史上最全椭圆二级结论大全

专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 118—史上最全椭圆二级结论大全x2y2PF1.PFPF2a2.标准方程13.1e112a2b2d14．点P处的切线PT平分△PFF在点P处的外角.125．PT平分△PFF在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的12两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内1切.8．设A、A为椭圆的左、右顶点，则△PFF在边PF（或PF）上的旁切圆，必与AA所在的直线切于A（或121221122A）.1x2y29．椭圆1（a＞b＞0）的两个顶点为A(a,0),A(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于PP时APa2b2121、211x2y2与AP交点的轨迹方程是1.22a2b2x2y2xxyy10．若P(x,y)在椭圆1上，则过P的椭圆的切线方程是001.000a2b20a2b2x2y211．若P(x,y)在椭圆1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方000a2b21212xxyy程是001.a2b2x2y2b212．AB是椭圆1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则kk.a2b2OMABa2x2y2xxyyx2y213．若P(x,y)在椭圆1内，则被Po所平分的中点弦的方程是0000.000a2b2a2b2a2b2x2y2x2y2xxyy14．若P(x,y)在椭圆1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是00.000a2b2a2b2a2b2x2y2111115．若PQ是椭圆1（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则(r|OP|,r|OQ|).a2b2r2r2a2b21212x2y216．若椭圆1（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为AxBy1(AB0),则(1)a2b2112a4A2b4B2A2B2;(2)L.a2b2a2A2b2B2a2b217．给定椭圆C：b2x2a2y2a2b2（a＞b＞0）,C：b2x2a2y2(ab)2,则(i)对C上任意12a2b21a2b2a2b2给定的点P(x,y),它的任一直角弦必须经过C上一定点M(x,y).002a2b20a2b20(ii)对C上任一点P'(x',y')在C上存在唯一的点M',使得M'的任一直角弦都经过P'点.2001x2y218．设P(x,y)为椭圆（或圆）C:1(a＞0,.b＞0)上一点，PP为曲线C的动弦,且弦PP,PP00a2b212121mb2斜率存在，记为k,k,则直线PP通过定点M(mx,my)(m1)的充要条件是kk.121200121ma2x2y219．过椭圆1(a＞0,b＞0)上任一点A(x,y)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，a2b200b2x则直线BC有定向且k0（常数）.BCa2y0x2y220．椭圆1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F，F，点P为椭圆上任意一点FPF，则椭圆的a2b21212ab2焦点三角形的面积为Sb2tan，P(c2b2tan2,tan).FPF122c2c2x2y221．若P为椭圆1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F,F是焦点,PFF,a2b21212acPFF，则tantan.21ac22x2y222．椭圆1（a＞b＞0）的焦半径公式：|MF|aex,|MF|aex(F(c,0),F(c,0)，a2b2102012M(x,y)).00x2y223．若椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F、F，左准线为L，则当a2b21221e1时，可在椭圆上求一点P，使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例中项.12x2y224．P为椭圆1（a＞b＞0）上任一点,F,F为二焦点，A为椭圆内一定点，则a2b2122a|AF||PA||PF|2a|AF|,当且仅当A,F,P三点共线时，等号成立.2122x2y2(a2b2)225．椭圆1（a＞b＞0）上存在两点关于直线l：yk(xx)对称的充要条件是x2.a2b200a2b2k226．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.xacos128．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2.ybsin1sin2x2y2x2y229．设A,B为椭圆k(k0,k1)上两点，其直线AB与椭圆1相交于P,Q,则APBQ.a2b2a2b2x2y230．在椭圆1中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为a2b2x2y2bxm21()a2cos2b2sin2,其中tan,当y0时,90.a2b2ayx2y231．设S为椭圆1（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=l，M(x,y)a2b200a2lc是AB中点，则当lS时，有(x)(c2a2b2,e);当lS时，有0maxc2eaa(x)4b2l2,(x)0.0max2b0minx2y232．椭圆1与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.a2b2(xx)2(yy)233．椭圆001与直线AxByC0有公共点的充要条件是a2b2A2a2B2b2(AxByC)2.00x2y234．设椭圆1（a＞b＞0）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PFFa2b21212sinc中，记FPF,PFF,FFP，则有e.121212sinsina35．经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a＞b＞0）的长轴的两端点A和A的切线，与椭圆上任一点的切线相交于12P和P，则|PA||PA|b2.121122x2y236．已知椭圆1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）a2b211114a2b2a2b2;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）S的最小值是.|OP|2|OQ|2a2b2a2b2OPQa2b237．MN是经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a＞b＞0）焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则|AB|22a|MN|.38．MN是经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OPMN，则2111.a|MN||OP|2a2b2x2y239．设椭圆1（a＞b＞0）,M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条a2b2a2b2直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线AP、AQ(AA为对称轴上的两顶点)的交点N在直线l：x(或y)121,2mm上.40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点M，AP12122和AQ交于点N，则MF⊥NF.1x2y242．设椭圆方程1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线yk'x上,a2b2b2而且kk'.a2x2y243．设A、B、C、D为椭圆1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,，直线AB与CD相交于a2b2PAPBb2cos2a2sin2P,且P不在椭圆上,则.PCPDb2cos2a2sin2x2y244．已知椭圆1（a＞b＞0）,点P为其上一点F,F为椭圆的焦点，FPF的外（内）角平分线a2b21212为l，作F、F分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是122222aybxxcx2y2a2(c2y2).a2y2b2xc245．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.x2y246．过椭圆1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交xa2b2|PF|e轴于P，则.|MN|2x2y2b2x47．设A（x,y）是椭圆1（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为1的直线L，又设d是11a2b2a2y1原点到直线L的距离,r,r分别是A到椭圆两焦点的距离，则rrdab.1212x2y2x2y248．已知椭圆1（a＞b＞0）和（01），一直线顺次与它们相交于A、B、C、a2b2a2b2D四点，则│AB│=|CD│.x2y249．已知椭圆1（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点a2b2a2b2a2b2P(x,0),则x.0a0ax2y250．设P点是椭圆1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记FPF，则a2b212122b2(1)|PF||PF|.(2)Sb2tan.12PFF1cos12251．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQama2nm2分别交相应于过H点的直线MN：xn于M，N两点,则MBN90.amb2(na)2x2y252．L是经过椭圆1（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离a2b2心率,点PL，若EPF，则是锐角且sine或arcsine（当且仅当|PH|b时取等号）.x2y253．L是椭圆1（a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PL，e是离心率，EPF，a2b2abH是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sine或arcsine（当且仅当|PH|时取等号）.cx2y254．L是椭圆1（a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点PL，EPF,a2b2b离心率为e，半焦距为c，则为锐角且sine2或arcsine2（当且仅当|PH|a2c2时取等号）.cx2y255．已知椭圆1（a＞b＞0），直线L通过其右焦点F,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆a2b22(2a2b2)2左焦点F连结起来，则b2|FA||FB|（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当111a2A、F、B三点共线时左边不等式取等号）.1x2y256．设A、B是椭圆1（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,a2b22ab2|cos|PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|.(2)a2c2cos22a2b2tantan1e2.(3)Scot.PABb2a2x2y257．设A、B是椭圆1（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且x、xa2b2AB的横坐标xxa2，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBAQBA；（2）若过B引AB直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PABQAB180.x2y258．设A、B是椭圆1（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过Aa2b2点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且PBAQBA，则点A、B的横坐标x、x满足xxa2；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且ABABPABQAB180,则点A、B的横坐标满足xxa2.ABx2y259．设A,A'是椭圆1的长轴的两个端点，QQ'是与AA'垂直的弦，则直线AQ与AQ''的交点P的a2b2x2y2轨迹是双曲线1.a2b2x2y260．过椭圆1（a＞b＞0）的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则a2b28ab22(a2b2)|AB||CD|.a2b2ax2y2ac61．到椭圆1（a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆a2b2b(xa)2y2b2.x2y2ac62．到椭圆1（a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是a2b2bab姊妹圆(x)2y2()2.eex2y2ac63．到椭圆1（a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨a2b2bab迹是姊妹圆(x)2y2()2（e为离心率）.e2e2x2y264．已知P是椭圆1（a＞b＞0）上一个动点，A',A是它长轴的两个端点,且a2b2x2b2y2AQAP,AQ'A'P，则Q点的轨迹方程是1.a2a465．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.x2y2b2x66．设椭圆1（a＞b＞0）长轴的端点为A,A',P(x,y)是椭圆上的点过P作斜率为1的直a2b211a2y1线l，过A,A'分别作垂直于长轴的直线交l于M,M',则（1）|AM||A'M'|b2.（2）四边形MAA'M'面积的最小值是2ab.x2y267．已知椭圆1（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于a2b2A、B两点,点C在右准线l上，且BC//x轴，则直线AC经过线段EF的中点.(xa)2y268．OA、OB是椭圆1（a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线ABa2b22ab2必经过一个定点(,0).(2)以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是a2b2ab2ab2(x)2y2()2(x0).a2b2a2b2(xa)2y269．P(m,n)是椭圆1（a＞b＞0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则（1）直线ABa2b22ab2m(a2b2)n(b2a2)必经过一个定点(,).（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方a2b2a2b2程是ab2a2mb2na2[b4n2(a2b2)](x)2(y)2(xm且yn).a2b2a2b2(a2b2)270．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F、F到直线L的距离分别为d、d，那么（1）ddb2，且F、F12121212在L同侧直线L和椭圆相切.（2）ddb2，且F、F在L同侧直线L和椭圆相离，（3）ddb2，121212或F、F在L异侧直线L和椭圆相交.12x2y271．AB是椭圆1（a＞b＞0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、a2b2x24y2D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是1(y0).a2b2x2y2x2y272．设点P(x,y)为椭圆1（a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆1过定点P(x,y)的00a2b2a2b200a2b2(a2y2b2x2)任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时(|PA||PB|)00.当弦ABmaxb2a2b2(a2y2b2x2)垂直于长轴所在直线时,(|PA||PB|)00.mina273．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.x2y2bb89.已知椭圆1(a0,b0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线yx及yxa2b2aa的平行线，与x轴于M,N，与y轴交于R,Q.,O为原点，则：（1）|OM|2|ON|22a2；（2）|OQ|2|OR|22b2.bb90.过平面上的P点作直线l:yx及l:yx的平行线，分别交x轴于M,N，交y轴于R,Q.（1）1a2ax2y2若|OM|2|ON|22a2，则P的轨迹方程是1(a0,b0).(2)若|OQ|2|OR|22b2，则Pa2b2x2y2的轨迹方程是1(a0,b0).a2b2x2y291.点P为椭圆1(a0,b0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的a2b2b平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线yx于Q,R，记OMQ与ONR的面积为S,S，则：a12abSS.122b92.点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线yx于Q,R，aabx2y2记OMQ与ONR的面积为S,S，已知SS，则P的轨迹方程是1(a0,b0).12122a2b2椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。4.如图，设P(x,y)，切线PT（即l）的斜率为k，PF所在直线l斜率为k，PF所在直线l斜率为k。001112224图5图kk由两直线夹角公式tan12得：1kk12b2xy00kka2yxcb2x2a2y2b2xca2b2b2cxb2a2cxb2tan100000001kkb2xya2xya2cyb2xyc2xya2cycya2cxcy110000000000000a2yxc00b2xy00kka2yxcb2x2a2y2b2xca2b2b2cxb2a2cxb2tan200000001kkb2xya2xya2cyb2xyc2xya2cycya2cxcy210000000000000a2yxc00,0,同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。2FA5.如图，延长FP至A，使PA=PF，则PAF是等腰三角形，AF中点即为射影H。则OH1a，同1222222理可得OHa，所以射影H，H的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。1126.设P，Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为d,d，以PQ中点到准线的距离为d，以PQ为直径的圆的12ddPFFQr半径为r，则d12r，故以PQ为直径的圆与对应准线相离。22ee7图8图PF2aPFPF7.如图，两圆圆心距为dOM12a2ar，故两圆内切。2228.如图，由切线长定理：FSFTPFPFFF2a2c，FSFTac11121211而FTacFA，T与A重合，故旁切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。1122x2y29.易知Aa,0Aa,0,设Px,y,Px,y,则00112100200a2b2yyAP:y0xa,AP:y0xa11ax22ax00a2a2ayx2y2a2a2y2a2b2a2y2x2y2则xP,0PP001P点的轨迹方程为1Pxxxa2b2x2b2x2b2x2a2b2000000x2y2x2y2x2y22x2yy'b2x10.P(x,y)在椭圆1上001，对1求导得：0y'0000a2b2a2b2a2b2a2b2a2y0b2xxxyyx2y2切线方程为yy0xx即000010a2y0a2b2a2b20xxyyxxyy11.设Px,y,Px,y，由10得：01011,02021，因为点P,P在直线PP上，且111222a2b2a2b21212xxyyxxyy同时满足方程001，所以PP:001a2b212a2b2x2y2x2y2x2x2y2y212.设Ax,y,Bx,y,Mx,y则有111,221作差得：12120112200a2b2a2b2a2b2xxxxyyyy121212120a2b2yyb2xxb2xb2b2k12120kkABxxa2yya2ya2kABOMa212120OMb2x13.由12可得：yy0xxa2yya2y2b2xxb2x200a2y000000xxyyx2y2b2xxa2yyb2x2a2y200000000a2b2a2b2yyyb214..由12可得：0a2y2a2yyb2x2b2xx0xxxa2000x2y2xxyyb2x2a2y2b2xxa2yy0000a2b2a2b2bsintbsint'a215.设Pacost,bsint,Qacost',bsint'，则kk1tanttant'OPOQacostacost'b211r2r2a2cos2tcos2t'b2sin2tsin2t'12r2r2r2r2a2cos2tb2sin2ta2cos2t'b2sin2t'121211tan2t'tan2ta2b2cos2tcos2t'cos2tcos2t'a22tan2ttan2t'b2tan2ttan2t'2b2tan2ttan2t'a2b2tan2ta2b2tan2t'a4a2b2tan2ttan2t'b4tan2ttan2t'22211aab22'a2b2tan2ttan2t'2a2tanttant2222b2abb112a4a2b2tan2ttan2t'a2a2b22tan2ttan2t'b216.将直线AB代入椭圆方程中得：A2a2B2b2x22Aa2xa21B2b202abA2B24a2B2b2A2a2B2b21，ABA2a2B2b21A2a2B2b22Aa2a21B2b2b21A2a2设Ax,y,Bx,y则xx，xx，yyOAOB112212A2a2B2b212A2a2B2b212A2a2B2b211xxyy0a2b2a2b2A2B2A2B21212a2b22222222abA2B22abAaBb1ABA2a2B2b21A2a2B2b2A2a2B2b224242222222AaBbabABab2A2a4B2b4A2a2B2b2A2a2B2b217.设椭圆内直角弦AB的方程为：ymkxn即ykxmkn。当斜率k存在时，代入椭圆C方程中得：a2k2b2x22a2kmknxa2mkn2b201a2mkn2b22a2kmkn设Ax,y,Bx,y得xx，xx112212a2k2b212a2k2b2则PAPBxxxxyyyy01020102k21xxk2nkyxmkxxx2ymkn2012001200a2k21mkn2b2k2nkyxmk2a2kmkna2k2b2x2a2k2b2ymkn20000a2k21mkn2a2k21b2a2k2b2x2a2k2b2y2a2k2b2mkn2002ymkna2k2b22a2k2mkn22a2kxmkn2a2k2ymkn0000a2mkn2a2k21b2a2k2b2x2a2k2b2y2b2mkn22ymknb22a2kxmkn0000a2k2b2x2y2a2b2mkn2a2b2k212mkna2kxb2y00000a2k2x2y2b2x2y2a2b2m2a2b2k2n22kmna2b2a2b2k2a2b200002ma2kx2mb2y2k2na2x2knb2y00000a2x2a2b2n2b2x22na2x0b2a2000mya2b20ma2xnb2ymna2b200a2b222222222nxbyabmay2mby0220000aba2b2b2a2即直线AB过定点x,y，此点在C上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C上的定点。a2b20a2b2022由上可知C和C上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。1218.必要性：设PP：ymykxmx。k存在时，代入椭圆方程中得：1200a2k2b2x22a2kmykxxa2m2ykx2a2b2000002a2kmykxa2m2ykx2a2b2设Px,y,Px,y得xx00，xx0011122212a2k2b212a2k2b2yyyyk2xxkmymkxyxxmymkxy2kk0102120001200012xxxxxxxxxx201021201202222bm12kmxykxm1ym1b2m10000a2m12kmxyk2x2m1y2m1a2m10000bk不存在时，PP：x=mx则ya2m2x2，120a0bbb2ya2m2x2y+a2m2x2y2a2m2x2b2x2m2120a00a00a20bm1kk012x21m2x21m2a2x21m2a2m1000必要性得证。充分性：设PP过定点q,p，则PP：ykxpkq。代入椭圆方程得：1212a2k2b2x22a2kpkqxa2pkq2a2b202a2kpkqa2pkq2a2b2设Px,y,Px,y得xx，xx11122212a2k2b212a2k2b2yyyyk2xxkpkqyxxpkqy2则kk102012012012xxxxxxxxxx21020120120a2k2pkq2a2b2k22a2k2pkqpkqypkqy2a2k2b200a2pkq2a2b22a2kxpkqx2a2k2b20022222bpkq2ypkqykxm1b2000a2pkq22kxpkqk2x2y2m1a2000pkq22ypkqy2k2x2m1000pkq22kxpkqk2x2y2m1000k2mx2q2mqxqxkmpxpxmqyqy2pqmpypyp2my200000000000mx2q2mqxqx0qxqmx0100000mpxpxmqyqy2pq0pxm1qy1m2pq2000000mpypyp2my20pymyp0300000注意到m≠1，解（1）（3）得pmy,qmx，代入（2）式，成立。00验证k不存在的情况，也得到此结论。故l过定点mx,mym1，充分性得证。0019.设AB：yykxx即ykxykx0000ykxykx002x2y2a2k2b2x22a2kykxxa2ykxb2000001a2b22a2kkxya2k2x2a2kyb2xa2k2x2a2kyb2xb2ya2k2y2b2kxxx00x000B000,0000Ba2k2b2Ba2k2b2a2k2b2a2k2b2a2k2x2a2kyb2xb2ya2k2y2b2kx4b2kxb2x同理C000,000k00a2k2b2a2k2b2BC4a2kya2y0020.由余弦定理：PF2PF22PFPFcos2c2PFPF24c22PFPFcos1121212122b2b24a24c22PFPFcos1PFPF1212cos1cos222b2sincos1b2sin22SPFPFsinb2tancyFPF12P122cos122cos22b2a2b2aab2ytan,xa2tan2c2b2tan2Pc2b2tan2,tanPc2Pc22c2c2c2ac1esinsinsinsinsinsin21.由34：ac1esinsinsinsinsinsinsinsinsincossincossin1cossin1cossinsinsincossincossin1cossin1cos2sincos2sin22sincos2sin2sinsincossincossin2222222222222sincos2cos22sincos2cos2coscossincossincos222222222222sinsin22tantancoscos2222a2a222.由第二定义得：MFexaex,MFexaex10c02c00PFPF1e23.12ePFePFaexeaexxadPF21000e2e11ex0,a1e22e10e21或e12e0,1e21,10e2e24.在APF中,有PFAFPAPFAF22222PFPAPFPFAF2aAF,PFPAPFPFAF2aAF1122211222都当且仅当A、P、F三点共线时取等号。225.设椭圆上的点Ax,y,Bx,y关于l:ykxm对称，Mx',y'。112200b2x'1a2y'a2kx'ma2mb2m由12得：k0k00x',y'ABa2y'kb2x'b2x'0c2k0c2000a2m2b2m2a2b2k2m2c4k2又M在椭圆内，1m2若mkx，则c4k2c4c4k2a2b2k202c4a2b2x20a2b2k2a2b2k226.由5即可得证。cossina2bacos27.设Pacos,bsin，则切线l:xy1，A,1abcsinc27图30图b2bacosab2cosab2cosFPFAacosc,bsin,1b2b20FPFAcsinccc28.设Pacos,bsin,由射影定理有:b2sin2cacoscacosc2a2cos2c2a2cos2a2c2sin2e2cos21e2sin211sin2e2sin2cos21e21sin2x2y2x2y229.设C:1,C:kk1,ABl:AxByC0。联立C,l得：1a2b22a2b212Aa2CA2a2B2b2x22Aa2Cxa2C2a2b2B20，由韦达定理：xxABA2a2B2b22Aa2C同理xx。则PQA2a2B2b2A2A2A2APBQ=1xx1xx1xxxxB2APB2BQB2APBQ而xx,xx的符号一定相反，故xxxx=xxxx=0。所以AP=BQAPBQAPBQABPQ30.设Aacos,bsin,Bacos,bsin，Mx,y为AB中点。00则AB2a2coscos2b2sinsin24a2sin2sin24b2cos2sin24m22222a2sin2sin2b2cos2sin2m22222acosacosbsinbsin而xacoscos,ybsincos02220222设Asin2,Bsin2，则x2a21A1B,y2b21AB,m2a2ABb2A1B2200y2a2y2b2x2000x2y2b2x2y2b2a2解得A100,B，代入m2得：m2100a2b2x2y2a2b2x2y2x2y2000000a2b2a2b2a2b2bx令tan0得：ay0x2y2a2b2tan2x2y2m2100100a2cos2b2sin2a2b2tan21tan21a2b2x2y2所以定长为2m（0＜m≤a）的弦中点轨迹方程为m21()a2cos2b2sin2。a2b2bx其中tan,当y0时,90。ay31.设Aacos,bsin,Bacos,bsin，Mx,y为AB中点。则：00acosacosxxacoscoscos002222acos2AB2a2coscos2b2sinsin24a2sin2sin24b2cos2sin222224sin2a2sin2b2cos241cos2a2c2cos2l222222l2a2a2cos2c2cos2c2cos2cos222224x2l2e2x20c2cos2a2a2024cos22l2l2二次函数y=e2x2-mx+a2与y在0,a内的交点即为x的值。由图易知y=e2x2-mx+a2与y的左交点为404x的值。当m增大时，x减小。要使x最大，则要使m最小。000x2x0c2cos22cx，此时等号成立时cos20max1xc202c0maxcos2231图35图当此式成立时l2l2lala2lye2x2mxa2e2x22cxa2exax40max0max40max20maxe2ec2eala2l2b2当xc时：l24cea2l2ace=通径0maxe2ec2ea2b22b2a2l当xc时：l=当l=时xc，x。0maxaa0max0maxc2e当xc时，当cos21，即AB垂直于x轴时x最大。0max20l2b2l24a2ae2x2x2a2c2x24b2l2x4b2l20max0max40max1e24b20max2b考虑到对称性x0对任意情况均成立。0mina2l2b2xxc,l=,AB过焦点，cos20c2e0maxa2cx0，x0min0maxa2b24b2l2xc,l=，ABx轴，cos212b0maxa2b2x2a2y2a2b232.A2a2B2b2x22a2ACxa2C2B2b20AxByC04a4A2C24a2C2B2b2A2a2B2b20A2a2B2b2C2b2xx2a2yy2a2b233.00AxByC0A2a2B2b2x22a2ACB2b2xa2AByxa2C2a2B2y2B2b2x2a2B2b22a2BCy0000000A2a2B2b2A2x2B2y2C22ABxy2ACx2BCyAxByC200000000当xy0时，即为32：A2a2B2b2C200FFPFPFsinFF2cc34.由正弦定理得1221，所以12e。sinsinsinsinsinPFPF2aa12cossin35.设Pacos,bsin，则P点处的切线为xy1，abbbb21cos2由此可得：y1cos,y1cosPAPAb2PP11221sin2sinsin236.（1）同15.11|OP|2|OQ|2|OP|2|OQ|2a2b2（2）由15,36（3）：|OP|2|OQ|2|OP|2|OQ|24S2a2b2OPQ2a2b24S24a2b2a2b24a2b2|OP|2|OQ|2OPQa2b2a2b2a2b2a2b2（3）设Pacos,bsin,Qacos,bsin，a2OPOQa2coscosb2sinsin0tantanb2acosbsin2SOPOQabsincossincosOPQacosbsin4S2OPQsin2cos2+sin2cos22sincossincosa2b2a4b4a2tan22tan2tan22tantantan2b2=tan21tan21a4a4b4tan21b4tan2a4a221a2b222a2b2b4b2a42a2b2b4a2b2a2b211S2S4S2a44a2b24a2b2OPQa2b2OPQa2b2OPQb4a2tan22tan2b2a2b2Smina2b2xtcospb237.设MFx,AB:，椭圆pytsin1ecosa37图38图pp2p2ab22ab2则MN1ecos1ecos1e2cos2a2c2cos2a2sin2b2cos2a2b2将AB的方程代入椭圆的标准方程中得：t2，由参数t的几何意义可知：a2sin2b2cos24a2b2AB24t22aMNa2sin2b2cos2a11121138.作半弦OQ⊥OP，由37得：OQ2MN，由15：2|OP|2|OQ|2|OP|2aMNa2b239.设l:xtym,Px,y,Qx,y，将l的方程代入椭圆得：1122a2b2t2y22b2mtyb2m2a202b2mtb2m2a2y由韦达定理得：yy,yy，直线AP的方程为y1xa，直线AQ12a2b2t212a2b2t21xa21y2tyyamymay的方程为y2xa，联立AP和AQ得交点N的横坐标x1221a，代入xa12amyamy221化简：222222222aa2b2t2yy2ab2t2btm2bta2bmtaabtyya2x21a21a2ab2mtma2b2t2yyma2b2t2yy2ab2tm2121a2所以交点一定在直线x上。同理可证M在y轴上的情况。m引理（张角定理）：A,C,B三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P对AC的张角为α，对CB的张角为β。sinsinsin则：PCPBPA40图41图40.如图，A为左顶点时，设PFH,MFH，则AFP,PFMa2b2b2ppb2FHc,FMp。对F-APM由张角定理：ccaeeecosasinsinsinFPFMFAsinesincosesincossinesinsinsin0即FM平分PFH，同理FN平分QFH。MFN90即MF⊥NF当A为右顶点时，由39可知左顶点A’与P、M；Q、N分别共线，于是回到上一种情况。41.如图，设PFA,MFA，则AFP,PFMAFQ2212对F-QAM和F-APM由张角定理：21sinsinsinsinsinsin,FPFMFAFAFMFQ12sinsinsinsin两式相减并化简得：sinsinFPFQFAFA120即FM平分PFA，同理FN平分QFA。MFN90即MF⊥NF2242.由12即可证得。xxtcosxxtcos43.设Px,y，AB：0，CD：0，将AB的方程代入椭圆得：00yytsinyytsin00b2cos2a2sin2t22b2xcosa2ysintb2x2a2y2a2b200000b2x2a2y2a2b2b2x2a2y2a2b2由参数t的几何意义可知：PAPBtt00，同理PCPD0012b2cos2a2sin2b2cos2a2sin2PAPBb2cos2a2sin2PCPDb2cos2a2sin244.对于外角平分线的情况由5即可证得，下仅证l为内角平分线的情况。cossin设Pacos,bsin，则l:xy1bcosasinab00ab则l:asinxbcosyc2sincos0，l:bcosxasinybccos01l:bcosxasinybccos0。分别联立l、l和l、l得：212ccosacsin2b2cosbcsincosccosacsin2b2cosbcsincosH,，H,1a2sin2b2cos2accos2a2sin2b2cos2accosacsin2acsin2bxcbxc则xc，xc对H点：tantanHH11accos2accosayaybxcaysin,cos，代回xc式得：Ha2y2b2xc2a2y2b2xc21b2xc2xca2y2b2xc2cyb2cxc1acacy2222aa2y2b2xc2aybxca2y2b2xc222222cyb2cxca2y2b2xca2y2b2xxcaybxxcc2y2222a2y2b2xc2a2y2b2xca2y2b2xca2y2b2xc22222222aybxxcaybxxc同理对H点得c2y2。故H点、H点的轨迹方程为c2y22a2y2b2xc212a2y2b2xc2a45.由伸缩变换y'y将椭圆（左图）变为圆（右图），椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证b命题变为证CD与圆O相切的充要条件是D为EF中点。充分性：若D为EF中点∵C在圆上，AB⊥OE∴FC⊥CE，OF⊥OB∴CD=DE=DF∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC⊥CD∴CD与圆相切。必要性：若CD与圆相切，则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD∴DF=DC∵∠ECF=90°∴∠DEC=90°－∠CFD=90°－∠DCF=∠DCE∴CD=DE=DF即D为EF中点。pp2p46.设MFx，由椭圆极坐标方程：MN1ecos1ecos1e2cos2pp1ecos1ecosepcosHFepPFeHF，PF21e2cos2cos1e2cos2MN2a2b247.由10可知l为切线l:b2xxa2yya2b20d由22:rra2e2x211121b4x2a4y211a2b2a2b2a2e2x2a2ba2e2x2rrda2e2x211ab121b4x2a4y2b4x2a2b2a2x2a4c2x21111148.同29。b