2019-2020年最新甘肃省武威市中考仿真模拟数学三诊试卷及答案解析

甘肃省武威市中考数学三诊试卷　一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内．1．﹣6的倒数是（　　）A．﹣6B．6C．D．　2．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（　　）A．B．C．D．　3．随着2011年“毒馒头、毒豆芽”等事件的曝光，人们越来越关注健康的话题．关于甲醛污染问题也一直困扰人们．我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下，将0.000075用科学记数法表示为（　　）A．0.75×10﹣4B．7.5×10﹣4C．7.5×10﹣5D．75×10﹣6　4．下列运算正确的是（　　）A．a2•a3=a6B．a6÷a2=a3C．a2+a3=a5D．（a3）2=a6　5．观察图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（　　）A．旋转B．轴对称C．位似D．平移　6．某校合唱团共有40名学生，他们的年龄如下表所示： 年龄/岁 11 12 13 14 人数/人 8 12 17 3则合唱团成员年龄的众数和中位数分别是（　　）A．13，12.5B．13，12C．12，13D．12，12.5　7．已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1=0，二次函数y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，则方程的另一根为（　　）A．x2=0B．x2=1C．x2=﹣2D．x2=2　8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）A．2B．4C．4D．8　9．下列说法错误的有（　　）个（1）的算术平方根是4（2）方程﹣x2+5x﹣1=0的两根之和是﹣5（3）任意八边形的内角和等于1080°（4）当两圆只有一个公共点时，两圆外切．A．4B．3C．2D．1　10．如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，过AB的中点E有一动弦CD（点C只在上运动，且不与A、B重合），设EC=x，ED=y，下列能够表示y与x之间函数关系的图象是（　　）A．B．C．D．　　二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案写在题中的横线上．11．分解因式：ax2﹣2ax+a=　　　　　　．　12．已知：AB∥CD，EF∥CD，且∠ABC=20°，∠CFE=30°，则∠BCF的度数是　　　　　　．　13．在函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　　．　14．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意可列方程　　　　　　．　15．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为　　　　　　m．　16．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是　　　　　　．　17．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=　　　　　　．　18．在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点An的纵坐标是　　　　　　．　　三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．计算：．　20．先化简，再求值：÷（1+），其中a=﹣3．　21．如图，已知等边△ABC．（1）请用圆规和直尺作△ABC的内切圆（要求保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）若等边△ABC边长为2，求△ABC的内切圆的半径．　22．如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）　23．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．　　四、解答题（二）本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是　　　　　　；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是　　　　　　；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．　25．为迎接建党90周年，我市某中学拟组织学生开展唱红歌比赛活动．为此，校团委对初四一班会唱红歌的学生进行了统计（甲：会唱1首，乙：会唱2首，丙：会唱3首，丁：会唱4首以上），并绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）在条形统计图中，将会唱4首以上的部分补充完整；（2）求该班会唱1首的学生人数占全班人数的百分比；（3）在扇形统计图中，计算出会唱3首的部分所对应的圆心角的度数；（4）若该校初四共有350人，请你估计会唱3首红歌的学生约有多少人？　26．已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，求△FCB1和△B1DG的周长之比．　27．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．　28．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．　　甘肃省武威市中考数学三诊试卷参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内．1．﹣6的倒数是（　　）A．﹣6B．6C．D．【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义，a的倒数是（a≠0），据此即可求解．【解答】解：﹣6的倒数是：﹣．故选C．【点评】本题考查了倒数的定义，理解定义是关键．　2．如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（　　）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形．【解答】解：从几何体的上面看俯视图是，故选：D．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．　3．随着2011年“毒馒头、毒豆芽”等事件的曝光，人们越来越关注健康的话题．关于甲醛污染问题也一直困扰人们．我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下，将0.000075用科学记数法表示为（　　）A．0.75×10﹣4B．7.5×10﹣4C．7.5×10﹣5D．75×10﹣6【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000075=7.5×10﹣5．故选：C．【点评】此题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．　4．下列运算正确的是（　　）A．a2•a3=a6B．a6÷a2=a3C．a2+a3=a5D．（a3）2=a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】利用幂的运算性质及合并同类项的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、a2•a3=a5，故错误；B、a6÷a2=a4，故错误；C、不是同类项，故不能合并，故错误；D、（a3）2=a6，故正确，故选D．【点评】本题考查了幂的运算性质及合并同类项的知识，解题的关键是能够熟练掌握幂的有关运算性质．　5．观察图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（　　）A．旋转B．轴对称C．位似D．平移【考点】几何变换的类型．【分析】根据平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是一个图形沿一条直线对着直线两旁的部分能完全重合，位似是相似图形的每组对应点所在的直线都经过同一个点，可得答案．【解答】解：A、大小相同的图形是旋转得到的，故A正确；B、一个图形沿一条直线对着直线两旁的部分能完全重合，故B正确；C、位置相同、形状相同的图案、大小不同的图形是位似得到的，故C正确；D、图形没有平移，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是一个图形沿一条直线对着直线两旁的部分能完全重合，位似是相似图形的每组对应点所在的直线都经过同一个点，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．　6．某校合唱团共有40名学生，他们的年龄如下表所示： 年龄/岁 11 12 13 14 人数/人 8 12 17 3则合唱团成员年龄的众数和中位数分别是（　　）A．13，12.5B．13，12C．12，13D．12，12.5【考点】众数；中位数．【专题】计算题．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数据．【解答】解：根据众数的定义在这组数据中13出现次数最多，则众数为13，则中位数是（12+13）÷2=12.5，∴合唱团成员年龄的众数和中位数分别为13，12.5．故选A．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．　7．已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1=0，二次函数y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，则方程的另一根为（　　）A．x2=0B．x2=1C．x2=﹣2D．x2=2【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根即为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是x1=0，∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是（0，0），∵对称轴是x=1．设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则=1，解得，x=2，即该抛物线与x轴的另一个交点是（2，0）．所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的另一个根为x=2．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）间的转换．　8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）A．2B．4C．4D．8【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．　9．下列说法错误的有（　　）个（1）的算术平方根是4（2）方程﹣x2+5x﹣1=0的两根之和是﹣5（3）任意八边形的内角和等于1080°（4）当两圆只有一个公共点时，两圆外切．A．4B．3C．2D．1【考点】命题与定理．【分析】分别利用算术平方根以及根与系数的关系、多边形内角和定理以及相切两圆的性质分别分析求出即可．【解答】解：（1）∵=4，则的算术平方根是2，故此选项错误；（2）方程﹣x2+5x﹣1=0，△=b2﹣4ac=25﹣4=21＞0，则两根之和是：﹣=5，故此选项错误；（3）任意八边形的内角和等于：（8﹣2）×180=1080°，正确；（4）当两圆只有一个公共点时，两圆外切或内切，故此选项错误，则错误的有3个．故选：B．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确根据相切两圆的性质以及根与系数的关系分析得出是解题关键．　10．如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，过AB的中点E有一动弦CD（点C只在上运动，且不与A、B重合），设EC=x，ED=y，下列能够表示y与x之间函数关系的图象是（　　）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象；相交弦定理．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．【解答】解：根据相交弦定理可知：xy=16，即y=．故选C．【点评】本题主要考查相交弦定理，要注意掌握．　二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案写在题中的横线上．11．分解因式：ax2﹣2ax+a=　a（x﹣1）2　．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式．【解答】解：ax2﹣2ax+a，=a（x2﹣2x+1），=a（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．　12．已知：AB∥CD，EF∥CD，且∠ABC=20°，∠CFE=30°，则∠BCF的度数是　50°　．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD得∠BCD=∠ABC=20°，由EF∥CD得∠DCF=∠CFE=30°，然后利用∠BCF=∠BCD+∠DCF进行计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=20°，∵EF∥CD，∴∠DCF=∠CFE=30°，∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=50°．故答案为50°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．　13．在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥﹣1且x≠0　．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，解得：x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．　14．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意可列方程　﹣=5　．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设原计划每天固沙造林x公顷，实际每天固沙造林的面积（x+4）公顷，根据关键描述语是：“提前5天完成任务”可得等量关系为：原计划用的时间﹣实际用的时间=5，再由等量关系列出方程即可．【解答】解：设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意得：﹣=5．故答案为：﹣=5．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．　15．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为　15　m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．　16．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是　2　．【考点】圆锥的计算．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．　17．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=　3或﹣3　．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】压轴题；新定义．【分析】首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．　18．在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点An的纵坐标是　（）n﹣1　．【考点】一次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；规律型．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律．【解答】解：∵A1（1，1），A2（，）在直线y=kx+b上，∴，解得，∴直线解析式为y=x+，如图，设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，当x=0时，y=，当y=0时，x+=0，解得x=﹣4，∴点M、N的坐标分别为M（0，），N（﹣4，0），∴tan∠MNO===，作A1C1⊥x轴于点C1，A2C2⊥x轴于点C2，A3C3⊥x轴于点C3，∵A1（1，1），A2（，），∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2×=2+3=5，tan∠MNO===，∵△B2A3B3是等腰直角三角形，∴A3C3=B2C3，∴A3C3==（）2，同理可求，第四个等腰直角三角形A4C4==（）3，依此类推，点An的纵坐标是（）n﹣1．故答案为：（）n﹣1．【点评】本题是对一次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形斜边上的高线就是斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及正切的定义，规律性较强，注意指数与点的脚码相差1．　三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．计算：．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】分别进行负整数指数幂、二次根式的化简及绝对值的运算，代入特殊角的三角函数值合并即可．【解答】解：原式===．【点评】本题考查了实数的运算，涉及了绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题．　20．先化简，再求值：÷（1+），其中a=﹣3．【考点】分式的化简求值．【分析】将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可．【解答】解：原式=•=a+2，当a=﹣3时，原式=﹣3+2=﹣1．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉通分和因式分解是解题的关键．　21．如图，已知等边△ABC．（1）请用圆规和直尺作△ABC的内切圆（要求保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）若等边△ABC边长为2，求△ABC的内切圆的半径．【考点】作图—复杂作图；三角形的内切圆与内心．【专题】作图题．【分析】（1）分别作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，其中∠ABC的平分线交AC于D，然后以O点为圆心，OD为半径作圆即可；（2）根据等边三角形的性质得BD⊥AC，AD=CD=AC=1而∠OCD=∠ACB=30°，则在Rt△OCD中可利用∠OCD的正切计算出OD，从而得到△ABC的内切圆的半径．【解答】解：（1）如图，⊙O为所求；（2）∵△ABC为等边三角形，而BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD=AC=1，∵OC平分∠ACB，∴∠OCD=∠ACB=30°，在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，∴OD=1×tan30°=，即△ABC的内切圆的半径为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的内切圆与内心．　22．如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△PCB中，利用正切函数求得出AC与BC的长，由AB=21×5，即可得方程，解此方程即可求得x的值，继而求得答案．【解答】解：根据题意得：PC⊥AB，设PC=x海里．在Rt△APC中，∵tan∠A=，∴AC=．…在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=．…∵AC+BC=AB=21×5，∴=21×5，解得x=60．∵sin∠B=，∴PB==60×=100（海里）．∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．…【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意结合实际问题，利用解直角三角形的相关知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．　23．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键．　四、解答题（二）本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是　　；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是　　；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】压轴题．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【解答】解：（1）A，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为=；（2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有3+2+1=6，故概率为=；（3）根据题意，画树状图：由树状图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44．其中恰好是4的倍数的共有4种：12，24，32，44．所以，P（4的倍数）=．或根据题意，画表格： 第一次第二次 1 2 3 4 1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 4 41 42 43 44由表格可知，共有16种等可能的结果，其中是4的倍数的有4种，所以，P（4的倍数）=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　25．为迎接建党90周年，我市某中学拟组织学生开展唱红歌比赛活动．为此，校团委对初四一班会唱红歌的学生进行了统计（甲：会唱1首，乙：会唱2首，丙：会唱3首，丁：会唱4首以上），并绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）在条形统计图中，将会唱4首以上的部分补充完整；（2）求该班会唱1首的学生人数占全班人数的百分比；（3）在扇形统计图中，计算出会唱3首的部分所对应的圆心角的度数；（4）若该校初四共有350人，请你估计会唱3首红歌的学生约有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】应用题．【分析】（1）根据乙18人占总体的30%，可以求出总人数，结合条形统计图进一步求得丁的人数，再把条形统计图补充完整即可；（2）根据（1）中得出的总人数，以及甲的人数即可得出会唱1首的学生人数占全班人数的百分比；（3）先得出丙占的百分比，所对应的圆心角的度数为百分比×360°；（4）根据丙占得百分比乘以总人数即可得出答案．【解答】解：（1）由18÷30%=60可知，全班共有60人，则会唱4首以上共有60﹣6﹣18﹣24=12人．补全条形统计图如图：（2）；（3）会唱3首的部分所对应的圆心角的度数为；（4）会唱3首红歌的学生约有人．【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比，难度适中．　26．已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，求△FCB1和△B1DG的周长之比．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据ASA可以证明两个三角形全等；（2）设CF=x，则BF=3﹣x，根据折叠的性质得B1F=BF=3﹣x，再进一步根据勾股定理求得x的值；根据相似三角形的判定可以证明△FCB1和△B1DG相似，再根据相似三角形的周长的比等于相似比进行求解．【解答】解：（1）全等．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，AB=A1D∴∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，∴∠A1DE=∠CDF，∴△EDA1≌△FDC（ASA）；（2）∵∠DGB1+∠DB1G=90°，∠DB1G+∠CB1F=90°，∴∠DGB1=∠CB1F，∵∠D=∠C=90°，∴△FCB1∽△B1DG．设FC=x，则B1F=BF=3﹣x，B1C=DC=1，∴x2+12=（3﹣x）2，∴，∵△FCB1∽△B1DG，∴．【点评】此题综合运用了全等三角形的判定、相似三角形的判定及性质，综合性较强．　27．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．【考点】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°，∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，∴OA=OB=5．又∵OP=，∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA==，由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．∵∠BAC=∠P，∴△ABC∽△POA，∴=．∴=，解得AC=8．即AC的长度为8．【点评】本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键．　28．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等以及对角线互相平分，可以求出点D的坐标；（3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得．故抛物线的解析式为y=x2+2x；（2）①当AO为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，∴D在x轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）；②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，∵点E在对称轴上，对称轴为直线x=﹣1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即D3（﹣1，﹣1）故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），D3（﹣1，﹣1）；（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形．假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x）得：x1=，x2=﹣2（舍去）．当x=时，y=，即P（，）．②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（，）和（3，15）．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标．