2008年第 1期 中学数学月刊 ·45·
由 2si“ B E(O
，
1]，得O< B==： "ff
，即
o< ≤}
(2)由题意得 sin2B：sin A．sin C
，化简得
l-cos2B
： 1[cos(A—C)-cos(A+C)】，
即 cos( —C)=一2cos2 B—c0s B+2
．
因为cos( 一C)∈(0，】]，0<一2cos2B—
COS +2≤ 1．
解得争≤c。s <孚 ，故
⋯。s 4 ≤争
(3)由题意得 2cos B=cosA+cos C。
cos B=2cos竽 cos竽 ，
。s臁in旦cos竽 ．由0
o( 0< <手 o< B0．
又cos． = 1一fcos(A+C)+cos(A—C)】，
得 2cos‘B+cos B=cos(A—C)，
所以2cos． +cos ≤l~cosBE(0， ]
孚≤ <手． 、
(5)由题意得 2tan B=tanA+tan C，
则 — 。sB=2cosA cosC~COS B COS A COS C ／'
即c B=cos(A+C)+eos(A—C)，
所以 eos(A—C)=2cos B~0<2cos B≤1
,IT ≤ <
．
(6)由题意得 tan‘B=tan A·tan C，故
tanA，tan C同为正数，又AABC不可能是直
角三角形及 A+B+C=cr，
tan( +B+c)= tan (A+ B) +tan C =0
．
J一【an ^ 十 儿 an
由tan( + )砌 n c=o +
tan C=0，
即得tanA·tailB·tan C=tanA+tan B+tan C．
所以 tan3B=tan A+tan B+tan C≥tan B+
2、／石 丽 =3tan B
tan ≥ 一 }≤ < ,ff．
一 个优美的分式不等式
田富德 (福建省大田第一中学 366100)
唱S < q6 乜G 已苣{ 雷 a各 06乜G、雹苣
本文给出如下一个不等式，并证明之，与
大家交流．
命题 若口，b，c∈R，且n，b，C都不为零，
则有 —争十三孚+—a b一 6+6c+cⅡi>~--(a+b+c) ． b
C
证明 原不等式等价于
3l +旦 + )+3( +6c-reⅡ)≥2(。+6+c)。，
f ．2 2 2 2 2 2 ＼
即3 f +等+ }≥2( 2 +。 )
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· 46· 中学数学月刊 2008年第 1期
+n6+6c+c口．( )
故欲证命题，只需证( )成立．
由于 +b ≥2口26
，
b +c ≥ 26 c ，c +口4
≥ 2c a ．
知 。 ( +b ) (6 +。 )+6 (。 )≥
4 2 2 4 2 2 4 2 2
2c a b +2a b C+2b C a ，
即 64c4+c 把46 ≥c4口26 把462c2+64c2口2
，
由于口，b，C都不为零，上式两边同除以
a b C ，
便得峰 +等 + ≥c + +6 ．(1)
a 6 C
由于峰 +a2>12
a V噜a 2 lcJ V
≥2bc．
同理有 }+b 2ca, +c >~2ab，
．
2 2 2 2 2 2
因此有 — 一+ +旦— 一+口 +b +c ≥
2ab+2bc+2c~ (2)
将(1)式×5+(2)式，
可得6f + + 6 +。 ≥
5(g+b +c )+2ab+2bc+2c口．
f草+掣+车1>12( +62 ：) ＼
口 b c ／
+n6+6c+c口．
即( )成立，从而知命题成立．
含有根式的递推数列通项公式的求解策略
鲁和平 (浙江省嘉善县第二高级中学 314100)
含有根式的递推数列通项公式求解问
题，在各类数学竞赛中频频亮相，很多学生深
感困惑，各种竞赛辅导
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
对此类问题的阐述
也是一鳞半爪．本文专门针对此类问题展开
探讨
1 乘方策略
这是一种最直接的策略，可以迅速化去
根号而变为有理式，确定线性递推关系．
例 l 已知数列{ }( ≥0)满足％--0，对
于所有非负整数 ，有 =2X／—30a．(a—．+1)+
1la．+5，求 ．
(20o6年全国高中数学联赛安徽省预赛
题)
解 a+1=2~~／30a．( +1)+l1 +5>
一 1 la．一5=2、／ ，两边平
方整理得
+ +1—22 c 1一lOa,"一lOa,"+】+25=0． Q
同理 -22％1a,"一10％1—10a．+25=0．②
由①一②得 a‘n+1一a‘n一1—22a (口 _-- )一
10( 1一 一1)=0．
因为 +】> > 一1，所以 +1-a．一1>0，
+1+q 1—22a
,"
一 10=0． (
同理 + -2—22a,"一1—10=0， ④
③一④得 +1—23a,'+23a,"一1一a．-2=0．
其特征方程为 戈 一23x‘+23x一1=0，特征
根为 ： =1， 2=11+2 ， 3=11—2 ，
故 =c +c2(11+2 ) +c3(11—2 )
(c1，c2，c 3为待定常数)，由a0=0，a1=5，a2=
120，得c1一 ，c2=c3=}，
故通项公式为a=- 1+ (11+2x／~ )
+ (11-2V3-O-) ．
斗
2 换元策略
通过换元引参，也可以迅速把含有根式
的递推式化为有理递推式．但采取哪种换元
方式，一定要认真研究数列递推式的结构，对
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