高中数学二次函数知识点总结

高中数学安徽铜陵姚老师：138665007201二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbxaxy2（2）顶点式nmxay2)(（3）两根式))((21xxxxay1若2fxxbxc，且10f，30f，求1f的值．变式1：若二次函数2fxaxbxc的图像的顶点坐标为2,1，与y轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11abcB．3,12,11abcC．3,6,11abcD．3,12,11abc变式2：若223,[,]fxxbxxbc的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数2fxaxbxc的图像与x轴有两个不同的交点1,0Ax、2,0Bx且2212269xx，试问该二次函数的图像由231fxx的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24bacbaa；对称轴2bxa；（2）若a>0，且△=b2-4ac≤0，那么f(x)≥0，2bxa时，2min4()4acbfxa；（3）若a>0，且f(x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x0∈(-∞，+∞)，使得f(x0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数2361fxxx配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数2fxaxbxc，如果12fxfx(其中12xx)，则122xxf（）A．2baB．baC．cD．244acba变式2：函数2fxxpxq对任意的x均有11fxfx，那么0f、1f、1f的大小关系是（）A．110fffB．011fffC．101fffD．101fffxyO高中数学安徽铜陵姚老师：138665007202变式3：已知函数2fxaxbxc的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0a，x∈(－∞，－b2a]时递减，x∈[－b2a，＋∞)时递增当0a，x∈(－∞，－b2a]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数22fxxx，22[2,4]gxxxx：(1)求fx，gx的单调区间；(2)求fx，gx的最小值．变式1：已知函数242fxxax在区间,6内单调递减，则a的取值范围是()A．3aB．3aC．3aD．3a变式2：已知函数215fxxax在区间(12,1)上为增函数，那么2f的取值范围是_________．变式3：已知函数2fxxkx在[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设02acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：abnm2nabm2即nmab,2nmab2nfxfmfxfminmaxabfxfmfnfxf2,maxminmaxmfxfnfxfminmax对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若nmab,2，则nfabfmfxf,2,maxmaxnfabfmfxf,2,minmin高中数学安徽铜陵姚老师：138665007203（2）若nmab,2，则nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数22fxxx，22[2,4]gxxxx：(1)求fx，gx的单调区间；(2)求fx，gx的最小值．变式1：已知函数223fxxx在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A．1,B．0,2C．1,2D．,2变式2：若函数234yx的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于________．变式3：已知函数224422fxxaxaa在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．变式4：求二次函数2()26fxxx在下列定义域上的值域：(1)定义域为03xZx；(2)定义域为2,1．变式5：函数2()2622fxxxx的值域是A．3220,2B．20,4C．920,2D．920,2变式6：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．变式7：已知二次函数f(x)=ax2+bx（a、b为常数，且a≠0），满足条件f(1+x)=f(1－x)，且方程f(x)=x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m<n），使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，1fxxx．画出函数fx的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数22111fxmxmx是偶函数，则在区间,0上fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数2312fxaxbxabaxa是偶函数，则点,ab的坐标是________．变式3：设a为实数，函数1||)(2axxxf，Rx．(I)讨论)(xf的奇偶性；(II)求)(xf的最小值．高中数学安徽铜陵姚老师：138665007204六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16xxxfxxxxxx．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223yxx的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2Rxbaxxxf．给下列命题：①)(xf必是偶函数；②当)2()0(ff时，)(xf的图像必关于直线x=1对称；③若02ba，则)(xf在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(xf有最大值||2ba．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(cbxxxxf给出下列4个命题：①当c=0时，)(xfy是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(xf只有一个实根；③)(xfy的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(xf至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型3：min)()(xfIxxf恒成立对一切；max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切高中数学安徽铜陵姚老师：138665007205当,,abc具有什么关系时，二次函数2fxaxbxc的函数值恒大于零？恒小于零？变式1.若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。变式2：已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)．(I)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(II)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．变式3：已知函数2()3fxxaxa，若2,2x时，有()2fx恒成立，求a的取值范围．变式4：若f(x)=x2+bx+c，不论、为何实数，恒有f(sin)≥0，f(2+cos)≤0．(I)求证：b+c=－1；(II)求证：c≥3；(III)若函数f(sin)的最大值为8，求b、c的值．八．根与系数关系一元二次方程02cbxax，用配方法将其变形为：22244)2(aacbabx；acb42来判断二次方程有几个解；abxx21，acxx21.；（韦达定理）。例8：若12,xx是方程2220090xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．变式1：二次函数baxy2与一次函数)(babaxy在同一个直角坐标系的图像为（）变式2：直线3mxy与抛物线xmxyCmmxxyC)12(:,45:222123,m23:323Cyxmxm中至少有一条相交，则m的取值范围是什么?变式3：对于函数f(x)，若存在x0(R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)=ax2+bx+1（a>0）有两个相异的不动点x1、x2．(I)若x1<1<x2，且f(x)的图象关于直线x=m对称，求证m>12；(II)若|x1|<2且|x1－x2|=2，求b的取值范围．D．C．xyOxyOOOxyxyA．B．221244,22bbacbbacxxaa高中数学安徽铜陵姚老师：138665007206二次函数答案1．解析式、待定系数法变式1：解：由题意可知22241411baacbac，解得31211abc，故选D．变式2：解：由题意可知212b，解得b=0，∴012c，解得c=2．变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为231fxxk，展开得2363fxxxk，∴121232,3kxxxx，∴2221212122629xxxxxx，即2326439k，解得43k．所以，该二次函数的图像是由231fxx的图像向上平移43单位得到的，它的解析式是24313fxx，即25363fxxx．2．图像特征变式1：解：根据题意可知1222xxba，∴122xxf244acba，故选D．变式2：解：∵11fxfx，∴抛物线2fxxpxq的对称轴是1x，∴12p即2p，∴22fxxxq，∴0fq、13fq、11fq，故有101fff，选C．变式3：解：观察函数图像可得：a>0(开口方向)；②c=1(和y轴的交点)；③4210ab(和x轴的交点)；④10ab(10f)；⑤240ba(判别式)；⑥122ba(对称轴)．3．单调性变式1：解：函数242fxxax图像是开口向上的抛物线，其对称轴是2xa，由已知函数在区间,6内单调递减可知区间,6应在直线2xa的左侧，∴26a，解得3a，故选D．变式2：解：函数215fxxax在区间(12,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴12ax或与直线12x重合或位于直线12x的左侧，即应有1122a，解得2a，∴241257fa，即27f．高中数学安徽铜陵姚老师：138665007207变式3：解：函数2fxxkx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是2kx，∵已知函数在[2,4]上是单调函数，∴区间[2,4]应在直线2kx的左侧或右侧，即有22k或42k，解得4k或8k．4．最值变式1：解：作出函数223fxxx的图像，开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，∴m的取值范围是12m，故选C．变式2：解：函数有意义，应有240x，解得22x，∴2044x(2042x(20346x，∴M=6，m=0，故M+m=6．变式3：解：函数fx的表达式可化为24222afxxa．①当022a，即04a时，fx有最小值22a，依题意应有223a，解得12a，这个值与04a相矛盾．②当02a，即0a时，2022faa是最小值，依题意应有2223aa，解得12a，又∵0a，∴12a为所求．③当22a，即4a时，2216822faaa是最小值，依题意应有2168223aaa，解得510a，又∵4a，∴510a为所求．综上所述，12a或510a．变式4：解：作出函数2()2622fxxxx的图象，容易发现在32,2上是增函数，在3,22上是减函数，求出(2)20f，(2)4f，39()22f，注意到函数定义不包含2x，所以函数值域是920,2．变式6：解：∵y=cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t=sinx([－1,1]，则y=－2t2+t+1，其中t([－1,1]，∴y([－2,98]，即原函数的值域是[－2,98]．变式7：解：(I)∵f(1+x)=f(1－x)，∴－b2a=1，又方程f(x)=x有等根(ax2+(b－1)x=0有等根，∴△=(b－1)2=0(b=1(a=－12，∴f(x)=－12x2+x．(II)∵f(x)为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，1(当m≥1时，f(x)在[m,n]上是减函数，∴3m=f(x)min=f(n)=－12n2+n(*)，高中数学安徽铜陵姚老师：1386650072083n=f(x)max=f(m)=－12m2+m，两式相减得：3(m－n)=－12(n2－m2)+(n－m)，∵1≤m<n，上式除以m－n得：m+n=8，代入(*)化简得：n2－8n+48=0无实数解．2(当n≤1时，f(x)在[m,n]上是增函数，∴3m=f(x)min=f(m)=－12m2+m，3n=f(x)max=f(n)=－12n2+n，∴m=－4，n=0．3(当m≤1≤n时，对称轴x=1([m,n]，∴3n=f(x)max=f(1)=12(n=16与n≥1矛盾．综合上述知，存在m=－4、n=0满足条件．5．奇偶性变式1：解：函数22111fxmxmx是偶函数(210m(1m，当1m时，1fx是常数；当1m时，221fxx，在区间,0上fx是增函数，故选D．变式2：解：根据题意可知应有120aa且0b，即13a且0b，∴点,ab的坐标是1,03．变式3：解：（I）当0a时，函数)(1||)()(2xfxxxf，此时，)(xf为偶函数；当0a时，1)(2aaf，1||2)(2aaaf，)()(afaf，)()(afaf，此时)(xf既不是奇函数，也不是偶函数．（II）（i）当ax时，43)21(1)(22axaxxxf，若21a，则函数)(xf在],(a上单调递减，从而函数)(xf在],(a上的最小值为1)(2aaf．若21a，则函数)(xf在],(a上的最小值为af43)21(，且)()21(aff．（ii）当ax时，函数43)21(1)(22axaxxxf，若21a，则函数)(xf在],(a上的最小值为af43)21(，且)()21(aff，若21a，则函数)(xf在),[a上单调递增，从而函数)(xf在),[a上的最小值为1)(2aaf．综上，当21a时，函数)(xf的最小值为a43；当2121a时，函数)(xf的最小值为12a；当21a时，函数)(xf的最小值为a43．6．图像变换变式1：解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．当0x时，222314yxxx，高中数学安徽铜陵姚老师：138665007209当0x时，222314yxxx．作出函数图像，由图像可得单调区间．在,1和0,1上，函数是增函数；在1,0和1,上，函数是减函数．变式2：解：若1,1,ab则22()|21|21fxxxxx，显然不是偶函数，所以①是不正确的；若1,4,ab则2()|24|fxxx，满足)2()0(ff，但)(xf的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；若02ba，则22()|2|2fxxaxbxaxb，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是xa，∴)(xf在区间[a，＋∞)上是增函数，即③是正确的；显然函数2()|2|fxxaxbxR没有最大值，所以④是不正确的．变式3：解：22,0()||,0xbxcxfxxxbxcxbxcx，(1)当c=0时，()fxxxbx，满足()fxfx，是奇函数，所以①是正确的；(2)当b=0，c>0时，22,0(),0xcxfxxxcxcx，方程0)(xf即200xcx或200xcx，显然方程200xcx无解；方程200xcx的唯一解是xc，所以②是正确的；(3)设00,xy是函数()||fxxxbxc图像上的任一点，应有0000||yxxbxc，而该点关于（0，c）对称的点是00,2xcy，代入检验00002||cyxxbxc即0000||yxxbxc，也即0000||yxxbxc，所以00,2xcy也是函数()||fxxxbxc图像上的点，所以③是正确的；(4)若1,0bc，则()||fxxxx，显然方程||0xxx有三个根，所以④是不正确的．7．值域8．恒成立问题变式1：解：(I)函数f(x)的定义域为R，即不等式ax2+2x+1>0的解集为R，∴应有{a>0△=4－4a<0(a>1，∴实数a的取值范围是(1,+()．(II)函数f(x)的值域为R，即ax2+2x+1能够取(0,+()的所有值．高中数学安徽铜陵姚老师：13866500720101(当a=0时，ax2+2x+1=2x+1满足 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ；2(当a≠0时，应有{a>0△=4－4a≥0(0<a≤1．∴实数a的取值范围是[0,1]．变式2：解法一：(转化为最值)()2fx在2,2上恒成立，即2()10fxxaxa在2,2上恒成立．⑴2410aa，222222a；⑵24(1)0(2)0(2)02222aaffaa或，5222a．综上所述2225a．解法二：（运用根的分布）⑴当22a，即4a时，应有()(2)732gafa，即53a，a不存在；⑵当222a，即44a时，应有2()()3224aagafa，即222222a－，2224a；⑶当22a，即4a时，应有()(2)72gafa，即5a，54a综上所述2225a．变式3：证明：(I)依题意，f(sin错误!)=f(1)≥0，f(2+cos()=f(1)≤0，∴f(1)=0(1+b+c=0(b+c=－1，(II)由(I)得：f(x)=x2－(c+1)x+c(*)∵f(2+cos()≤0((2+cos()2－(c+1)(2+cos()+c≤0((1+cos()[c－(2+cos()]≥0，对任意(成立．∵1+cos(≥0(c≥2+cos(，∴c≥(2+cos()max=3．(III)由(*)得：f(sin()=sin2(－(c+1)sin(+c，设t=sin(，则g(t)=f(sin()=t2－(c+1)t+c，－1≤t≤1，这是一开口向上的抛物线，对称轴为t=c+12，由(II)知：t≥3+12=2，∴g(t)在[－1,1]上为减函数．∴g(t)max=g(－1)=1+(c+1)+c=2c+2=8，∴c=3∴b=－c－1=－4．高中数学安徽铜陵姚老师：13866500720119．根与系数关系变式1：解：二次函数baxy2与一次函数图象baxy交于两点),(bo、),1(ba，由二次函数图象知ba,同号，而由CB,中一次函数图象知ba,异号，互相矛盾，故舍去CB,．又由ba知，当0ba时，1ab，此时与A中图形不符，当0ab时，1ba，与D中图形相符．变式2：解：原命题可变为：求方程mmxxmx4532，3)12(322mxmxmx，32332mmxxmx中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m的值，即得所求．解不等式组,0)2(44,04)1(,0)34(4)4(2222mmmmmm得123m，故符合条件的m取值范围是23m或1m．变式3：解：(I)由f(x)表达式得m=－b2a∵g(x)=f(x)－x=ax2+(b－1)x+1，a>0，由x1，x2是方程f(x)=x的两相异根，且x1<1<x2，∴g(1)<0(a+b<0(－ba>1(－b2a>12，即m>12．(II)△=(b－1)2－4a>0((b－1)2>4a，x1+x2=1－ba，x1x2=1a，∴|x1－x2|2=(x1+x2)2－4x1x2=(1－ba)2－4a=22，∴(b－1)2=4a+4a2(*)又|x1－x2|=2，∴x1、x2到g(x)对称轴x=1－b2a的距离都为1，要g(x)=0有一根属于(－2,2)，则g(x)对称轴x=1－b2a((－3,3)，∴－3<b－12a<3(a>16|b－1|，把代入(*)得：(b－1)2>23|b－1|+19(b－1)2，解得：b<14或b>74，∴b的取值范围是：(－(,14)∪(74,+()．