人教版数学八年级上册13.4《最短路径问题（2）》名师教案

.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。课题学习最短路径问题〔第二课时〕造桥选址问题〔邹敏〕一、教学目标：〔一〕学习目标1.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3.体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．〔二〕教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址〞的实际问题转化为“两点之间，线段最短〞问题〔三〕教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、 教学设计 散步教学设计免费下载洗衣歌教学设计免费下载汽车材料教学设计下载爱护水资源教学设计下载一师一优课教学设计下载 〔一〕课前设计1.预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点P、Q，过P、Q分别作CD的垂线，垂足分为M、N，那么PM与QN的大小关系为〔〕A．PM＞QNB．PM＝QNC．PM＜QND．不能确定答案：⑴形状，大小；⑵小于；⑶B2.预习自测⑴直线AB上有一点P，当点P在时，PA+PB有最小值，最小值为AB的值；⑵直线AB上有一点P，当点P在时，PB-PA等于AB的值；⑶直线AB上有一点P，当点P在时，PA-PB等于AB的值；【知识点】线段的和差【数学思想】分类讨论，数形结合【思路点拨】直线AB上有一点P，此时点P与线段AB的位置关系有两种：①如图1，点在线段AB上；②如图2和图3，点在线段BA的延长线上或点在直线AB的延长线上.【解题过程】⑴当点P在线段AB上时，如图1，PA+PB=AB即PA+PB最小值为AB的值；⑵当点P在线段BA的延长线上时，如图2，PB-PA=AB；⑶当点P在线段AB的延长线上时，如图3，PA-PB=AB；【答案】⑴线段AB上；⑵线段BA的延长线上；⑶线段AB的延长线上.⑷如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P，使得｜PB－PA｜的值最大？【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边〞，那么｜PB－PA｜＜AB；当点P与A、B共线，点P在线段BA的延长线上时，即点P为直线AB与直线l的交点，那么｜PB－PA｜=AB.【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－PA｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-PA=AB，即｜PB－PA｜=AB；【答案】如图，连接BA并延长交直线l于P，此时｜PB－PA｜的值最大.〔二〕课堂设计1.知识回忆⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换〔简称平移〕.平移不改变图形的形状和大小.⑵三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边2.问题探究探究一运用轴对称解决距离之差最大问题●活动①回忆旧知，引入新知师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题〞，但善于观察与思考的海伦在解决“两点〔直线同侧〕一线〞的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值〞的情况：●活动②整合旧知，探究新知例1.如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．　【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比拟来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交点C.【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，那么点C即为所求．●活动③类比建模，证明新知师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点〔直线同侧〕一线型〞时AC+BC最小的吗？试类比证明“｜AC－BC｜最大〞的作法是否正确性？理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，那么有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.练习点A、B均在由面积为1的一样小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如下图.假设P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB与x轴的交点，那么此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB.将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，那么此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B的连线交y轴于点Q，那么点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.【答案】如图，点P与点Q即为所求：探究二利用平移解决造桥选址问题★▲●活动①结合实际，难点分解师：常说“遇山开路，遇水搭桥〞，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CD∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.●活动②生活中的实际问题例2.如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直〕【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A到点B要走的路线是A→M→N→B，如下图，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到AA′，那么AA′=MN，AM+NB=A′N+NB，这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？如图2，连接A′，B两点的线中，线段A′B最短，因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径A→M→N→B是最短的.图1【解题过程】⑴如图2，平移MN到AA′〔或者过点A作AA′垂直于河岸〕，且使AA′等于河宽．⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.【答案】如下图，那么MN为所建的桥的位置．图2●活动③几何证明上述作图为什么是最短的？请你想想.先让学生小组合作完成，进展展示、分享.证明：由平移的性质，得MN∥AA′，且MN=AA′，AM=A′N，AM∥A′N，所以A、B两地的距离:AM+MN+BN=AA′+A′N+BN=AA′+A′B.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′，假设桥的位置建在N′M′处，过点N′作QUOTE\*MERGEFORMATN′M′⊥a，垂足为QUOTE\*MERGEFORMATM′，连接QUOTE\*MERGEFORMATAM′，QUOTE\*MERGEFORMATA′N′，QUOTE\*MERGEFORMATN′B.由平行知：AM′=QUOTE\*MERGEFORMATA′N′，QUOTE\*MERGEFORMATAA′=N′M′，那么建桥后AB两地的距离为：AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B.在△A′N′B中，∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择.练习如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如下图，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．【解题过程】(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.【答案】如图2所示，那么MN为所建的桥的位置．3.课堂总结知识梳理本堂课主要知识为两个最值问题：〔1〕利用轴对称知识解决“线段距离之差最大〞问题；〔2〕利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址〞问题．重难点归纳解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．⑴“距离之差最大〞问题的两种模型：①如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性．⑵“造桥选址〞问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．〔三〕课后作业根底型自主突破1.如图，A、B两点分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．那么符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是〔〕A．F和CB．F和EC．D和CD．D和E【知识点】最短路径问题．【思路点拨】图中隐含了两个“两点〔同侧〕一线型〞的模型.【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．应选A．【答案】A2.如下图，一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置与镜子MN上沿M处于同一水平线． 有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有〔〕A.点A、B、CB.点A、B、DC.点B、C、DD.点A、B、C、D【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内．如下列图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【解题过程】如下列图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【答案】B3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和【解题过程】∵在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD=130°延长AB到P，使BP=AB，延长AD到Q，使DQ=AD，那么点A关于BC的对称点为点P，关于CD的对称点为点Q，连接PQ与BC相交于点E，与CD相交于点F，如图，PQ的长度即为△AEF的周长最小值；又∵∠BAD=130°，∴在△APQ中，∠P＋∠Q＝180°－130°＝50°.∵∠AEF＝∠P＋∠PAE＝2∠P，∠AFE＝∠Q＋∠QAF＝2∠Q，∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠P＋∠Q)＝2×50°＝100°，∴∠EAF=180°－100°=80°【思路点拨】①补全图形，转化为“一点两线型〞求三角形周长最小的问题；②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【答案】D4.如图，村庄A，B在公路l的同侧，在公路l上有一个公交车站点P，此点P使得｜PB－PA｜值最大，试作出公交车站P的位置.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边〞，那么｜PB－PA｜＜AB；当点P与A、B共线时，即在线段BA的延长线上，点P为直线AB与直线l的交点，那么｜PB－PA｜=AB.【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－PA｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-PA=AB，即｜PB－PA｜=AB；【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.5.如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的中点，当EF+EC取得最小值时，求∠ECF的度数.【知识点】等腰三角形的“三线合一〞，轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】拆分出点F、点C和直线AD，构成“两点一线型〞的根本模型是解决此题的关键，连接CF′〔或者连接BF〕与直线AD交于点E，此时EF+EC取得最小值为CF′〔或者BF〕，但题目要求∠ECF的度数，那么只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一〞的性质求解.【解题过程】取AB得中点F′，那么等边三角形AC边的中点F与点F′关于直线AD对称；连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+ECCF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，那么∠ECF的度数是30°.作图解题之前应该忽略图中的点E，如图1，又由“两点一线型〞的最短距离的模型得到图2；【答案】∠ECF的度数为30°6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．假设P、Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质【数学思想】数形结合，转化【解题过程】如图，过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度.∵AC=6，BC=8，AB=10，S△ABC=AB•CM=AC•BC，∴CM===，即PC+PQ的最小值为．【思路点拨】因为∠BAC的对称轴是∠BAC的平分线所在的直线AD，所以点Q的对称点在射线AB上.假设点Q关于直线AD的对称点为点M，PC+PQ=PC+PM，又当PC、PM共线时，PC+PM的最小值为线段CM的最小值，根据垂线段最短，所以当CM⊥AB时线段CM的值最小.过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，因为AD是∠BAC的平分线，得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．此题主要考察了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．【答案】能力型师生共研7.如下图，在边长为3的等边三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P是线段EF上一个动点，连接BP、GP，求△BPG周长的最小值．【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】要使△PBG的周长最小，而BG是一个定值，只要使BP+PG最短即可，那么转化为“两点一线型〞的最短路径问题.连接AB交直线EF于点P即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小.【解题过程】如图，连接AG交EF于M.∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴AG⊥BC，EF∥BC，那么AG⊥EF，AM=MG，∴A、G关于EF对称，连接AB交直线EF于点P，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，∵AP=PG，BP=BE，∴最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG．【答案】探究型多维突破8.读一读：勾股定理提醒了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， 即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾〞，较长直角边为“股〞，斜边称为“弦〞，所以把这个定理成为“勾股定理〞.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，那么斜边c2=a2+b2=9+16=25， 那么斜边c为5.借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，A、B两个村庄位于河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置，并求出此时所花费用的最小值为多少？〔保存痕迹，不写作法〕【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】根据得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，那么A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再构造直角三角形利用勾股定理即可求出．此题主要考察了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．【解题过程】依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，那么A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．又过点A′向BD作垂线，交BD的延长线于点E，在直角三角形A′BE中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：A′B=50〔千米〕即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100〔万元〕．【答案】100万元9.读一读：勾股定理提醒了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， 即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾〞，较长直角边为“股〞，斜边称为“弦〞，所以把这个定理成为“勾股定理〞.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，那么斜边c2=a2+b2=9+16=25， 那么斜边c为5.借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，那么MP+PQ+QN的最小值是　　．【知识点】轴对称的知识【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．【解题过程】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．∴根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=30°，ON′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==．故答案为．【答案】自助餐1.如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下列图中找出点E的位置．〔保存作图痕迹，不写作法〕【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．【解题过程】如下图，点E即为所求．2.如图，在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜PB－PA｜最小?(保存作图痕迹及简要说明)【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识【思路点拨】因为绝对值具有非负性，即｜PB－AP｜≥0，所以当点PA=PB时，｜PB－PA｜最小值为0.【解题过程】作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点P，交点P即为符合条件的点．如图，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，那么P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于eq\f(1,2)AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.3.如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，那么点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的数学知识或方法是〔　　〕A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【知识点】轴对称的知识、两点之间最短【解题过程】∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA=AB′最短，即此时点C使CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题转化为“两点之间，线段最短〞，表达了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．应选D．【思路点拨】利用“两点之间线段最短〞分析并验证即可．此题主要考察了利用轴对称知识解决最短路径问题，但凡涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理“两点之间线段最短〞，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【答案】D　4.如图，在△ABC中，AC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，那么AP+BP的最小值=.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】数形结合.【解题过程】∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称.连接AC交EF于D，∴当P和D重合，即当点P在直线EF上的D点处时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为5.【思路点拨】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值为AC长度5.【答案】55.如图，在平面直角坐标系中，PQ⊥x轴于点Q，P〔-4，8〕.直线AB垂直平分线段OQ,交x轴于点C，点M为直线AB上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM、NQ，求PM＋MN＋NQ的最小值；【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB和y轴看作河的两岸，点P和点Q′看作河岸两侧的点，转化为造桥选址问题.从P到Q要走的路线是P→M→N→Q，如下图，而MN是定值，于是要使路程最短，只要PM＋QN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到PP′，从P′→N→Q应是余下的路程，当P′N+NQ的值最小时PM＋MN＋NQ有最小值.作点Q关于y轴的对称点Q′，连接P′Q′的线段即为最短，P′Q′与y轴的交点为N，过N作直线AB的垂线，垂足为点M，那么PM＋MN＋NQ的最小值为线段P′Q′的长．【解题过程】因为PQ⊥x轴于点Q，P〔-4，8〕所以Q〔-4，0〕又因为直线AB垂直平分线段OQ,交x轴于点C，所以C〔-2，0〕.如图2，过点P作PP′⊥AB于P′，且PP′等于OC．又作点Q关于y轴的对称点Q′〔4，0〕，连接P′Q′与y轴的交点为N，过N作直线AB的垂线，垂足为点M，那么PM＋MN＋NQ的最小值为线段P′Q′+MN的长．又易得P′C=8，Q′C=6，借助勾股定理，在直角三角形P′CQ′中可得P′Q′===10，所以PM＋MN＋NQ的最小值为10+2=12.【答案】PM＋MN＋NQ的最小值为12.