导数 李永乐(讲义)

极限和导数教师：李永乐-第1页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766极限和导数一．函数和数列的极限函数极限的求法：1.通分，约分2．∞∞型：上下取高阶无穷大；00型：转化成∞∞；指数型：lim(1)xxaa→∞>是比lim(0)nxxn→∞>幂更阶的无穷；对数型：limlog(1)axxa→∞>是比lim(0)nxxn→∞>更低阶的无穷。3．洛必塔法则：当极限的类型是0,0∞∞，并且已经不可约分时()'()limlim()'()fxfxgxgx=4.非初等函数：取对数二．函数的导函数A.导函数的定义：0000()()'()limhfxhfxfxh→+−=常用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达：1010010()()'()limxxfxfxfxxx→−=−导函数的图象意义：函数图象在该点切线的斜率。B.求导函数基本初等函数的倒数公式：1.常数的倒数'0c=2.幂函数1()',0aaxaxa−=≠3.指数函数()'ln,(0,1)xxaaaaa=>≠，特别的()'xxee=4.对数函数1(log)'lnaxxa=，特别的1(ln)'xx=5.三角函数(sin)'cos,(cos)'sinxxxx==−函数和差积分以及复合的导数公式-第2页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-77661.()''',()'''fgfgfgfg+=+−=−2.()'''fgfggf=+，2''(/)'fggffgg−=3.(())''(())'()fgxfgxgx=隐函数(,)0fxy=导数求法1.将y看作x的函数()yx2.对方程两边求导数3.求出'y的表达式即可C.导函数和连续性的关系定义：若00lim()xxfx→−存在，则称函数在该点存在左极限；若00lim()xxfx→+存在，则称函数在该点存在右极限；若函数存在左极限，且存在000()lim()xxfxfx→−=，则称函数左连续；若函数存在右极限，且存在000()lim()xxfxfx→+=，则称函数右连续；若函数左连续且右连续，则函数在该点连续。定义：若某函数在该点连续，且左导数000'(0)lim'()xxfxfx→−−=和右导数000'()lim'()xxfxfx→+=存在且相等，那么函数在该点可导。⎫⎫⎫⇔⎪⎬⎪⎭⎪⎪⇔⎬⎪⇔⎫⎬⎪⇔⎬⎪⎪⎭⎭⎪⎪⎭存在左极限左连续左极限等于该点值函数在该点连续函数在该点可导存在右极限右连续右极限等于该点值函数在该点存在左右导数并且相等三．导函数和函数增减性的关系函数单调递增⇔导函数大于或等于零（等于零的点必须孤立）函数单调递减⇔导函数小于或等于零（等于零的点必须孤立）函数极大值⇔导函数在该点为0并且从正变负-第3页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766函数极小值⇔导函数在该点为0并且从负变正四．三次函数32yaxbxcxd=+++的图象1.若三次函数的导函数2'320yxbxc=++=，判别式大于零，则函数有极大和极小值；若0a>，则极大点在左，若0a<，则极小值点在左2.同x轴的公共点个数为1个，2个或3个3.求某个范围内函数最值，首先需要判定这个范围内函数的增减性，再进行比较题目表题目1：（全国高考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ）22112lim()3243xxxxx→−−+−+=A-1/2B1/2C-1/6D1/6题目2：（北京高考试题）22132lim1xxxx→−++−题目3：（2008年海淀区期末考试题）2246...2limnnn→∞++++=题目4：233212lim12nnnnn→∞+=−题目5：limxxxe−→∞=题目6：（07年天津高考试题）设等差数列{}na的公差d是2，前n项的和为nS，则22limnnnanS→∞−=．题目7：（07年全国高考试题）已知数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn，则2limnnSn→∞=。题目8：求下列极限（1）0sinlimxxx→（2）01limxxex→−（3）0lim(ln)xxx→-第4页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766题目9：求1lim(1)xxx→∞+题目10：已知0'(),fxa=则000()()limxfxxfxxxΔ→+Δ−−Δ=ΔA.12aB.12a−C.2aD.2a−题目11：（2008年全国I试题）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）题目12：求椭圆2212xy+=在2(1,)2点的切线。题目13：求下列函数的导函数1．sin21cos2xyx=−2.44sincos44xxy=+题目14：求下列函数的导函数1．2'lg(1)yxx=++2.32xxxye=−题目15：（全国高考试题）求函数2(1)(1)yxx=+−在x=1处的导数题目16：已知()(1)(2)(3)...(100)fxxxxx=−−−−，求'(100)f题目17：设010211()sin,()'(),()'()...,()'()xnnfxexfxfxfxfxfxfx+====，则2009(0)f=A．10042B.10042−C.200922D.200922−题目18：已知2()2'(1)fxxxf=+，则'(0)f=A.0B.2C.-2D.-4题目19：已知()fx是在R上可导的奇函数，且是周期为T的周期函数，求证：（1）'()fx是偶函数（2）'()fx也是以T为周期的周期函数-第5页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766题目20：已知()fx是在R上可导偶函数，满足(2)(2),'(1)5,fxfxf+=−=则'(15)f=题目21：已知曲线326116yxxx=−+−，在它对应于[0,2]x∈上的线弧上求一点P，使得曲线在点P的切线在y轴上的截距最小，并取出这个最小值。题目22：()|1|fxx=−在1,2x=处是否连续？是否可导？题目23：设()(1||)fxxx=+，则'(0)f为A.0B.1C.-1D.不存在题目24：'()yfx=的图象如图所示，则()yfx=的图象可能是()ABCD题目25：对于Ｒ上的可导任意函数()fx，若满足(1)'()0xfx−≥，则必有（）A.(0)(2)2(1)fff+<B.(0)(2)2(1)fff+≤C.(0)(2)2(1)fff+≥D.(0)(2)2(1)fff+>题目26：（2005年天津高考试题理）若函数)1,0()(log)(3≠>−=aaaxxxfa在区间)0,21(−内单调递增，则a的取值范围是（）A.)1,41[B.)1,43[C.),49(+∞D.)49,1(题目27：（天津高考试题）函数()fx的定义域为开区间(,)ab，导函数'()fx在(,)ab内的图象如图所示，则函数'()fx在开区间(,)ab内的极小值点有几个？A．1个B．2个C．3个D．4个-第6页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766题目28：已知函数32()(6)1fxxaxax=++++有极大值和极小值，则实数a的取值范围A．12a−<<B.36a−<<C.1a<−或2a>D.3a<−或6a>题目29：设32()62fxxx=−−，在区间(,2)aa+上是减函数，求实数a的取值范围。题目30：若函数3211()(1)132fxxaxax=−+−+在区间（1，4）内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，求实数a的取值范围。题目31：求函数32()395fxxxx=−−+,[2,6]x∈−的值域。题目32：已知函数32()fxxpxqx=++的图象与x轴相切于点(,0)(0)aa≠，且()fx的极大值为4，则____,_____pq==答案列表题目1解：12−解析：1111232(2)1lim()limlim(1)(2)(1)(3)(1)(2)(3)(2)(3)12xxxxxxxxxxxxxx→→→−−−−=−==−−−−−−−−−=−题目2解：12−解析：22113221limlim112xxxxxxx→−→−+++==−−−题目3解：1题目4解：-1/2题目5解：0题目6解：3题目7解：-5/2题目8解：（1）用洛必塔法则00sincoslimlim11xxxxx→→==（2）用洛必塔法则0lim11xxe→=-第7页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766（3）000021lnlim(ln)limlimlim()011xxxxxxxxxxx→→→→===−=−题目9解：2111ln(1)(1)11lim(1),lnlimln(1)limlim11xxxxxxxxxyyxxxxye→∞→∞→∞→∞++−=+=+===−=题目10解：C解析：2121210021()()()()limlim2xxxxfxfxfxxfxxaxxx→→−+Δ−−Δ==−Δ，因此选C题目11解：A题目12解：22(1)22yx−=−−解析：对方程左右两边求导数2'0'2xxyyyy+⋅=⇒=−在2(1,)2点导数12'22y=−=−，因此22(1)22yx−=−−题目13解：211','sinsin4yyxx=−=−解析：I．22222sin2sin2cossincos1,'1cos22sinsinsinsinxxxxxyyxxxxx−−=====−−；II．244221cos1cos1cos1cos13cos2222sincos()()44222244sin'4xxxxxxxyxy+−+++=+=+===+=−题目14解：2lg,3ln(3)2ln21xxxeeex−+解析：-第8页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766I．2222221111lg'(12)2(1)ln101(1)1ln101xxeyxxxxxxxx++=+==+++++++II．'3ln332ln2xxxxxyee=⋅+−题目15解：4解析：2232(1)(1)(1)(1)1yxxxxxxx=+−=−+=−+−求导2'312yxx=−+题目16解：99！解析：100100100()(100)()'(100)limlimlim(1)...(99)99!100100xxxfxffxfxxxx→→→−===−−=−−题目17解：A解析：0()sinxfxex=122()cossin2sin()42()2sin()2cos()(2)sin()...444xxxxxxfxexexxefxexexexππππ=+=+=+++=+因此()(2)sin()4nxnnfxexπ=+可以用数学归纳法证明。代入即可。题目18解：D解析：'()22'(1)'(1)22'(1)'(1)2,'(0)2'(1)4fxxffffff=+⇒=+⇒=−==−题目19证明：()()'()'()fxfxfxfx=−−⇒=−()()'()'()fxTfxfxTfx+=⇒+=题目20解：-5解析：'()fx是奇函数，且周期为4，因此'(15)'(1)'(1)5fff=−=−=−题目21解：(0,6),6−−解析：2'31211,yxx=−+设过点P000(,)([0,2])xyx∈，则322000000(6116)(31211)()yxxxxxxx−−+−=−+−-第9页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766截距32323200000000312116116266bxxxxxxxx=−+−+−+−=−+−求这个函数在[0,2]x∈上的最小值，再次求导20000'6126(2)bxxxx=−+=−−，因此在[0,2]x∈导数大于等于0，递增当00,(0,6)xP=−时，min6b=−题目22解：都连续，1不可导，2可导解析：对于1点，左导数10lim'()(1)'1xfxx→−=−=−，右导数10lim'()(1)'1xfxx→+=−=，因此不可导；对于2点，左导数2020lim'()lim'()(1)'1xxfxfxx→−→+==−=，因此可导。题目23解：B解析：200200'(00)()'|21|1'(00)()'|21|1xxxxfxxxxfxxxx=====−=+=+==+=−+=−+=题目24解：D解析：［０，２］是增函数，其他区域是减函数题目25解：C解析：小于1时减函数，大于1时增函数，因此(1)f最小。若函数恒为零，则取等号。题目26解：B解析：若321,()'30axaxxa>−=−>在)0,21(−内恒成立，无解；若321,()'30axaxxa<−=−<在)0,21(−内恒成立，解得3[,1)4a∈。题目27解：选择A解析：极小值要求（1）导数为零（2）函数从减变增，导数从负变正题目28解：D解析：2'()326fxxaxa=+++，231803aaaΔ=−−>⇒<−或6a>题目29解：[0，2]解析：2'()3120fxxx=−≤在区间(,2)aa+上恒成立。-第10页-版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766由于2'()3120fxxx=−≤成立的区间是[0，4]，因此(,2)[0,4]aa+⊂题目30解：[5，7]解析：22'()(1)0((1,4))'(1)0,'(4)0'()10((6,))'(6)0fxxaxaxfffxxaxaxf=−+−≤∈⇒≤≤=−+−≥∈+∞⇒≥题目31解：[-22，59]解析：2'()3693(1)(3)fxxxxx=−−=+−可见，[1,3]x∈−减函数，(,1][3,)x∈−∞−∪+∞增函数最大值可能出现在(1),(6)ff−，比较可知(6)f大最小值可能出现在(2),(3)ff−，比较可知(3)f小题目32解：-6，9解析：经过分析，可知极小值和x轴相切，极大值在极小值的左侧通过对图象的分析，可知函数可以写作2322()()2fxxxaxaxax=−=−+因此22'()34fxxaxa=−+，两根12,3axxa==()436,93afapq=⇒=⇒=−=