中考数学专题复习第5讲┃考点聚焦考点1平方根、算术平方根与立方根立方平方平方 数的开方 平方根 一个数x的______等于a，那么x叫做a的平方根，记作±√2 算术平方根 一个正数x的________等于a，则x叫做a的算术平方根，记作√2，0的算术平方根是0 立方根 一个数x的________等于a，那么x叫做a的立方根第5讲┃考点聚焦考点2二次根式的有关概念a≥0 二次根式 定义 形如√a(________)的式子叫做二次根式 防错提醒 √a中的a可以是数或式，但a一定要大于或等于0 最简二次根式 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数不含分母考点3二次根式的性质第5讲┃考点聚焦≥0a－aa－a≥0≥0≥0>0 二次根式的性质 两个重要的性质 ()2=a(a________) 积的算术平方根 √ab＝√a·√b(a________，b________) 商的算术平方根 (a________，b________）eq\r(a)eq\r(a2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1( （a≥0）, （a<0）))eq\r(\f(b,a))＝eq\f(\r(b),\r(a))考点4二次根式的运算第5讲┃考点聚焦≥0≥0≥0>0 二次根式的加减 先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 二次根式的乘法 eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a________，b________) 二次根式的除法 eq\f(\r(b),\r(a))＝eq\r(\f(b,a))(a________，b________)考点5把分母中的根号化去第5讲┃考点聚焦 常用形式及方法(1)eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1·\r(a),\r(a)·\r(a))＝eq\f(\r(a),a)；(2)eq\f(1,\r(a＋b))＝eq\f(\r(a＋b),a＋b)第5讲┃归类示例► 类型之一 求平方根、算术平方根与立方根命题角度：1.平方根、算术平方根与立方根的概念；2.求一个数的平方根、算术平方根与立方根．例1(1)9的平方根是( )A．3B．－3C．±3D．6(2)(－2)2的算术平方根是( )A．2B.±2C．－2D.√2CA[解析]9的平方根是±3，(－2)2的算术平方根是2.第5讲┃归类示例(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简再进行开方运算．方法点析► 类型之二 二次根式的有关概念命题角度：1．二次根式的概念；2．最简二次根式的概念．第5讲┃归类示例例2使代数式有意义的x的取值范围是( )A．x≥0B．x≠C．x≥0且x≠D．一切实数Ceq\f(\r(x),2x－1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)第5讲┃归类示例此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．方法点析►类型之三二次根式的化简与计算第5讲┃归类示例命题角度：1.二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2.二次根式的加减乘除运算．例3计算解：原式＝eq\f(1,2)×(eq\r(3)－1)2＋eq\f(1,\r(2)－1)＋eq\r(3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(－1)eq\f(4－2\r(3),2)＋eq\r(2)＋1＋eq\r(3)－eq\r(2)＝2－eq\r(3)＋eq\r(2)＋1＋eq\r(3)－eq\r(2)＝3.利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查．第5讲┃归类示例方法点析第5讲┃归类示例例4先化简，再求值：，其中x＝.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,x＋1)))·eq\f(x\r(x2＋2x＋1),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))\s\up12(2))eq\f(1,2)解：原式＝eq\f(1,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)))·eq\f(x\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋1)),4x)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋1)),4x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))).①当x＋1＞0时，原式＝eq\f(1,4x)；②当x＋1＜0时，原式＝－eq\f(1,4x).∵当x＝eq\f(1,2)时，x＋1＞0，∴原式＝eq\f(1,2).此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．第5讲┃归类示例方法点析►类型之四二次根式的大小比较命题角度：1.二次根式的大小比较方法；2.利用计算器进行二次根式的大小比较．第5讲┃归类示例例5已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋√15，乙＝3＋√17，丙＝1＋√19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确( )A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙A第5讲┃归类示例[解析]本题可先估算无理数√15，√17，√19的整数部分的最大值和最小值，再求出甲、乙、丙的取值范围，进而可以比较其大小．∵3＝√9<√15<√16＝4，∴8＜5＋√15＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝√16＜√17＜√25＝5，∴7＜3＋√17＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝√16＜√19＜√25＝5，∴5＜1＋√19＜6，∴丙＜乙＜甲．故选A项．比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．第5讲┃归类示例方法点析►类型之五二次根式的非负性命题角度：1.二次根式√a的非负性的意义；2.利用二次根式√a的非负性进行化简．第5讲┃归类示例例6已知实数x，y满，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A.20或16B．20C．16D．以上
答案
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均不对Beq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－4))＋eq\r(y－8)＝0第5讲┃归类示例(1)常见的非负数有三种形式：|a|，√a，a2.(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．第5讲┃归类示例方法点析第5讲┃回归教材二次根式化简中的整体思想教材母题 人教版九上P18T6第5讲┃回归教材[点析]在进行二次根式化简求值时，常常用到整体思想．把x＋y、x－y、xy当作整体进行代入．先化简，再求值：第5讲┃回归教材
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