有限元考试复习题

第1章杆件结构1.1单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？答：（1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。（2）这样的叠加方法条理清晰，便于电脑程序编程，分块进行，效率较高，且尤其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算程序化后，大大节省了时间，并且精度较高。（3）刚度矩阵的物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能承受的力的大小。通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系。通过单元刚度矩阵叠加构建整体刚度矩阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进一步求出单元之间的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。（4）特点：1）对称性。由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也具有对称性。2)奇异性。即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。3)存在相当数量的零元素。由于杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。1.2如图所示的圆杆，由两个不同截面的杆件（1）与（2）组成，在节点1，2，3上作用有轴向节点载荷1Q、2Q、3Q而平衡。试写出3个轴向载荷与节点的轴向位移1u、2u、3u之间的矩阵关系。解：杆件1的单元刚度矩阵为：1111111EAkl；杆件2的单元刚度矩阵为：2221111EAkl；结构的整体刚度矩阵为：1111111112112211222122111211222221222222EAEAllkkEAEAEAEAKkkkkllllkkEAEAll而又12llL，所以11112222AAEKAAAALAA令节点位移向量为123,,Tuuu，节点力为123,,TFQQQ，从而可得3个轴向载荷与节点的轴向位移其关系为11112112223223QAAuEQAAAAuLQAAu1.3如图所示为三角桁架，已知25/101.2mmNE，两直边的长度ml1，各杆的截面积21000mmA，求此结构的整体刚度矩阵K，若节点的编号改变后，问K的有无变化？解：杆件的单元刚度矩阵为：1111iiiEAkl，从而可得各个单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵为：11111EAkl；21111EAkl；311112EAkl平面杆单元坐标转置矩阵：cossincossinT，而又00012390045、和，从而各个单元的坐标转置矩阵分别为：10101T；21010T；322222222T根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为1111000000101101000101001100010000010101TEAEAkTkTll2222101010001110000000011100101010000000TEAEAkTkTll33331011111011110011110111001111112222011111TEAEAkTkTll令节点位移向量为112233,,,,,Tuvuvuv，节点力为112233,,,,,TxyxyxyFqqqqqq，按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得1010000100011111101222222221111002222222211110022222222111101122222222EAKl若节点的编号改变后，K会发生变化，但是并不影响最终的计算结果。第2章平面问题2.1平面结构由平板与加强直杆组合而成，如下图所示，在板的斜边上作用均匀的垂直载荷q，已知板与杆的尺寸a、b、t及 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 性质E、，若加强杆只承受轴力，将三角板离散为4个三角形单元，试简要说明用有限元位移法求解此结构的位移与应力的方法与步骤。写出整体载荷列阵。解：用有限元位移法求解此结构的位移与应力的方法与步骤如下所示：（1）对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；（2）求出各三角形单元的刚度矩阵[K](e)。[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵，其关系式为：{F}(e)=[K](e){Φ}(e)；（3）集成结构的总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程。总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为{F}=[K]{Φ}，此即为总体平衡方程；（4）引入边界条件，简化求解方程，求出各节点的位移；（5）求出各三角形单元内的应力和应变。解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。外荷载为线性分布的表面力，且为均布荷载。在单元坐标系中，作用于单元123上的外荷载等效为节点力为：151000104Tsfqta；作用于单元356上的外荷载等效为节点力为：251000104Tsfqta。进行转置后，可得在整体坐标系的荷载列阵为：1111100000042242TFqtaqtaqtaqtaqtaqta2.2图示的三角形单元ABC，其尺寸如图，单位：mm，已知材料的弹性模量MPaE5102，泊松比为0，如A点的x方向的位移muA8102，y方向的位移为0；C点沿x方向的位移为0，沿y方向的位移mvC810；而B点的位移为零。试计算此单元的应力及三个节点的节点力。解：由题中条件可得三角形单元的节点位移列阵为：0000TeAC其中：8210mAAu，810mCCv。单元ABC为平面应力单元，A节点编号为i，B节点编号为j，C节点编号为m，则其应力矩阵ijmSSSS为：2,,2(1)1122iiiiiiibcESbcijmAcb其中：ijmmjijmijmaxyxybyycxx，ijm，A为三角形ABC的面积。而又eiiiS，则可得2,,2(1)1122iiiiiiiibcEbcijmAcb三角形单元ABC的应力为：eeeeiijjmmSSSS。三角形单元ABC的单元刚度矩阵eK为：iiijimejijjjmmimjmmKKKKKKKKKK其中：21122114122rsrsrsrsrsrsrsrsrsbbccbccbEKAcbbcccbb。节点力的计算公式为eFK，将相关数据带入计算公式可得：253.7859.902133.98155.38119.8215.2N8TF2.3正方形平面结构，沿对角线AD方向承受两集中拉力P，其网格示意所示。若取整体计算时，结点应如何编号使其半带宽最小？并说明怎样处理位移约束。如果利用结构的对称性，只计算1/4，又如何处理边界条件？答:（1）当节点编号合理即相邻单元的节点编号差尽可能小，这些稀疏的非零元素集中在以对角线为中心的一条带状区域内，具体编码如下图所示。B=d（D+1）对于平面问题d=2，则有Dmin=5。由于AD方向承受两集中力整体对称，则两对称轴线交点处的限制位移为0，对称轴则是横向位移限制为0，轴向位移放松。（2）取题中结构的四分之一，结构单元划分情况如下图所示。边界条件为：v4=v5=v6=0，分别对应总体平衡方程的8、10、12行，u1=u2=u3=0分别对应1、3、7行。因此，在计算机程序实现中将这6行中的对角线元素乘以大数即可，用手解即可把这6行和6列划掉，使总体平衡方程变为6阶线性方程组。xy1a23a564①②③④aa2.4如上题中在BC间连一刚度为k的弹簧，按刚度矩阵的物理意义，在有限元 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中如何处理此弹簧?弹簧原长为BC如何？若原长比BC的长度小，该怎样处理？答：在有限元分析中，刚度为k的弹簧可以视为杆单元进行处理，只需要将它的刚度系数叠加到整体刚度矩阵中的对应位置即可。如果弹簧原长比BC小，则其为有初始应力的单元且为拉力。将弹簧的初始力F=k作用于对应节点，弹簧的刚度矩阵仍然按照BC长度计算即可。第3章等参数单元3.1证明平面三角形常应变单元为等参数单元。证明：等参数单元：单元的几何形状和单元内的参变量函数可采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换。平面三角形常应变单元的形函数既可用来进行单元内位移插值，也可用来表示单元内任意一点的坐标。其位移模式为：iijjmmiijjmmuuLuLuLvvLvLvL其坐标变换式为：iijjmmiijjmmxxLxLxLyyLyLyL因而平面三角形常应变单元为等参数单元。3.2试证明三角形常应变单元mmjjiiNxNxNxxmmjjiiNyNyNyy证明：对于3节点三角形单元，选用的位移模式是把单元中任一点的位移u、v表示为坐标x和y的线性函数，即123456uxyvxy其中：123456,,,,,为待定常数。设各节点坐标为,,,,,iijjmmxyxyxy，各节点位移为,,,,,iijjmmuvuvuv，从而有123456iiiiiiuxyvxy，123456jjjjjjuxyvxy，123456mmmmmmuxyvxy于是有112iiijjjmmmuxyuxyuxy，211121iijjmmxyxyxy，311121iijjmmxyxyxy其中为三角形面积。将i，j，m按照逆时针编号，经过整理可得：12iiiijjjjmmmmuabxcyuabxcyuabxcyu同理可得：12iiiijjjjmmmmvabxcyvabxcyvabxcyv令12iiiiNabxcy，则可得三角形常应变单元的位移模式为iijjmmiijjmmxxNxNxNyyNyNyN3.3证明：平面四节点等参数单元为完备的协调单元。证明：对于平面四节点等参数单元，建立了局部坐标系或者映射后，可以在平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。同时，任意四边形单元在母单元中的位移模式就是矩阵单元的位移模式，写为：1122334411223344uuNuNuNuNvvNvNvNvN，111,1,2,3,44iiiNi相邻平面四节点等参数单元之间的交界线只与交界线上的结点坐标有关，而且交界线上的位移只与该线上的结点位移相关，而与其他结点位移无关，因此，交界线上的位移由该线上的结点位移所唯一确定。所以，平面四节点等参数单元为完备的协调单元。3.4证明：等参数单元的形函数满足1miiN，m为单元的结点数。证：形函数是定义在单元内部的、满足一定条件的、坐标的连续函数。形函数不仅可以用于单元位移函数的插值，还可以用于单元形状的变换。形函数应该满足的条件为：(1)在节点i处，1iN，在其它节点处，0iN；(2)能保证用它定义的未知量在相邻单元之间的连续性。(3)该包含任意线性项，以保证用它定义的单元位移可满足常应变条件。从而应满足等式：1miiN，以保证用它定义的单元位移能够反映刚体位移。3.5证明：平面八节点等参数单元为完备的协调单元。证明：对于平面八节点等参数单元，建立了局部坐标系或者映射后，可以在平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。平面八节点等参数单元的位移模式下在坐标系下式双线性位移模式，在xy坐标系下不是双线性位移模式。由于实际单元的边界上有一个局部坐标系为常数，因此单元位移沿着单元边界线性变化，从而保证了单元的协调性。所以，平面八节点等参数单元为完备的协调单元。3.6二维四结点等参数单元，在X，Y坐标中单元各边与坐标轴X，Y平行，边长为a,b，试确定下列载荷情况下的结点载荷。（1）在x正方向有一分布载荷作用在1的边上，载荷在1为零，在1为0q，呈线性变化；（2）在1的边上作用有均布载荷0q，方向压向单元；（3）在y正方向上作用均匀的体积力0b。答：（1）由题中条件可知则可得1200000033TeRQ，其中012Qqbt。（2）均布荷载作用下1100000022TeRQ，其中012Qqbt。（3）体积力b0作用下0111100004444TeRb。3.7二维八结点等参数单元，在X，Y坐标中单元各边与坐标轴X，Y平行，边长为a,b，试确定下列载荷情况下的结点载荷。（1）在x正方向有一分布载荷作用在1的边上，载荷在1为零，在1为0q，呈线性变化；（2）在1的边上作用有均布载荷0q，方向压向单元；（3）在y正方向上作用均匀的体积力0b。解：(1)由题中条件可得则可得115000000000000024424TeRQ，其中0Qqbt。（2）均布荷载作用下，其中0Qqbt1110000000000000333TeRQ（3）体积力b0作用下：0111111110000000088888888TeRb3.8试述数值积分的高斯点数的选取原则。矩形单元、平面任意四结点单元、平面八结点单元、空间八结点单元、空间20结点单元应怎样取积分点才能保证精度。答：对于平面问题，计算量约正比于n2。对于空间问题，计算量约正比于n3。对于一维高斯积分，如取n个积分点，对于任一不高于2n-1次的多项式，都可得到准确的结果。以单元刚度矩阵积分为例，如果被积函数中的最高阶次为m，则方向的积分点为12nm。则可得矩形单元选择22的积分阶次，任意四结点单元也选择22的积分阶次，八结点采用33，能够保证精度。对于空间八结点和20结点单元常采用333高斯积分，但近年来研究表明，对上述两种分别采用22和222高斯降阶积分，可以显著改进单元的特性，又可节省计算量。3.9试根据形函数的性质和特点构造平面任意四结点等参数单元和平面八结点曲边四边形等参数单元的形函数。解：对于平面任意四结点等参数单元，它的位移和坐标都采用相同的形函数表示4141,,iiiiiiuuNvvN，4141,,iiiiiixxNyyN其中：1,2,3,4iiuvi和是整体坐标系xy下节点的位移分量；1,2,3,4iixyi和是节点的整体坐标系；,iN是由参考坐标,表示的形函数，可以表示为111,1,2,3,44iiiNi对于平面八结点曲边四边形等参数单元，它的位移和坐标都采用相同的形函数表示8181,,iiiiiiuuNvvN，8181,,iiiiiixxNyyN其形函数为：2526272811/211/211/211/2NNNN，158256367478111142111142111142111142NNNNNNNNNNNN第4章动力学问题的有限元法4.1什么是协调质量阵（一致质量阵）？什么是团聚质量阵（集中质量阵）？他们在形式上和实际上的相同点和不同点是什么？答：（1）将结构离散以后，取出一个单元，将单元的位移形函数代入其单位体积的惯性力表达式中。而后再根据荷载转置的一般公式得到单元结点上的惯性力计算公式，进而得到单元质量矩阵。对于协调质量阵而言，单元的动能和位能是互相协调的，因此称为协调质量矩阵。其定义如下TmNNdV（2）集中质量矩阵的定义如下图将结构离散以后，限定单元的质量集中在它的结点上，质量的平移和转动可同样处理，这样得到的质量矩阵是对角线矩阵。其定义如下TmdV（3）异同点：计算经验表明，在单元数目相同的条件下，两种质量矩阵给出的计算精度是差不多的。集中质量矩阵不但本身容易计算，而且由于它是对角线矩阵，可使动力计算简化很多。在网格大小相同的条件下，两种质量矩阵给出的计算结果很接近，但用集中质量矩阵求解时，自由度数目远较协调质量矩阵的少。但当采用高次单元时，推导集中质量矩阵是困难的，另外，只要离散化时保持了单元之间的连续性，由协调质量矩阵算得得频率代表结构真实自振频率的上限。4.2什么是比例阻尼？它有什么特点？其本质反映了阻尼与什么有关？答：比例阻尼：由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。比例阻尼的特点为具有正交性。其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。4.3试述振型叠加法的基本思想和求解过程。答：振型叠加法又叫模态叠加法，是一种利用结构固有频率和振型来计算结构动力时程响应的方法。基本原理为：首先对完成结构的自振特性分析，得到结构的固有频率和振型；然后利用固有振型组成的模态矩阵对结构的微分动力方程解耦，将结构的动力学方程转化为各主坐标的非耦合方程；完成对各非耦合方程的求解，并进行叠加得到结构的动力响应。求解过程为：（1）建立广义坐标系下的运动微分方程，给出广义坐标系下初始条件：0x和0x()MxkxFt（2）计算固有频率和振型向量,(1,2,,)iiuin计算主质量矩阵：(1,2,,)TiiiMuMuin得正则振型向量：1(1,2,,)iiiuinM（3）初始条件变换：0000(1,2,,)(1,2,,)TiiTiizMxinzMxin（4）激励变换：()()(1,2,,)TiiPtFtin（5）计算正则坐标系下的响应正则坐标系下运动微分方程：2()(1,2,,)iniiizzPtin利用杜哈美积分写出正则坐标系下的响应：000()cossin1()sin()(1,2,,)iiinininitininizztzttPtdin（6）写出原广义坐标系下的响应1212nnxzzzz。4.4试述逐步积分法的基本思想。逐步积分法是对结构的运动微分方程直接进行逐步积分求解的一种动力分析方法。MCKF首先假设在任意时间步内结构动力响应均符合设定的数学关系，同时任一时刻结构的动力学方程均成立；于是建立由时刻t结构状态响量ttt,,到tt时刻状态响量tttttt,,的递推关系，从而从0t时刻的初始状态向量000,,出发，一步一步第求出各时刻的状态向量。根据在ttt之间位移、速度和加速度采用的不同假设，可以分为不同的计算方法，如线性加速度法、Newmark-β法等。4.5在用逆迭代法求前几阶振型时，为什么要采用Gram-Schmidt正交化过程？逆迭代法除求最小特征值和特征向量外，还可以扩大运用范围。与克莱姆-史密特（cram-schmidt）正交化过程相结合，可以用来求取最低的几阶特征对。从迭代公式看，似乎这种正交化过程可以一劳永逸，一旦初向量与前j-1阶特征向量正交，则所有的迭代向量都与前j-1阶特征向量正交。但实际上并非如此，由于计算机误差的原因，不可避免产生低阶特征向量，迭代到最后还是得到最低阶的特征向量。为了克服这一点，必须每迭代一次都进行正交化处理，不断把前j-1阶特征向量从迭代向量中清除掉。对于重特征值，用带正交化过程的迭代，可得出重特征值对应的一组正交特征向量。用逆迭代法求得第一特征对后，利用正交化过程的迭代法，可以依次求取各阶特征对。为保证计算精度，前面的特征向量必须计算精确些。逆迭代一般用来计算少数前几阶特征对。4.6已知，1111X，1112X，3111X，并有质量矩阵100010001M，用Gram-Schmidt方法对它们进行正交化处理以及正则化处理。解：1X、2X和3X两两线性无关，可令：11111X；22111X；33111X运用Gram-Schmidt方法进行正交化处理有11111；212211123,2,343；3132331211221,,1,,0再令,1iii1,2,3i，从而有1333333；2666663；3222204.7如有一结构，用解析法求系统的固有频率和振型。它的刚度矩阵和质量矩阵如下：220241012K，100030001M解：不考虑阻尼的影响，系统频率方程为：20MK，代入相关数据可得22221014320022从而有：2222222434220化简整理可得：22232130。解此式可得系统的固有频率为：1233233；；令系统的振型分别为：123、和。将系统固有频率123、和分别代入分别代入频率方程，则有111213510313205023；2122230101220020；3132331101520021令123333、和均为1，分别求解上面三个方程组可得系统的振型为115126T=；2201T=；311122T=4.8图示变截面杆，材料弹性模量50E，材料密度1，求结构的一致质量矩阵和集中质量矩阵。解：一致质量矩阵：杆单元的形函数为：1xxNll=，将形函数代入计算公式的11211111111111120011111111113611163llTuuulllmANNduAduAluuulll22222222222222220022222211113611163llTuuulllmANNduAduAluuulll从而可得变截面杆的一致质量矩阵为1111111122222222423322122263321233AlAlMAlAlAlAlAlAl集中质量矩阵：111102102mAl222102102mAl从而可得变截面杆的一致质量矩阵为11112222102211003221102AlMAlAlAl4.9图示变截面杆，材料弹性模量50E，材料密度1，分别用结构的一致质量矩阵和集中质量矩阵，求均质结构的固有频率和振型。解：易得变截面杆的刚度矩阵K为：1111112211222222EAEAllEAEAEAEAKllllEAEAll由于左边界位移为零，从而得到的频率方程为：2UKM，22322333ˆUUUUU，ˆdet0U一致质量矩阵：将一致质量矩阵代入频率方程：ˆdet0U。求解频率方程可得变截面杆的频率为：1=3.5070,29.1106。振型为13013T，23013T。集中质量矩阵将集中质量矩阵代入频率方程：ˆdet0U。求解频率方程可得变截面杆的频率为：13.2506,26.2796。振型为13013T，23013T。