www.ks5u.com兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．复数的实部为B．复数的虚部为C．复数的共轭复数为D．复数的模为3.已知数列为等比数列，且，则（）A．B．C．D．4.双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5.在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A．B．C．D．6.数列中，，对任意，有，令，，则（）A．B．C．D．7.若的展开式中各项的系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为（）A．B．C．D．8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A．B．C．D．9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（）A．B．C．D．10.设：实数，满足；：实数，满足，则是的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件11.已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则．14.已知样本数据，，……的方差是，如果有，那么数据，，……的均方差为．15.设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则．16.函数，，若函数，且函数的零点均在内，则的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量，，函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为，求的值.18.如图所示，矩形中，，平面，，为上的点，且平面.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.19.某地一商场
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了月份某天当中某商品的销售量（单位：）与该地当日最高气温（单位：）的相关数据，如下
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：（1）试求与的回归方程；（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地月某日的最高气温是，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地月份的日最高气温，其中近似取样本平均数，近似取样本方差，试求.附：参考公式和有关数据，，，若，则，且.20.已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交曲线于，两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（，，，为不同的四个点）.①设，证明：；②求四边形的面积的最小值.21.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）证明：当时，①，②；（2）证明：对任意，，有.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为.（1）求圆心的直角坐标；（2）由直线上的点向圆引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲]设函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，恒有，求的取值范围.兰州市高三诊断考试数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5:CDADA6-10:DBBAB11、12：CC二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.（1）由题意知：，所以的最小正周期为.（2）由（1）知：，当时，.所以当时，的最小值为.又∵的最小值为，∴，即.18.（1）因为面，所以，又，所以.因为面，所以.又，所以面，即平面.（2）方法1：因为面，面，所以，又，所以为中点，在中，，所以，为二面角的平面角，.∴平面与平面所成角的余弦值为.方法2：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，，设平面的法向量，平面的法向量为，易知，令，则，故，令，得，，于是，.此即平面与平面所成角的余弦值.19.（1）由题意，，，，，，.所以所求回归直线方程为.（2）由知，与负相关.将代入回归方程可得，，即可预测当日销售量为.（3）由（1）知，，所以.20.解：（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，则，，，由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，，，，的方程为.（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，则有，又因，，，为不同的四个点，.②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为.若两条直线的斜率存在，设的斜率为，则的方程为，解方程组，得，则，同理得，∴，当且仅当，即时等号成立.综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为.21.解：（1）令，则，为上的减函数，而，所以，成立；令，则，为上的增函数，而，所以，成立.（2），即，由（1），所以，，所以，只需证，即，由（1），所以只需证，只需证，即，上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵，∴，∴圆的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为.（2）方法1：直线上的点向圆引切线长是，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.方法2：直线的普通方程为，∴圆心到直线距离是，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.23.解：（1）当时，，所以，所以或，解集为.（2），因为，∴时，恒成立，又时，当时，，∴只需即可，所以.
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