国高考
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Ⅰ数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2019新课标Ⅰ卷·理1）已知集合，，则A.B.C.D.2.（2019新课标Ⅰ卷·理2）设复数满足，在复平面内对应的点为，则A.B.C.D.3.（2019新课标Ⅰ卷·文理3）已知，，，则A.B.C.D.4.（2019新课标Ⅰ卷·文理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是A.B.C.D.5.（2019新课标Ⅰ卷·文理5）函数的图象在，的大致为A.B.C.D.6.（2019新课标Ⅰ卷·理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.B.C.D.7.（2019新课标Ⅰ卷·文8理7）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 A.B.C.D.8.（2019新课标Ⅰ卷·文9理8）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入A.B.C.D.9.（2019新课标Ⅰ卷·理9）记为等差数列的前项和.已知，，则A.B.C.D.10.（2019新课标Ⅰ卷·文12理10）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点.若，，则的方程为A.B.C.D.11.（2019新课标Ⅰ卷·理11）关于函数有下述四个结论：①是偶函数②在区间，单调递增③在，有4个零点④的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A.①②④B.②④C.①④D.①③12.（2019新课标Ⅰ卷·理12）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2019新课标Ⅰ卷·理14）曲线在点处的切线方程为 .14.（2019新课标Ⅰ卷·理14）记为等比数列的前项和.若，，则 .15.（2019新课标Ⅰ卷·理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是 .16.（2019新课标Ⅰ卷·理16）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，则的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（2019新课标Ⅰ卷·理17）的内角，，的对边分别为，，.设.（1）求；（2）若，求.18.（2019新课标Ⅰ卷·理18）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.19.（2019新课标Ⅰ卷·理19）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.（1）若，求的方程；（2）若，求.20.（2019新课标Ⅰ卷·理20）已知函数，为的导数.证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点.21.（2019新课标Ⅰ卷·理21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验
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如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为.（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，.假设，.证明：，1，2，，为等比数列；求，并根据的值解释这种试验方案的合理性.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.（2019新课标Ⅰ卷·文理22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.（2019新课标Ⅰ卷·文理23）已知，，为正数，且满足.证明：（1）；（2）.
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