弧度制因为用了不同的单位．再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制．创设情境问题1 我们知道：篮球明星姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中却是7.5英尺，为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明．．追问1 如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？新知探究问题2 度量角除了角度制，还有什么单位制呢？追问2 如图2，在射线OA上任取一点Q（不同于点O和P），OQ＝r1．在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧OQ1的长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？；因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角．只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．新知探究圆心角所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，追问3 结合上面的探索过程，你能试着说一说什么是1弧度角吗？我们规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．新知探究追问4 （1）我们把半径为1的圆叫做单位圆．既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定1rad的角呢？（2）在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角α的弧度数是多少？（3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？在半径为r的圆中；类比角度制，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．新知探究得出单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就是1rad（如图）；追问5 请你说说弧度制与角度制有哪些不同？第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等．第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的；新知探究新知探究问题3 既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值．（2）利用计算器有67°30′≈1.178rad．所以67°30′＝rad＝rad．新知探究例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：解：（1）由于67°30′＝，解：利用计算器有3.14rad≈179.909°．新知探究例2 将3.14rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）．练习填写特殊角的角度数与弧度数的对应表（课本174页）．度0°30°45°120°135°150°360°弧度0π2π新知探究60°90°180°270°（1）；（2）；（3）．其中R是圆的半径，α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．证明：（1）由公式可得．下面证明（2）（3）．新知探究例3 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：其中R是圆的半径，α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是，将n°转换为弧度，得，于是．将l＝αR代入上式，即得．新知探究（1）；（2）；（3）．例3 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）你觉得这样定义弧度制合理吗？（2）在度量角的时候你觉得需要注意哪些问题？（3）你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？（4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究
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与路径吗？归纳小结问题4 通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？（1）圆心角α所对的弧长与半径的比值随α的确定而唯一确定，因此，利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的是合理的；（1）你觉得这样定义弧度制合理吗？（2）在度量角的时候你觉得需要注意哪些问题？（3）你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？（4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？归纳小结问题4 通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？（2）在度量角的时候需要注意：联系两种度量制的桥梁是360°＝2rad；要注意防止出现角的两种度量制混用的现象，等等；（3）你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？归纳小结问题4 通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？（3）用弧度制度量角的好处：弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简单，这是引入弧度制带来的一个便利．实际上，角度制下角的度量制是六十进制，与长度、面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有“换算因子”．（3）你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？归纳小结问题4 通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？而弧度制下角度与长度、面积一样，都是十进制，就可以去掉这个“换算因子”了．（4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？归纳小结问题4 通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？背景引入弧度制的必要性定义的合理性弧度制定义表示关系应用目标检测（1）22°30′；（2）－210°；（3）1200°．答案：（1）；（2）；（3）．把下列角度化成弧度：1目标检测（1）；（2）；（3）．答案：（1）15°；（2）－240°；（3）54°．把下列弧度化成角度：2目标检测答案：弧度数为1.2．已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数．3谢谢大家敬请各位老师提出宝贵意见！再见
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