双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程__________(a>0，b>0)________(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝_______2．a2＋b2研一研·题型解法、解题更高效研一研·题型解法、解题更高效研一研·题型解法、解题更高效规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．题型二 双曲线定义的应用【例2】[思路探索](1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为6或22.(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得规律方法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，【变式2】研一研·题型解法、解题更高效研一研·题型解法、解题更高效研一研·题型解法、解题更高效C研一研·题型解法、解题更高效研一研·题型解法、解题更高效研一研·题型解法、解题更高效研一研·题型解法、解题更高效研一研·题型解法、解题更高效题型三 与双曲线有关的轨迹问题【例4】【题后反思】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；【变式3】圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|. 只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况．误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】答案 {m|－3<m<2或m>3}
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