胡不归、阿波罗尼斯圆、瓜豆模型、费马点、托勒密定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理 主讲：刘蒋巍

胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#教学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 2021年常州中考考前复习指导第1讲胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理教学目标理解胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）；了解梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理教学重点理解胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的点：托勒密定理）教学难点理解胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）教学过程教学内容★■■■■1・m・【首盘脚识】有一则必史故事：说的是一个月左他乡的小伏子*得知父亲痛危的消息后便臼我盘陪就家"能布，当和气■喘吁（他亲到父亲梢面的时.老人刚刚咽气了“人们告诉他，在弥留之际.走人在不断喃响地叨念：一阴不归？胡不归？*早期的科学家普为这则古龙的传说中的小位子设想了一条路曼.（如下图）A#出发地，B条目的见『AC支一条林道，而弁遁*目的地街一网景沙地“药T蠢材⑨东•小优于讫升了立氮路＜IAB.但是，他忽略I在舞遭上行去臬比在净土处靶行大提的这一因素。如果他能选择一条合适的路线.（厚管这条路线长一嬖，怛是递.度可M加深）,是可以提前抵达索亦献那幺,达点俄是那条路线呢？显然.根据两种寓■看的状况上在其上行走的速度值，可以在AC上注定一点D.中优子队R走到D,健后从口折柱B,T望就早到达B,用呢也的科学语寺表达.就爰：ADBD十若在弹道上行走的速度对“：在沙地上行走的述度对％,即求八%的最①值,B1如图，在平面直角坐标系%。》中，已知直线y=2x-2与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(-1,0).(1)求抛物线的解析式；1-(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+^ON的最小值.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),B(0,-<3)、C(2,0),其中对称轴与x轴交于点D。(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD,则JPB+PD的最小值为。2.打氏圆也是形知四十?ps的形人(-<1)款年还是化今的量.用由*阿淡〃尼斯曲’：益平遇上给定雨点4口1段尸怠能同一平面上且满足二—九P.A当，>口且/工I时.尸点的轨迹是个回心称之为阿波罗尼斯回，(/口酎尸点的轨迹是畿段.3的中垂线)动态演示阿波罗尼斯学思堂教育研究院阿波罗尼斯(Apollonius)圆一动点尸与两定点公、8的悲离之比等于定比切①，则点P的轨迹，是以定比m:。内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圈称为阿波罗尼斯团，简称“阿氏旧久已知点M(x,y)与两定点0(0,0),4(3,0)的距离之比为1，那么点M的坐标应满足什么关系?21拓展：已知动点M与两定点4、B的距离之比为九(九〉0)，那么点M的轨迹是什么？背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一PAGE\*MERGEFORMAT#胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）i■算出线段0P与Oli及QP与0A的线段比，找到线段比为k的靖况，加例/中的一=4第四卷:连接，「与的交点即为点p（构造由△PH」一△以P。后可以得到第一办:第二步:第三跳连搂动点干砌心。f--般篇含有4的线段两端点分别与回心0相连）.即连在皿（上取点a［核心步骤另单独解析】（构造的点）,进而推出。炉=。川•双」即“半径的平方:原有线段X构造线段J硼定「的位置后.连接HR求出且「长度”阿氏刷「即可破解〕胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）PAGE\*MERGEFORMAT#例全如图1,在Rt&44（:中，ZACB^Xi*,AC=AtBC=3t点。为―白色内一动点，且满足0=2,则4。+二日口的量小值？图1例5工如图h在眦中，ZC=9Q9rCA=3fCB=4,的半径为富点P是。灯上一动点，则刃4例6t如图1,正方形.4HCO边长为%®B的半径为2,上一鼬点卜则石川区4户「的最小值?例力如SBL在已知差形『的边长为//£二&fT・。6的半径为2.产为®口上一动点.期百出）+6政?的最小值？阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k>0且kw1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为立，当P,A,B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A.2<2B.22C.232D.言 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：A发现隐圆的方法⑴利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.⑵在平面上给定相异两点A,B，设点P在同一平面上且满足IPA1=IPBI,当>0且£时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.（3）两定点A,B,动点P满足IPAI2+IPB|2是定值，确定隐圆.满足条件AB=2,AC=2BCBC的AABC的面积的最大值是古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值入（入W1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系%Oy中，A（一2,0）、B（4,0），点p满足PB-2,设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是①在C上存在点D使得D到点"』）的距离为3②在C上存在点M③在C上存在点N答案：①③使得NO2+N2=43.旋转相似瓜豆模型9.如图，以0为圆心QB长为半径画扇形0AB,其中上AOB=90）延长0B至匚使得O0=2BC=6P点D是弧岫上一点黄结CD以CD为斜边向上作直角三角形D*且3上却「连结□P,则QP的最大值为((AJ3师⑻12⑹6*Ji口(0)672+213（2018南通中专）如图,正方形ABCD中,AE=25Q是BC边的中直点E是正方形内一动氨0E=2.连接区将线段口E统点D逆时针旋转得口F,连接AECF,则线段OF长的最小值为_14如图，一次函数尸2乂与反比例函数产k（k>0）的图象交于A.B两点点P在以c（・2①为圆心」为半径的@C上.M是AP的中点，已知0M长的最大值为-.则k的值为如图，AC-1,1）,B（-1,4）,。（-5,4）,点P是4ABC边上一动点，连接0P,以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中/OQP=90°,/POQ=30°,当点P在^ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（）C4.3D.6PAGE\*MERGEFORMAT#胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）问题探究：如图，在矩形ABCD中，AB=10,cosNABD=且，P为BD上一点，B是点B以P为对称中心13的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB为半径在BD下方作半圆.（1）BP=时，AP±BD时，此时半径是；（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；备用图拓展延伸：（3）如图，AB=6,AC=门，以BC为底边在BC上方作等腰.BCD,其中NCDB=120°,直接写出AD的最大值.DA胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）如图，在Rt.ABC中，ZACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆0,连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为.4.费马点【试题呈现】如图（1）,已知一次函数y=x+3图像与％轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=一x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C.⑴求b、c的值；出如图（1），点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；⑶将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15・后交y轴于点G，连接CG,如图Q）,P是AACG内一点，连接PA>PC、PG，分别以AP、AG为边在它们的左侧作等边AAPR，等边AAGQ，连接QR.①求证：PG=RQ②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取最小值时，点P的坐标.图（1）图（2）胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）PAGE\*MERGEFORMAT#解析：(1)b=—2,c=3(2)D(—1,0),y=3x+3，又BE=2ED,,\E(—-,1)'''BD333y=--x+-,11251、55得M(—一，一)…c525y=-x2—2x+3(3)①易证AAPG2AARQ,,\PG=RQ②PA=PR,PG=RQ,PA+PC+PG=PR+PC+RQ33根据两点之间线段最短，得PR+PC+RQ=CQ最短,G(0,3v3),AG=QG=6,「.QH=OG=3v3,CH=7在RtAQHC中，由勾股定理得：CQ=2、啊,・•.PA+PC+PG的最小值为2<19以AC为边在它的下方作等边AACM,同理可得：PA+PC+PG=GM最短,则P点为直线CQ与直线GM的交点.y=——yCQ7(x—1);yGMr5<3x+3<3第（3）②问图示则JM(-1,-2。3)3%,'3(y=——(x-1)解得：Vy=5j3x+3J39x=——1912y；3y=19(图4)【试题背景研究】2016年盐城中考压轴题第（3）问的第②小问：求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取最小值时，点P的坐标.此处的P点，称之为：费马点。费马点的定义：费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。费马点的性质:（1）平面内一点P到・ABC三顶点的之和为PA+PB+PC,当点P为费马点时，距离之和最小.在特殊三角形中:（2）三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA,为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,Cg，则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.（3）若三角形有一内角大于或等于120°，则此钝角的顶点就是所求.（4）当^ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合.本题第（3）问第■小问，求P点的坐标，笔者给出的解法就是依据上述费马点的性质2求解的。考生可以根据题设条件，根据类比的思想，以AC为边在它的下方作等边AACM，或以CG为边边在它的右侧作等边ACGN（如图5）.则直线CQ、GM、AN中任意两条的交点都是P点.（图5）（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB^^ENB；⑵①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由；⑶当AM+BM+CM的最小值为v3+1时，求正方形的边长.判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P,AP-PC=BP-PDo四点共圆。R判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P,PA-PB=PCPDo四点共圆。判定定理6：AB・CD+AD•BC=AC-BDo四点共圆。PAGE\*MERGEFORMAT#胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）（本题满分12分）阅读《由圆内接四边形想到的理理托勒密定理》，完成问题在线段AC上取点E,使得NCBE=NABD,你能推出哪些结论？师（追问）：请写出相似三角形对应边比例式。生：①△BCEsABDABD_AD；=CE；BD--JE=BC^AD①©△DBCs^ABEBD_CD；=AE；MAE=豌-CD——②师：你能从这些比例式中得出圆内接四边形的这些线段之间有什么结论吗?生：①+②得：-ga・e£+£a・』£=Re,/a+上£・t。 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：（请用文字语言表述）【学以致用】请用阅读所获取的信息解答下面的问题：如图，在。0的内接四边形ABCD中，AB=3,AD=5,NBAD=60°,点C为弧BD的中点，试猜想AC的长，并说明理由。胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）PAGE\*MERGEFORMAT#4-1.如左图.四边形4日尸。内接于连接尸4BC.试证:AB-PCAC-PBBQ-PA.4-2.如右图.平而上任堂四点启日户已连接RdBC,试证:A13-PCAC-PB>BC-FA.探究问题：（1）阅读理解：①如图（A）,在已知△ABC所在平面上存在一点尸，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离.②如图（B）,若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•BD.此为托勒密定理.（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C）,已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB+PC=PA.②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中NA、NB、NC均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（口），在4ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在bc上任取一点,连结尸A、PB、PC、P.易知PA+PB+PC=PA^CPB+PC）—PA+；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P,并请指出线段的长度即为^ABC的费马距离.（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中NA、NB、NC均小于120°）,现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.6.梅涅劳斯定理的逆定理条件同上BACB'AC'm若AC.BA.CB二l则A:B2三点共线。,8图1例1（2U11年武深市中考，如图L在英爵，已m中,融=的1点时F分别在AB,.也上，且AE二力F一连接AF和梅涅劳斯定理设A',B',C'分别是AABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，若A',B',C'三点共线，则况相交于点脸连接CG和黝相交于点W-则下列结论:PAGE\*MERGEFORMAT#胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）容易让人想到枸造平行△面｝i~△值周解决问题;或分别更代小，血相交于点可如国5）■利用E/凶，构造两个m"纵ADAE^AJ-BE和立即得到总；=6f；F,另外还可以又AHG-△房。第③问的证明方法技符.除上述证法作，还可以过点&作AK//〃交口£的延长线于点心知图可.构造一△DFC5和一个M△以4后惜助三渤形的相似来解决问题如图3若过点『祚"/△DF05MMG,同样可觊解决同题实际上.除了构造相似三角码的基本图形"型重F"型外，第③问最简胡不归、阿波罗尼斯圆、旋转相似（瓜豆模型）、费马点、四点共圆及圆中的相似形（重点：托勒密定理）、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、西姆松定理（主讲人：刘蒋巍）PAGE\*MERGEFORMAT#塞瓦定理设A',B',C'分别是AABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，若AA',BB',CC'三线平行或共点，BACB'AC'.塞瓦定理的逆定理设A，B，C分别是AAB^^BC,CA,AB或其延长线上的点,若AC.BA.CB=L则AA,BB',CC'三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理A',B',C'分别是AABC的三边BC,CA,AB所在直线上的点，则AA,BB；CC'平行或共点的充要条件是=1.sin/BAAsin^ACC'sin/CBB'sin/A'ACsin/CCBsin/B'BA广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB・CD+BC-ADNAC-BD,当且仅当A,B,C,D四点共圆时取等号。西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。L西姆松定理及其证明口定理,如图LF是AAU。外接圆上一点.自P向三边所在的直线作垂线，垂足分别是5E、用那么仄E.F三点共线.2）证明：连尸八*PH•因为P.E、氏口及尸、匕、F、-4四点共画，则/I—/3=/L因为NAFF=N1正尸=90D.Z^AP=/E3F,所以N2=则所以E£F三点共线.西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。中考考前复习指导系列，助你决胜中考!教学反思