初中数学题的原创与改编【试题1】（原创）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，AC=5，（1）△ABC内切圆⊙I的半径；（2）延长CB到D，使BD=11．一动点P在BD上从点B运动到点D，求△ACP内切圆的圆心所运动的路径长．【思路点拨】（1）通常有两种方法：一是利用切线长定理构造方程，二是面积法解决．（2）三角形内心是三角形的角平分线的交点，点P在BD上从点B运动到点D的过程中，△ACP中∠ACB=90°始终不变，因此△ACP的内心在射线CI上运动．【正确解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=12，AC=5，∴AB==13．设⊙I与BC、AC、AB的切点分别为E、F、G，连接IE、IF、IG，∵∠ACB=∠IFE=∠IEC=90°，∴四边形IECF是矩形．又∵IF=IE，∴四边形IECF是正方形．设△ABC内切圆⊙I的半径为x，则AG=AF=12－x，BG=BE=5－x，∵AG＋BG=AB，∴12－x＋5－x=13，解得x=2，即△ABC内切圆⊙I的半径为2．（2）∵∠ACB=90°，AC=12，CD=16，∴AB==20．设△ACD的内心为Q，仿造（1）可求得△ACD的内切圆⊙I的半径QH=4．∵∠ICE=∠ACB=45°，∴CI=．同理CQ=．∴△ACP内切圆的圆心所运动的路径IQ长=CQ－CI=．【试题2】（改编）如图，△ABC中，∠ABC=60°，P为BC边上的一点，且∠APC=45°，PC=2PB，求∠ACP的度数．【思路点拨】从60°和45°考虑作BC边上的高，得到两个特殊的直角三角形，接下来还是不太容易．改变策略，从边的倍数关系上考虑会顺利些．【正确解答】解：过点C作CD⊥AP于P，连接BD．∵∠ABC=60°，∠APC=45°，∴∠BAP=15°，∠DCP=30°．∴PC=2PD．又∵PC=2PB，∴PD=PB．∴∠DBP=30°，∠ABD=15°．∴∠DBP=∠DCP，∠ABD=∠BAP．∴AD=BD=DC．∴∠ACD=15°．∴∠ACP=∠DCP+∠ACD=75°．
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