4 功和能

nullnull§4-1 功和功率 一、功1. 恒力对直线运动的质点所作的功若力F的方向与质点运动方向不一致F力对质点所做的功－作用于质点的力与质点沿力的方向所作位移的乘积。PPQQnull 力在质点位移方向上的分量与位移的乘积称为功。 在力的作用下，质点沿力的方向的位移与力的乘积。讨论：举例：力对质点作功为零重力对水平运动的质点向心力对圆运动质点法向力对曲线运动的质点力对质点作的功等于力与质点位移两矢量的点积（1）null（3）位移无限小时：dA 称为元功null2. 变力的功 如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下： 在元位移中将力视为恒力，力沿P、Q的功为所有无限小段位移上的元功之和。null解析式：注意(1) 功是描述力作用于物体的空间积累效应的物理量，是过程量。(2) 功是物体运动状态变化的一种量度 在牛顿第一定律中就已经明确指出，力的作用将使物体的运动状态发生变化，所以力对物体作功，必定改变物体的运动状态。(3) 力F和质点沿力方向的位移dr，是功的两个不可缺少的因素。 null (5) 力和位移都是矢量，而功却是标量，但它有正、负之分。 当功为正值时，表示某力对被研究的质点作功；当功为负值时，表示某力不仅没有对被研究的质点作功，反而是被研究的质点克服此力而作功。 (4)合力的功，是指各分力沿共同位移所作功的 代数和 null二、功 率 力在单位时间内所作的功功率的另一种形式：单位：（在国际单位制中） 功的单位是J (焦耳，简称焦) 1 J = 1 N  m 功率的单位：J  s1 (焦耳/秒), 或称为：W (瓦特, 简称瓦) 功率等于力在运动方向的分量与速度的乘积，或者等于力的大小与速度在力的方向上的分量的乘积。null（1） 功率是描述力作功快慢的物理量。注意：（2）通常所说某机械的功率，多是指它的额定功率。所谓额定功率是机械正常工作时的最大瞬时功率。思考题：为什么汽车爬坡时，要低速行驶？null 例1：质量为m的小球系于长度为R的细绳末端, 细绳的另一端固定在点A, 将小球悬挂在空间。现小球在水平推力F的作用下, 缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直方向成角的位置。求水平推力F 所作的功(不考虑空气阻力)。 解：取如图所示的坐标系,其分量式为: θnull偏转a角的过程中的总功为：null 例2：已知弹簧的劲度系数k = 200 Nm1 , 若忽略弹簧的质量和摩擦力,求将弹簧压缩10cm , 弹性力所作的功和外力所作的功。 解：取如图所示的坐标系在x 处取元位移 dx, 弹力所作元功弹性力所作的总功为：null例3： 一蓄水池，面积为S，所蓄的水比地面低h，水深为d。用抽水泵把池里的水抽到地面上，抽水机需要作多少功？解：建立坐标系nullnull§4-2 动能和动能定理 质点由点P 运动到点Q ， 合力对质点所作的功为：null动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点 动能的增量。所以说，功是质点能量改变的量度。null (1) 动能也是描述物体运动状态的一个物理量，它是标量，并且只有正值。 (2) 由于物体的运动速度与参考系的选取有关，所以同一运动物体相对于不同的参考系(惯性系)，可能有不同的动能。null 例1：小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动, 如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离为h 的B 处时, 速率为多大 ? 根据动能定理有：null本章题头本章题头§4-3 势 能null势能：由物体间的相互作用和相对位置决定的能量一、重力势能 (potential energy)重力势能是物体与地球相互作用引力而产生的。大小：物体与地球的相对位置决定的nullnull若用物体距离地面的高度ha和hb代替za和zb, 则定义：mgh 是物体m 处于相对高度h处时，物体m与地球组成的系统具有的重力势能，记为：说明：重力作功是以系统重力势能的减小为代价的null讨论： （1）重力作功，与物体m的路径无关，只取决于物体的始终点；（2）当A>0时，说明重力对外界作正功，系统的重力势能减小；（3）当A<0时，说明重力对外界作负功，系统的重力势能增加；重力势能的零点可以任意选取null二、万有引力势能 由物体间的万有引力和相对位置所决定的势能，称为万有引力势能，简称引力势能。引力的功引力的功续引力功续引力功null说明： （1）万有引力作功等于系统引力势能的减少（2）引力势能的零点在无穷远；（3）引力作功与路径无关，只与始末位置有关null三、弹性势能 弹性势能是由物体与弹性物体构成的系统相互作用所具有的能量。（4）Ep与r成反比，r 越小，势能越大nullnull 说明： （1）弹性力作功是以弹性系统弹性势能的减小为代价；（2）作功与路径无关，只与始末位置有关；null（3）平衡位置为弹性势能的零点；（4）当A>0时，说明弹性力对外界作正功，系统的弹性力势能减小；（5）当A<0时，说明弹性力对外界作负功，系统的弹性势能增加；null四、保守力 (conservation force) 弹性力、万有引力和重力所作的功与路径无关，仅与始末位置有关——保守力 物体在保守力的作用下，沿任意闭合路径绕行一周所作的功恒等于零 若物体在某种力的作用下，沿任意闭合路径绕行一周所作的功不恒等于零——非保守力 势能曲线势能曲线本章题头本章题头§4-4 机械能守恒定律null一、质点系的动能定理null二、功能原理系统的动能与势能之和称为系统的机械能，用E表示null 此式表明，在系统从一个状态变化到另一个状态的过程中，其机械能的增量等于外力所作功和系统的非保守内力所作功的代数和——功能原理。 A外 + A非保内 = E(Q) E(P) 在学习功能原理时，还应注意以下各点 (1) 虽然功能原理是用了动能定理推得的，但是作为一个原理，它具有更加普遍的意义和适应性。 动能定理是以单个质点为研究对象的，而功能原理则是以质点系为研究对象的； null (2) 功能原理与动能定理一样，在处理具体问题时比直接利用牛顿运动定律要简便得多，因而有广泛的应用。 思考题：根据功能原理，误解为功和能可以相互转化，说 “功可以转化为能，能也可以转化为功” 一个系统或一个物体处于一定的状态，就具有一定的能量，但是根本谈不上功或是否作功的问题。在力学范围内，一个系统(单个质点也可以认为是一个系统)能量的改变，惟一的途径就是作功。null三、机械能守恒定律 ( law of conservation of mechanical energy) 此式表明, 在外力和非保守内力都不作功或所作功的代数和为零的情况下, 系统内质点的动能和势能可以互相转换, 但它们的总和, 即系统的机械能保持恒定。这个结论称为机械能守恒定律。 null学习机械能守恒定律时，所要注意的几点问题： (1) 机械能守恒定律总是对于一个确定的系统和一个确定的过程而言的。 (2) 所谓机械能守恒，是指系统在某一确定的过程中，动能和势能的总和一直保持不变，而不能仅理解为过程的始、末两状态机械能相等。 (3) 一个系统在只有保守内力作功的情况下机械能是守恒的，这表明保守内力不会使系统的机械能传递到系统以外去，也不会使系统的机械能转化为其他形式的能量，而却可以使系统自身的动能和势能之间相互转化。(4) 机械能守恒定律为解决力学问题提供了简便方法。 null 封闭系统内有非保守力作功时，机械能不守恒，能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。但是，能量不会消失，也不会产生，只能从一种形态转换为另一形态。这就是普遍的能量守恒定律。 对于一个实际系统，其机械能守恒定律的应用条件不可能严格满足 例 2：求使物体脱离地球引力作用的最小速度。 解：根据机械能守恒定律有null例1： 一根质量均匀分布且不可伸长的柔软细绳，总长度为l，其一部分放置在光滑的水平桌面上，另一部分经桌边下垂，下垂部分的长度为l0。释放后绳子从静止开始下落，求绳子的下落速度与下落长度的关系。 解 建立如图所示的坐标系Oy0 = l0 把细绳和地球划为一个系统，由于桌面是光滑的，系统的机械能守恒 null设绳子的质量为M，它的线密度为 取绳子全部处于桌面时为势能的零点 初状态绳子的动能为零。当下端点落到y处时，绳子的速度为v，这是系统的动能为绳子初状态的势能null当下端点落到y处时，系统的势能为根据机械能守恒定律，应有 解得 ：在绳子全部离开桌面的瞬间，绳子下落的速度为经典黑洞经典黑洞