高三文科数学第一轮复习资料第一章集合与常用逻辑用语第一节 集合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义；3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算。2016，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)2016，全国卷Ⅱ，2,5分(集合的并集)2015，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)2014，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)2014，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)主要考查具体集合(能确定集合中元素)的基本运算，偶尔涉及集合间的关系及新定义问题。微知识 小题练自|主|排|查1．集合的含义与表示
方法
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(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的元素都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且∃x0∈B，x0∉AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B空集不含任何元素的集合。空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A∅3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合A的元素组成的集合{x|x∈U，x∉A}∁UA微点提醒1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。5．记住以下结论(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为( )A．1B．2C．3D．4【解析】 由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。故选C。【答案】 C2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。【解析】 由题意知B⊆A，则集合B有8个。【答案】 8二、双基查验1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2}D．{0,1}【解析】 M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。故选B。【答案】 B2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)【解析】 ∵x2<1，∴－1
0}，且1∉A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)(2)已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝____。【解析】 (1)若1∈A，则1－2＋a>0，解得a>1。因为1∉A，所以a≤1。故选B。(2)由题意，得或解得x＝－1。【答案】 (1)B (2)－1考点二集合的基本关系…………母题发展【典例2】 (1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )A．7B．8C．15D．16(2)(2017·襄阳模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1
说明
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理由。【解析】 由A⊆B，得即不等式组无解，故不存在实数m，使A⊆B。【答案】 不存在，理由见解析反思归纳根据集合的关系求参数的关键点及注意点1.根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论。2.注意点：注意区间端点的取舍。提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况。【拓展变式】 (1)(2016·辽宁师大附中测试)已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则下列集合A与B的关系中正确的是( )A．A⊆BB．ABC．BAD．A∈B(2)(2016·银川二中考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0,1)D．(1，＋∞)【解析】 (1)因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B。故选D。(2)解法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)。由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1。故选B。解法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，取c＝1，则B＝(0,1)，所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0,2)，所以A⊆B成立，可排除A。故选B。【答案】 (1)D (2)B考点三集合的运算…………多维探究角度一：两个集合的交集、并集、补集运算【典例3】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1}B．{4}C．{1,3}D．{1,4}(3)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝lg(x2＋1)}，则(∁UA)∩B＝( )A．{x|x≤－1或x≥0}B．{(x，y)|x≤－1，y≥0}C．{x|x≥0}D．{x|x＞－1}【解析】 (1)由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1－1【解析】 (1)由A∪B＝A得B⊆A，有m∈A，所以有m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1。故选B。(2)∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y－1即可。故选D。【答案】 (1)B (2)D角度三：抽象的集合运算【典例5】 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【解析】 由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝∅”；反过来，若“A∩B＝∅”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC。故选C。【答案】 C反思归纳集合的基本运算的关注点1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提。2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解。微考场 新提升1．(2016·四川高考)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )A．3B．4C．5D．6解析 由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}。故选C。答案 C2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )A.B.C.D.解析 由题意得，A＝{x|1}，则A∩B＝。故选D。答案 D3.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|x>2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2}D．{1,2}解析 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA)，∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁UA)＝{0,2}。故选C。答案 C4．(2016·辽宁五校联考)已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是( )A．∁UN⊆∁UPB．∁NP⊆∁NMC．(∁UP)∩M＝∅D．(∁UM)∩N＝∅解析 根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有D不正确。故选D。答案 D5．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”。对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝________。解析 M＝，由＝，得a＝4；由＝1，得a＝1。当a＝4时，M＝{－，}，此时M⊆N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意。答案 1微专题 巧突破集合中新情境型问题与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算。常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用。1．定义新概念、新公式【典例1】 设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个。【解析】 符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个。【答案】 6【变式训练1】 若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A．1 B．3 C．7 D．31【解析】 具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，。故选B。【答案】 B2．定义新运算、新法则【典例2】 设A，B是有限集，定义d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数。命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【解析】 命题①显然正确，通过如图韦恩图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确，故选A。【答案】 A【变式训练2】 定义集合的差集运算为A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{y|y＝|x－1|－|x＋1|，x∈R}，B＝{y|y＝－，x∈R}，则A－B＝________。【解析】 先求出集合A，B，再利用差集的定义求A－B。依题意知，y＝|x－1|－|x＋1|＝可知－2≤y≤2，所以A＝[－2,2]。易知y＝－＝在(1，＋∞)上单调递减，则0<－≤，即00，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件。故选C。【答案】 C2．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是( )A．若α≠，则tanα≠1B．若α＝，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α＝【解析】 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”。故选C。【答案】 C3．设集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此，“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件。故选C。【答案】 C4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：___________________________________________________。【解析】 原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°。结论：∠A，∠B都是锐角。否命题是否定条件和结论。即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”。【答案】 在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角5．若“x2>1”是“x1得x>1或x<－1。由题意知{x|x1或x<－1}，结合数轴可知，a≤－1，从而a的最大值为－1。【答案】 －1微考点 大课堂考点一四种命题及其相互关系【典例1】 (1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【解析】 (1)由于“x，y都是偶数”的否定是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”。故选C。(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假。故选B。【答案】 (1)C (2)B反思归纳1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例。3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假。【变式训练】 (1)命题“若α＝，则cosα＝”的逆命题是( )A．若α＝，则cosα≠B．若α≠，则cosα≠C．若cosα＝，则α＝D．若cosα≠，则α≠(2)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题。A．①③B．②C．②③D．①②③【解析】 (1)命题“若α＝，则cosα＝”的逆命题是“若cosα＝，则α＝”。故选C。(2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确。故选A。【答案】 (1)C (2)A考点二充分条件与必要条件的判断……多维探究角度一：用定义法判断充分条件、必要条件【典例2】 (2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|。由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|。故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件。故选D。【答案】 D角度二：用集合法判断充分条件、必要条件【典例3】 设p：11，则p是q成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 由2x>20⇒x>0，且{x|10}可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件。故选A。【答案】 A角度三：用等价转化法判断充分条件、必要条件【典例4】 (2017·锦州模拟)给定两个命题p，q。若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈pq，其逆否命题为p⇒綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件。故选A。【答案】 A反思归纳充要条件的三种判断方法1.定义法：根据pq,qp进行判断。2.集合法：根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断。3.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件。考点三根据充分条件、必要条件求参数的取值范围……母题发散【典例5】 (1)(2016·南昌模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )A．[21，＋∞)B．[9，＋∞)C．[19，＋∞)D．(0，＋∞)(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________。【解析】 (1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有解得m≥9。故选B。(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P。则∴0≤m≤3。所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]。【答案】 (1)B (2)[0,3]【母题变式】 1.本典例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。【解析】 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴∴即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。【答案】 不存在2．本典例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围。【解析】 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P⇒S且SP。∴[－2,10][1－m,1＋m]。∴或∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)。【答案】 [9，＋∞)反思归纳由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解。但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值。微考场 新提升1．命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D．“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”解析 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”。故选D。答案 D2．已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a与b的夹角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 由条件可知|a|＝|b|＝1，若|a－b|＝1，则(a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cosθ＝1，即cosθ＝，故θ＝60°。同理，若θ＝60°，则|a－b|＝1也成立。故“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件。故选C。答案 C3．设m，n为正实数，则“m0)，易知f(x)＝x2－(x>0)是单调递增函数，任取m，n>0，当mb，则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a，b应满足的前提条件是________。解析 显然ab≠0，当ab>0时，<⇔·ab<·ab⇔bb，则必有a>0>b，故>0>，所以原命题是假命题；若<，则必有<0<，故a<0m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________。解析 由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴或∴0≤m≤2。答案 [0,2]第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。2016，浙江卷，4,5分(含有一个量词命题的否定)2015，全国卷Ⅰ，3,5分(含有一个量词命题的否定)2015，山东卷，12,5分(全称量词的应用)2014，辽宁卷，5,5分(简单的逻辑联结词)2014，重庆卷，6,5分(简单的逻辑联结词)1.含有逻辑联结词的命题的真假判断；2.判断全称命题、特称命题的真假；全称命题、特称命题的否定；已知全称(特称)命题真假，求参数取值范围。微知识 小题练自|主|排|查1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．量词及含有一个量词的命题的否定(1)全称量词和存在量词①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示。②含有全称量词的命题，叫做全称命题。“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)。③含有存在量词的命题，叫做特称命题。“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)。(2)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)微点提醒1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应着集合运算中的“并”“交”“补”。因此，可以借助集合的“并、交、补”的意义来求解“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题。2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q见真即真，p∧q见假即假，p与綈p真假相反。3．全称命题(特称命题)的否定是特称命题(全称命题)。其真假性与原命题相反。要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”。小|题|快|练一、走进教材1．(选修1－1P26A组T3改编)命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是( )A．∃x0∈R，x＋x0≤0B．∃x0∈R，x＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0D．∀x∈R，x2＋x<0【解析】 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。故选B。【答案】 B2．(选修1－1P18A组T1(3)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【解析】 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题。故选B。【答案】 B二、双基查验1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1【解析】 全称命题的否定规律是“改变量词、否定结论”，“∀x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1。”故选B。【答案】 B2．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∉R，x≠xD．∃x0∈R，x＝x0【解析】 全称命题“∀x∈R，x2≠x”的否定为特称命题，“∃x0∈R，x＝x0”。故选D。【答案】 D3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件。则下列命题为真命题的是( )A．p∧qB．綈p∧綈qC．綈p∧qD．p∧綈q【解析】 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q，綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q，綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题。故选D。【答案】 D4．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为____________________________________。【答案】 存在两个等边三角形，它们不相似5．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题。【答案】 ∃x0，y0∈R，x0＋y0>1 ∀x，y∈R，x＋y≤1 假微考点 大课堂考点一含逻辑联结词命题的真假判断【典例1】 (1)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2。在命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③D．②④(2)若命题“p∧q”为假命题，且“綈p”为假命题，则( )A．“p或q”为假B．q假C．q真D．p假【解析】 (1)由不等式的性质，得p真，q假。由“或、且、非”的真假判断得到①假，②真，③真，④假。故选C。(2)由“綈p”为假，知“p”为真，又“p∧q”为假命题，从而q为假命题。故选B。【答案】 (1)C (2)B【变式训练】 已知命题p：函数y＝2－ax＋1(a＞0且a≠1)恒过(1,2)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列命题为真命题的是( )A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧qD．p∨(綈q)【解析】 函数y＝2－ax＋1恒过定点(－1,1)，故命题p是假命题，綈p是真命题；函数f(x)的图象是由函数f(x－1)的图象向左平移一个单位得到的，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，因此q为假命题，綈q为真命题，从而p∨(綈q)为真命题。故选D。【答案】 D考点二含有一个量词的命题……多维探究角度一：全称命题、特称命题的真假判断【典例2】 (1)下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lnx0<1D．∃x0∈R，tanx0＝2(2)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是( )A．p是假命题B．q是真命题C．p∧(綈q)是真命题D．(綈p)∧q是真命题【解析】 (1)因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在00时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是假命题。故选C。【答案】 (1)B (2)C角度二：全称命题、特称命题的否定【典例3】 (1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n(2)(2016·大连模拟)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为( )A．对任意x∈R，都有x22n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”。故选C。(2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为存在x0∈R，使得xx＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx(2)写出下列命题的否定并判断其真假：①p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；②p：有的三角形的三条边相等；③p：菱形的对角线互相垂直；④p：∃x∈N，x2－2x＋1≤0。【解析】 (1)因为sinx＋cosx＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈时有sinx0恒成立，故綈p为假命题。②綈p：所有的三角形的三条边不全相等。显然綈p为假命题。③綈p：有的菱形的对角线不垂直。显然綈p为假命题。④綈p：∀x∈N，x2－2x＋1>0。显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命题。【答案】 (1)B (2)见解析考点三由命题的真假求参数的范围……母题发散【典例4】 已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2【解析】 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，綈p为真，则有mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－20，∴m>2或m<－2。由得0≤m≤2，∴m的取值范围是[0,2]。【答案】 [0,2]反思归纳 根据命题真假求参数的步骤1．先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；2．然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；3．最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。微考场 新提升1．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0解析 全称命题的否定为特称命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0”。故选D。答案 D2．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n
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很重要，特别是函数的解析式，对研究函数的性质、应用有很重要的作用。微知识 小题练自|主|排|查1．函数与映射的概念函数映射定义建立在两个非空数集A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应建立在两个非空集合A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应记法y＝f(x)，x∈Af：A→B2.函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。3．函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。微点提醒1．由于映射中的两个集合是非空集合，函数中的两个集合是非空数集。所以函数是特殊的映射。2．判断两个函数是不是相等函数，关键是看定义域和对应关系是否相同。3．求分段函数的函数值，要依据自变量所属的区间，选择相应的对应关系求解。当自变量不确定时，需分类讨论。4．判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)＝＋的定义域为( )A．[0,2)B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】 由题意得解得x≥0且x≠2。故选C。【答案】 C2．(必修1P23练习T2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )【解析】 A中函数定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]。故选B。【答案】 B二、双基查验1．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝|x|，g(x)＝B．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxC．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝【解析】 A中，g(x)＝＝|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；B中，两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；C中，f(x)＝＝x＋1(x≠1)与g(x)＝x＋1两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；D中，f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函数。故选A。【答案】 A2．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是( )A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝【解析】 通性通法 函数y＝10lgx的定义域为(0，＋∞)，又当x>0时，y＝10lgx＝x，故函数的值域为(0，＋∞)。只有D选项符合。故选D。光速解法 易知函数y＝10lgx中x>0，排除选项A、C；又10lgx必为正值，排除选项B。故选D。【答案】 D3．(2016·重庆模拟)设函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)＋x，且当0≤x<2时，f(x)＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，则f(5.5)＝( )A．8.5B．10.5C．12.5D．14.5【解析】 由题意f(x＋2)＝2f(x)＋x，得f(5.5)＝2f(3.5)＋3.5＝2(2f(1.5)＋1.5)＋3.5＝4f(1.5)＋6.5＝4×1＋6.5＝10.5。故选B。【答案】 B4．(2016·江苏高考)函数y＝的定义域是________。【解析】 要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3,1]。【答案】 [－3,1]5．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________。【解析】 因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2]。【答案】 (－∞，2]微考点 大课堂考点一求函数的定义域【典例1】 (1)(2015·湖北高考)函数f(x)＝＋lg的定义域为( )A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6](2)若函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数f(x)的定义域为________。【解析】 (1)由函数y＝f(x)的表达式可知，函数的定义域应满足条件：4－|x|≥0，>0，解得－4≤x≤4，x>3或2
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