结构力学 温度变化和支座移动时超静定结构的计算

第五章力法§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算超静定结构：具有多余约束的结构。几何特征：具有多余约束的几何不变体系。静力特征：反力和内力不能仅由平衡条件全部解出。外部一次超静定结构内部一次超静定结构一、超静定结构的静力特征和几何特征§5-1超静定结构概述思考：多余约束是多余的吗？从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。超静定结构的优点为:1.内力分布均匀2.抵抗破坏的能力强§5-1超静定结构概述二、超静定结构的类型超静定梁超静定刚架超静定拱两铰拱 无铰拱§5-1超静定结构概述超静定桁架超静定组合结构§5-1超静定结构概述MethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructures遵循同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想，可有不同的出发点：以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法（forcemethod）。三、超静定结构求解方法概述1.力法----以多余约束力作为基本未知量基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全确定。--关键量§5-1超静定结构概述超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。一、概念二、确定方法2）去约束法将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构。？§5-2超静定次数的确定3）框格法一个封闭无铰框格§5-2超静定次数的确定§5-2超静定次数的确定通常用解除多余约束的办法确定超静定结构的超静定次数，应注意以下几点：（1）去掉一根链杆，等于拆掉一个约束。两铰拱，一次超静定结构。一次超静定桁架曲梁，静定结构。静定桁架§5-2超静定次数的确定去掉几个约束后成为静定结构,则为几次超静定去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束§5-2超静定次数的确定（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。（3）去掉一个固定支座或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。§5-2超静定次数的确定（4）在梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉一个约束。三次超静定刚架静定三铰刚架静定悬臂刚架§5-2超静定次数的确定（5）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方式，但解除约束的个数是相同的,解除约束后的体系必须是几何不变的。1.力法基本思路原（一次超静定）结构1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构(基本体系)。基本体系去掉余约束代之以多余未知力，得到基本体系。§5-3力法的基本概念2)、沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方程就可以求出多余未知力X1。原结构的B是刚性支座,该点的竖向位移是零。即原结构在的X1位移为：位移协调条件：基本结构在原有荷载q和多余力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。在变形条件成立条件下,基本体系的内力和位移与原结构等价.§5-3力法的基本概念在荷载作用下B点产生向下的位移为⊿1P,未知力的作用将使B点产生的向上的位移为⊿1X。要使体系的受力情况与原结构一样,则必须B的位移也与原结构一样，要求：位移协调条件Δ1=Δ1X+Δ1P=0(a)Δ1P——基本结构由荷载引起的竖向位移,Δ1X——基本结构由知力引起的竖向位移。§5-3力法的基本概念—单位载荷位移自乘—广义荷载位移互乘§5-3力法的基本概念将δ11、Δ1P入力法典型方程，解得:3)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的内力。§5-3力法的基本概念 2.几个概念力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知约束力,即超静定次数。力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉,所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多余约束力，就得到了基本体系。力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。§5-3力法的基本概念力法的特点以多余约束力作为基本未知量。故，该方法称为力法。以内力和位移计算方法已知的结构（通常是静定结构）作为基本结构。根据多余约束力作用点沿多余约束力作用方向的位移（或变形）条件，建立关于多余约束力的方程——力法方程。求出多余约束力后，化超静定问题为静定问题。§5-3力法的基本概念选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变的。通常取静定的基本体系。思考：力法的基本体系是否唯一？答：不唯一。解除不同的多余约束可得不同的基本体系。§5-3力法的基本概念SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis注意的问题超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式，但作为力法基本体系的静定结构必须几何不变。一个超静定结构可能有多种形式的基本体系，不同基本体系带来不同的计算工作量。§5-3力法的基本概念力法基本思路小结:根据结构组成分析，正确判断多余约束个数——超静定次数。解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程。从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。§5-3力法的基本概念超静定刚架如图所示,荷载是作用在刚性结点C上的集中力矩M。一、多次超静定的计算原结构基本体系（1）力法基本未知量X1与X2§5-4力法的典型方程（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M和多余力X1、X2共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。（a）§5-4力法的典型方程得两次超静定的力法基本方程§5-4力法的典型方程（3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位力与荷载单独作用下的弯矩图。§5-4力法的典型方程§5-4力法的典型方程（4）求出基本未知力。将计算出来的系数与自由项代入典型方程得求得的X1、X2为正， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明与原假定的方向一致。§5-4力法的典型方程由刚结点C的平衡可知M图正确。(5)作内力图。§7-4力法的典型方程杆AC:杆CB:作剪力图的原则是,截取每一杆为隔离体，由平衡条件便可求出剪力。§5-4力法的典型方程有无简单方法取刚结点C为隔离体，由投影平衡条件解得作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的剪力便可求出轴力。§5-4力法的典型方程二、力法典型方程n次超静定定结构，力法典型方程为（7-1a）柔度系数ij——表示当单位未知力Xj=1作用下,引起基本体系中Xi的作用点沿Xi方向的位移。思考：柔度系数由什么的特点？§5-4力法的典型方程自由项iP——荷载作用下引起基本体系中Xi的作用点沿Xi方向的位移。通常先用叠加原理计算弯矩由力法典型方程解出n个基本未知数X1，X2，…，Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。§5-4力法的典型方程1、力法的典型方程是体系的变形协调方程；2、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理.小结：§5-4力法的典型方程力法应用例题(超静定梁)【例】用力法求作图示两跨连续梁的弯矩图。已知。【解】⑴判别超静定次数，选基本体系。本结构1次超静定，取基本体系如图。注意：基本结构的选择应尽量使力法方程的系数项和自由项计算简单，即尽量使基本结构在多余约束力和外荷载作用下的弯矩图简单，便于图乘。⑵列出力法方程：§5-5力法的计算步骤和示例力法应用例题⑷解方程：⑸作最终弯矩图：§5-5力法的计算步骤和示例力法的解题步骤（1）确定结构的超静定次数，选取适当的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束反力,即基本未知数。即得基本体系。（2）列力法方程式（3）计算系数与自由项。分别画出基本体系在单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。（4）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。解此方程，求出基本未知力。（5）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作出基本体系的内力图,也就是原结构的内力图。（6）校核。§5-5力法的计算步骤和示例2、基本方程§5-5力法的计算步骤和示例力法应用例题(超静定刚架)18279663663、系数与自由项§5-5力法的计算步骤和示例4、解方程5、内力21.334.335.6616§5-5力法的计算步骤和示例练习：用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和剪力图。解:(1)确定超静定次数、选择基本体系。原结构基本体系（2）列出力法典型方程（a）§5-5力法的计算步骤和示例由图乘得§5-5力法的计算步骤和示例(4)解方程求未知力。解此方程得(5)求作弯矩图。§5-5力法的计算步骤和示例(6)作剪力图。利用BE杆力偶系平衡条件得同理§5-5力法的计算步骤和示例(7)作轴力图。根据最后剪力图可作出最后轴力图。§5-5力法的计算步骤和示例【解】2次超静定，选基本体系如图。§5-5力法的计算步骤和示例力法应用例题(超静定桁架)§5-5力法的计算步骤和示例§5-5力法的计算步骤和示例【思考题】上述计算中基本结构（一）是将多余的桁架杆件切断，请考虑能否将多余的桁架杆件去掉，选择基本结构（二）进行力法计算？二者有何区别？⑴力法方程表示与多余约束力对应的几何条件，两个不同基本结构多余约束力的作用点发生了变化，故力法方程应该不同。⑵两个方程的主系数计算不同，㈠的方程主系数比㈡的方程主系数大，各多了一根斜杆的内力功项，其大小刚好等于㈡方程等号右边项的系数。故两个方程等效。§5-5力法的计算步骤和示例练习：用力法计算图示桁架，作轴力图。各杆EA相同。基本体系(3)计算系数及自由项。解:(1)确定超静定次数及选定基本体系。(2)列出力法方程为:计算FN1和FNP。§5-5力法的计算步骤和示例(4)解方程求未知力负号表明杆CD受压。§5-5力法的计算步骤和示例(5)计算轴力时应用公式：（拉）（压）（拉）（压）§5-5力法的计算步骤和示例例用力法计算图a所示组合结构。已知梁式杆，压杆DC、EF的，，拉杆AD、DE、BE的。解:(1)一次超静定。(2)列出力法方程§5-5力法的计算步骤和示例力法应用例题(超静定组合结构)(3)作、、、图。利用位移的公式：§5-5力法的计算步骤和示例§5-5力法的计算步骤和示例梁的轴向变形对δ11的影响为占δ11的0.28%，故计算δ11时可以略去。§5-5力法的计算步骤和示例(4)解方程求未知力。算得（拉）(5)作内力图。（上侧受拉）§5-5力法的计算步骤和示例对称性的概念对称结构:几何形状、支承情况、刚度分布对称的结构.对称结构非对称结构支承不对称刚度不对称几何对称支承对称刚度对称§5-6对称性的利用-力法简化计算对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载反对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作用点对称,方向反对称的荷载§5-6对称性的利用-力法简化计算上面这些荷载是对称,反对称荷载,还是一般性荷载?§5-6对称性的利用-力法简化计算■一般荷载作用，取对称基本结构只含反对称未知量★取对称基本结构，可使方程部分简化。只含对称未知量§5-6对称性的利用-力法简化计算■正对称荷载作用：取对称基本结构★反对称的未知量=0对称荷载作用下，反对称的未知力必等于零，只需计算对称的未知力。对称轴截面只产生对称的轴力和弯矩。相当于减少1次超静定，计算得以简化。§5-6对称性的利用-力法简化计算★对称结构正对称荷载作用，M图和FN图正对称，FQ图反对称；变形与位移正对称。§5-6对称性的利用-力法简化计算■反对称荷载作用：取对称基本结构★对称的未知量=0反对称荷载作用下，对称的未知力必等于零，只需计算反对称的未知力。对称轴截面只产生反对称的剪力。相当于减少2次超静定，计算得以简化。§5-6对称性的利用-力法简化计算★对称结构反对称荷载作用，M图和FN图反对称，FQ图正对称；变形与位移反对称。§5-6对称性的利用-力法简化计算1.在正对称荷载作用下，对称轴处截面剪力为零，基本未知力只有两个（轴力X1和弯矩X2）。2.对称结构在反对称荷载作用下，正对称的多余未知力为零。1.对称结构在正对称荷载作用下，反对称的多余未知力为零。2.在反对称荷载作用下，对称轴处截面轴力和弯矩为零，基本未知力只有一个（轴力X1）。换言之：小结：§5-6对称性的利用-力法简化计算无弯矩情况判别在不计轴向变形前提下，下述情况无弯矩，只有轴力。(1)集中荷载沿柱轴作用；(2)等值反向共线集中荷载沿杆轴作用；(3)集中荷载作用在不动结点。可利用下面方法判断：化成铰接体系后，若能平衡外力，则原体系无弯矩。§5-6对称性的利用-力法简化计算奇次线性方程的系数组成的矩阵可逆，只有零解。§5-6对称性的利用-力法简化计算例.作图示梁弯矩图解:X3=0X2=0§5-6对称性的利用-力法简化计算例:求图示结构的弯矩图。EI=常数。由一个四次超静定结构考虑对称性变成一次超静定。§5-6对称性的利用-力法简化计算解：根据以上分析，力法方程为：§5-6对称性的利用-力法简化计算=+例：试作图示对称刚架（跨度l，高h）在水平力F作用下的弯矩图。解：利用对称性简化力法计算。未知力分组和荷载分组§5-6对称性的利用-力法简化计算力法典型方程成为：未知力分组和荷载分组§5-6对称性的利用-力法简化计算对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：§5-6对称性的利用-力法简化计算利用结构的对称性，取一半结构进行计算，同样可降低超静定次数，达到简化计算的目的。（1）奇数跨对称刚架内力、变形对称两次对称荷载内力、变形反对称一次原则：所选取的半结构受力和变形与原结构相同。方法：在切口处按原结构的受力和变形条件设置相应的支撑。Mk0FNk0FSk=0k=0kx=0ky0Mk=0FNk=0FSk0k0kx0ky=0§5-6对称性的利用-力法简化计算（2）偶数跨对称刚架对称荷载对称三次超静定六次超静定§5-6对称性的利用-力法简化计算（2）偶数跨对称刚架反对称荷载三次超静定ICC§5-6对称性的利用-力法简化计算练习:§5-6对称性的利用-力法简化计算§5-6对称性的利用-力法简化计算§5-6对称性的利用-力法简化计算取半结构计算【例】试用力法求作图示结构的弯矩图。对称无弯矩反对称对称无弯矩反对称又看到您了！§5-6对称性的利用-力法简化计算注意：超静定结构，温度变化将产生变形和位移，同时产生内力。由于存在多于约束，超静定结构在荷载作用、温度变化和支座位移等因素作用下都将产生内力，这是和静定结构的不同之处。用力法分析超静定结构其他因素引起的内力，原理同前，唯一的区别在于典型方程中的自由项不同。§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算物理意义：基本体系在外载荷和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处沿各多余未知力方向的位移与原结构相应的位移相等。外荷载典型方程：………………………………………多余未知力引起外荷载引起基本结构的位移原结构的位移§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算物理意义：基本体系在温度变化和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处沿各多余未知力方向的位移与原结构相应的位移相等。温度变化典型方程：………………………………………温度变化引起基本结构的位移原结构的位移§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算物理意义：基本结构在支座移动和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处沿各多余未知力方向的位移与原结构相应的位移相等。支座移动典型方程：………………………………………支座移动引起基本结构的位移原结构的位移§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算△iP的物理意义：△iP沿Xi方向的位移由外荷载引起典型方程：………………………………………△iP的计算：§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算△it的物理意义：△it沿Xi方向的位移由温度变化引起典型方程：………………………………………△it的计算：§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算△i△的物理意义：△i△沿Xi方向的位移由支座移动引起典型方程：………………………………………△i△的计算：§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算所有因素共同作用时的典型方程：§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算支座移动时的力法计算支座移动时力法计算的特点如选有位移的支座作为多余约束，则方程右边不为零，应等于已知的支座位移。方程自由项由基本结构的支座位移产生。（注意：多余约束力对应支座位移不再是基本结构的支座位移）结构的最终内力完全由多余约束力引起。内力与绝对刚度有关。（一般荷载作用下的内力只与相对刚度有关）§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算例：设图示刚架外侧温度不变，内侧温度升高10℃。各杆EI=常量，截面高度h=常量，截面形心在截面高度h的0.5处,线膨胀系数为α，试求由于温度变化在刚架中引起反力和内力。（a）自由项△1t与△2t为基本结构内侧温度升高10℃时在自由端C沿X1、X2方向产生的位移。解:1.刚架为二次超静定结构。2.根据变形条件建立力法方程温度改变时的力法计算§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算刚架内外侧温度差可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆轴线伸长，内侧受位。3.计算系数和自由项温度参量△t、t0的计算说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。(1)计算自由项§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算在基本结构C处沿X1、X2方向加单位力，作相应的内力图。同理§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算将△1t、△2t、δ11、δ22、δ12、δ21、的表达式代入式（a）得(2)系数的计算,只计弯曲影响。§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算解得：§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算1.温度变化在超静定结构中引起的内力大小与杆件刚度有关，通过加大杆件截面（加大EI）来改善结构在温度作用下的受力状态并非是一个有效的途径。要点：2.超静定结构因温度变化而引起的变形与静定结构有较大的差别。超静定结构是降温侧受拉.多数房屋建筑为超静定结构，当室内外温差较大时可能导致室外或室内开裂。§5-7温度变化和支座移动时超静定结构的计算1.由于超静定结构有多余的约束,因此超静定结构的内力状态由平衡条件不能唯一地确定。必须同时还要考虑变形条件才能求解。超静定结构（与静定结构相比）有如下一些重要特性：2．由于约束有多余的，因而超静定结构在某些约束被破坏后，结构仍保持几何不变体系，因而还具有一定的承载能力；而静定结构在任一约束被破坏后，即变成几何可变体系，因而丧失承载能力。这说明超静定结构具有较强的防护能力。小结3．超静定结构，一般情况下，其内力分布也比静定结构要均匀，内力的峰值也要小些。支梁最大弯矩在跨中,其值为,如果在跨中添加一支座变成连续梁,则最大弯矩在中间支座处,其值为,比简支梁小4倍。小结4．超静定结构的内力与结构的 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 性质和截面尺寸有关。若结构构件截面尺寸和刚度有变化,则其内力分布也随之而变。所以在设计超静定结构时必先假定各杆的截面尺寸才能计算,当荷载不变时，若要改变内力分布，也必须修改各杆的截面尺寸或刚度。小结力法是求解超静定结构最基本的方法。力法的基本原理是将原超静定结构中的多余约束解除，代之以相应的未知约束反力。原结构就变成了在荷载及多余未知力作用下的静定结构。这个静定结构称为原结构的基本体系,多余未知力称为原结构的基本未知数。根据基本体系中多余未知力作用点的位移应与原结构一致的条件，即多余约束处的位移谐调条件，建立位移协调方程。这就是力法典型方程。方程中的基本未知数是体系的多余未知力。这种以未知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。由于基本体系满足位移谐调条件,因此基本体系的内力与变形便与原超静定结构完全一致。利用位移约束条件解出多余未知力是力法的关键,求出多余未知力后便将超静定问题转化为静定问题了。以后的计算便与静定结构的求解完全一样。小结理论上力法可以求解任何超静定结构。其原理具有物理概念明晰、易于理解的特点。其不足之处是：当多余约束较多时，即超静定次数较高时,计算工作量很大。而且力法的基本体系有多种选择,难以编成通用的计算机程序,这就极大地限制了力法的应用。用力法计算超静定结构，要做到超静定次数判断准确，基本结构选取适当，位移计算无误，最后校核仔细。用力法计算超静定结构的位移时,作单位弯矩图时可选择任意的基本结构。要理解这一点,就要理解基本体系的内力与变形与原结构完全一致这一道理。因而,求超静定结构的位移就是求基本体系的位移。基本体系的荷载弯矩图就是原超静定结构的最终弯矩图。所以,只要再画出基本体系在单位力作用下的弯矩图就行了。小结力法典型方程由位移约束条件而来，其本质是原超静定结构上被解除多余约束处的位移应与原结构该点的位移一致的变形谐调条件，方程中的每项都是荷载或非荷载因素引起的位移，其中包括多余未知力引起的位移。方程中的每一项都不能单独使基本结构与原超静定结构的位移一致，只有将各项叠加起来才能作到这一点。所以,本章导出的力法典型方程只适用于线弹性结构。小结