四面体问题求解中的“嵌”与“补”江苏省姜堰中学张圣官（225500）四面体（即三棱锥）是立体几何中最基本的一个几何体，而它又是与平行六面体密切相关的。有些四面体问题，若将之放到平行六面体背景中，则往往能显现其中隐含的线面关系，从而使问题获得优解。本文通过事例重点说明在正方体或长方体中如何巧解相关的四面体问题。1．将四面体“嵌入”到平行六面体中我们知道，任何一个四面体都可以“嵌入”到一个平行六面体中，而使四面体的六条棱分别是平行六面体六个面的一条面对角线。例如，在证明“四面体顶点到对面三角形重心的四条连线交于一点”（此即为四面体重心）时，实施这种“嵌入”后，问题就转化为论证平行六面体四条体对角线交于一点”，这就容易多了，而且易得四面体重心把四条连线都分成3：1的两部分。下面看几例这种“嵌入”的应用。例1（2000年全国高中数学联赛题）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是A
分析
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：将正四面体ABCD“嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图1），则球O与正四面体的六条棱都相切等价于球O与正方体的六个面都相切。易知正方体棱长为亠a，所以球半径为亠a，故（图1）24球的体积为4兀R3=4兀a3。36例2（1990年全国高考题）正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别图2）为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于A900B600C450D300分析：本题的正三棱锥S-ABC即为正四面体，将正C四面体SABC“嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图2），易知EF在正方体的两底面中心连线上，与正方体的一条侧棱平行。而SA与该侧棱所成角是45。，故异面直线EF与SA所成的角等于450，选（C）。图3)例3四面体ABCD中，AB=CD=5，BC=AD^41，BD=AC=\：34，求此四面体的体积。分析：本题四面体ABCD的面积可求，但高的位置不易确定，直接求体积有一定困难。注意到四面体ABCD的相对棱相等的条件，联想到长方体相对
表
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面的对角线相等这一性质，故可补成长方体解题。解：将四面体ABCD“嵌入”到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则有Bx2+y2=41
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