湘教版数学九年级下册全册教学
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（2021年春修订）二次函数湘教·九年级下册新课导入点击播放在跳水比赛中，运动员在空中划过一道优美的曲线，像这样的曲线与我们将要学习的二次函数的图象很相似.xmxm（100-2x）m矩形植物园的面积S=x(100-2x)，0
分析
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本问题中的数量关系是：木板余下面积=矩形面积-截去面积.解木板余下面积S与截去正方形边长x有如下函数关系：S=120×80-4×x2=-4x2+9600，0＜x≤40.【教材P3】写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数．（1）正方形的面积S关于它的边长x的函数；（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；（3）圆的面积S关于它的半径r的函数；（4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长度y关于另一条对角线的长度x的函数．练习S=x2,二次函数C=2πr,一次函数S=πr2,二次函数,反比例函数【教材P3】随堂练习1.药店决定对某药物价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为x,该药品的原价为36元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数表达式为（）A．y＝72(1－x)B．y＝36(1－2x)C．y＝36(1－x2)D．y＝36(1－x)2D选自《创优作业》2.如图,在一幅长50cm,宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画的总面积为ycm2,金色纸边的宽为xcm,则y与x之间的函数表达式是_______________________．y＝4x2＋160x＋1500 选自《创优作业》3.如图，一块矩形田地长100m，宽80m，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为x（m）的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围.y＝x2-180x＋8000，00△=0△<0求一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值（精确到0.1）．分析一元二次方程x2－2x－1＝0的根就是抛物线y＝x2－2x－1与x轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x轴的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．【教材P25页】求一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值（精确到0.1）．通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为－0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4．【教材P25页】求一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值（精确到0.1）．我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根.将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下：【教材P25页】如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？【教材P26页】（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？解（1）由抛物线的表达式得即x2-6x+5=0，解得x1=1，x2=5.即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（2）由抛物线的表达式得即x2-6x+9=0，解得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？（3）由抛物线的表达式得即x2-6x+14=0，因为Δ=（-6）2-4×1×14=-20<0,所以方程无实数根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.练习1.试判断下列抛物线与x轴的交点情况：（1）y＝x2－x－2；（2）y＝9x2＋12x＋4；（3）y＝x2－2x＋3．解：（1）x2－x－2=0，Δ=（-1）2-4×1×（-2）=9>0与x轴有两个不同的交点.（2）9x2+12x+4=0，Δ=（12）2-4×9×4=0与x轴有两个相同的交点.（3）x2-2x+3=0，Δ=（-2）2-4×1×3=-8<0与x轴没有交点.【教材P27页】2.用图象法求一元二次方程x2＋x－1＝0的根的近似值（精确到0.1）．y=x2＋x－1通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为－1.6或0.6，即一元二次方程x2+x-1=0的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6．【教材P27页】3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.如图，已知刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月份）之间的关系.试根据图象提供的信息，回答下列问题：（1）该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）该公司第8月末所获利润是多少？（1）亏损期数是4个月，4月末开始盈利.（2）10月末累积利润可达到30万元.（3）第8月末利润是16万元.【教材P27页】随堂练习选自《创优作业》二次函数y＝x2＋3x－4的图象与x轴交点的横坐标是（）A．1和－4B．－1和4C．1和4D．－1和－4A选自《创优作业》2.下表是一组二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值:那么方程ax2＋bx＋c＝0其中一个根的取值范围是（）A．1.0＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.4B选自《创优作业》3.根据表格中所给的对应值,判断方程ax2＋bx＋c＝2(a≠2,a,b,c为常数)的根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或2C课堂小结有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0谢谢大家湘教·九年级下册【选自教材P28】（1）△=122-4×4×5=56>0抛物线与x轴有两个交点（2）△=22-4×1×1=0抛物线与x轴有一个交点【选自教材P28】（3）△=(-3)2-4×1×1=5>0抛物线与x轴有两个交点（4）△=32-4×2×2=-7<0抛物线与x轴没有交点【选自教材P28】通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为－0.8或1.8，即一元二次方程2x2-2x-3=0的实数根为x1≈-0.8，x2≈1.8．【选自教材P28】2x2-2x+5=9x2-x-2=0(x-2)(x+1)=0x1=2，x2=-1．【选自教材P28】解△=(4t)2-4×5×(t2-1)=0t2=5【选自教材P28】解（1）当x=0时，有最大值y=3.5【选自教材P28】课堂小结1.说一说本节课的收获。2.你还存在哪些疑惑？谢谢大家二次函数的应用（1）湘教·九年级下册探究新知一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9m，水面宽是4m时，拱顶离水面2m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化，你能建立函数模型来解决这个问题吗？分析：（1）建立合适的直角坐标系；（2）将实际建筑数学化，数字化；（3）明确具体的数量关系；（4）分析所求问题，代入解析式求解.探究新知为简便起见，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系．由于顶点坐标是（0，0），因此这条抛物线的形式为y＝ax2.一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9m，水面宽是4m时，拱顶离水面2m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？探究新知一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9m，水面宽是4m时，拱顶离水面2m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？已知水面宽4m时，拱顶离水面高2m，因此点A（2，－2）在抛物线上．由此得出-2=a·22，解得探究新知一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9m，水面宽是4m时，拱顶离水面2m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？因此，这个函数的表达式是由于拱桥的跨度为4.9m，因此自变量x的取值范围是：探究新知一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9m，水面宽是4m时，拱顶离水面2m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？想一想，当水面宽4.6m时，拱顶离水面几米？B（2.3，-2.645）拱顶离水面2.645m建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.练习如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高150m，主塔之间的距离为900m，试建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.设二次函数表达式为y=ax2A（450,150）解得所以【教材P31页】随堂练习选自《创优作业》在一定条件下,若物体运动的路程s(m)关于时间t(s)的函数表达式为s＝5t2＋2t,则当物体经过的路程是88m时,该物体所用的时间为（）A．2sB．4sC．6sD．8sB选自《创优作业》2.某座桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的表达式为,当水位线在AB位置时,水面宽AB＝30m,这时水面离桥顶的高度是（）A．5mB．6mC．8mD．9mD选自《创优作业》3.小明练习推铅球时,发现铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为,由此可知铅球推出的距离是________m．104.如图，一段拱形栅栏为抛物线的一部分，已知拱高OA为1m，栅栏的跨径BC间有5根间距为0.5m的立柱.试建立适当的直角坐标系，求出该拱形栅栏所对应的二次函数表达式，并求出立柱DE的高度.设二次函数表达式为y=ax2,C（1.5,1）解得所以【教材P32页】建立二次实际问题的一般步骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.课堂小结谢谢大家二次函数的应用（2）湘教·九年级下册知识回顾总利润＝总售价－________或总利润＝每件商品利润×___________．总成本 销售总量 一般地,因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点,所以当x=________时,二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值____________.探究新知用8m长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的面积S随矩形一边长的变化而变化.因此设窗框的宽为xm，则窗框的高为m，其中探究新知用8m长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）点击播放探究新知用8m长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）窗框的透光面积为将上式进行配方，当x=时，S取最大值.探究新知用8m长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）这时高为某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】30+x180-10x某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】解设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元.每月减少的销售量为10x（件），实际销售量为180-10x（件），单件利润为（30+x-20）元，则y=(10+x)(180-10x)，即y=-10x2+80x+1800（0≤x≤18）.将上式进行配方，y＝-10(x-4)2+1960.当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960.练习小妍想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？解设一段彩带长为xcm，则另一段彩带长为72-xcm当x=36时，面积和有最小值为162.【教材P31页】答：当剪的彩带长度都为36cm时两个正方形面积和最小，最小为162cm2.随堂练习选自《创优作业》1.为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,若池底长方形的周长为100m,则池底的最大面积是（）A.600m2B.625m2C.650m2D.675m2B选自《创优作业》2.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558,由于某种原因,价格需满足15≤x≤22,那么一周可获得最大利润是（）A.20元B.1508元C.1550元D.1558元D选自《创优作业》3.果农计划对果园加大种植密度,据测算,果园的总产量y（个）与增种果树的棵数x（棵）之间的函数表达式为y＝－5x2＋100x＋60000,要使总产量在60320个以上,需要增种果树的棵数范围是（）A.4≤x≤16B.x≥6或x≤16C.4＜x＜16D.x＞6或x＜16C4.某工艺厂设计了一款成本为10元/件的产品，并投放市场进行试销.经过调查，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）存在一次函数关系y=-10x+700.（1）销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大？最大利润为多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过35元，那么销售单价如何定位才能获取最大利润？【教材P32页】解（1）每天获取的利润为(-10x+700)(x-10)=-10(x-40)2+9000,x＞0当x＝40时，最大利润为9000元（2）y=-10(x-40)2+9000,当00）的图象与性质沿x轴翻折y=-ax2（a>0）的图象与性质y=ax2（a>0）的图象与性质当h<0时，向左平移|h|个单位y=a（x-h）2（a>0）的图象与性质y=ax2（a>0）的图象与性质当h＞0时，向右平移h个单位y=a（x-h）2（a>0）的图象与性质当k＞0时，向上平移k个单位y=a（x-h）2（a>0）的图象与性质y=a（x-h）2+k（a>0）的图象与性质当k<0时，向下平移|k|个单位y=a（x-h）2（a>0）的图象与性质y=a（x-h）2+k（a>0）的图象与性质写成一般形式y=ax2+bx+c的图象与性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a，b，c的变化会引起图象发生哪些变化？点击播放练习1.如图，一张正方形纸板的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，设这4个直角三角形短直角边的长度为x，四边形ABCD的面积为y，求y关于x的函数表达式.y=2（x-2）2+8（04时,y>0;当x=1或x=4时，y=0；当10,有两个不同的交点；b2-4ac=0,有两个重合的交点；b2-4ac<0,没有交点；（1）有两个不同的交点；（2）有两个重合的交点；（3）没有交点；【教材P38页】【教材P38页】解A点坐标（0,2），代入表达式【教材P38页】（2）当x=9时，y=2.45>2.43,因此球能越过球网；【教材P39页】解（1）五边形的面积=矩形面积-三角形面积S=t2-6t+72，0
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）、求解过程中使用的方法、反思与发现以
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总结
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建立数学模型解决实际问题的策略与收获.课堂小结说一说本节课的收获。谢谢大家圆的对称性湘教·九年级下册新课导入探究新知在生活中，我们经常看到圆的形象.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.点击视频播放通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.这个定点叫作圆心，定长叫作半径.点击播放我们把到圆心的距离小于半径的点叫作圆内的点；到圆心的距离大于半径的点叫作圆外的点.你能说出同一平面内的点与圆有几种位置关系？怎样确定点与圆的位置关系？一般地，设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP=d，则有：（1）点P在圆内dr.OABCD连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径.线段AB，CD是⊙O的弦，弦AB经过圆心O，因此线段AB是⊙O的直径.直径是特殊的弦圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，弧用符号“”表示．⊙O上两点A，B间小于半圆的部分叫作劣弧，记作；⊙O上两点A，B间大于半圆的部分叫作优弧，记作.1.在一块硬纸板和一张薄的白纸上分别画一个圆，使它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合.2.用一根大头针穿过上述两个圆的圆心．让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度．观察旋转后白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合.这体现圆具有什么样的性质？点击播放能够重合的两个圆叫做等圆.注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等.一个圆上两个弧重合或两个等圆上两个弧重合称之为等弧。注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.②等弧只存在于同圆或等圆中.由于圆是由一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，因此圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合．特别地，将圆绕圆心旋转180°时能与自身重合，所以，在纸上任画一个⊙O，并剪下来.将⊙O沿任意一条直径（例如直径CD）对折，你发现了什么？点击播放圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.为什么通常要把车轮设计成圆形？请说说理由.古代车轮的演变1.下面的说法对吗？如不对，请说明理由.（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.练习√×不经过圆心的弦就不是直径√√【教材P46页】2.已知⊙O的半径为4cm，B为线段OA的中点，当线段OA满足下列条件时，分别指出点B与⊙O的位置关系：（1）OA＝6cm；（2）OA＝8cm；（3）OA=10cm.点B在圆内点B在圆上点B在圆外【教材P46页】随堂练习1.已知☉O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在☉O上,则OA的长（）A.等于6cmB.等于12cmC.小于6cmD.大于12cm选自《创优作业》B2.如图,在☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在同一条直线上,图中弦的条数为（）A.2B.3C.4D.5选自《创优作业》A3.下列说法中正确的是（）A.圆的任意一条直径都是它的对称轴B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴D.与半径垂直的直线是圆的对称轴选自《创优作业》B课堂小结圆的两种定义弦直径弧优弧劣弧等弧等圆湘教·九年级下册【教材P46】AB是直径；OA，OB，OC是半径；AB，DC是弦.【教材P46】对对错，过圆心的线段的两个端点不一定在圆上对错【教材P46】点C在圆上，D在圆内，E在圆外.【教材P46】课堂小结1.说一说本节课的收获。2.你还存在哪些疑惑？谢谢大家圆心角湘教·九年级下册探究新知观察图中的∠AOB，可以发现它的顶点在圆心，角的两边与圆相交，像这样的角叫作圆心角.我们把∠AOB叫作所对的圆心角，叫作圆心角∠AOB所对的弧．在生活中，我们常遇到圆心角，如飞镖靶中有圆心角，还有手表的时针与分针所成的角等也是圆心角．判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.【对应练习】已知在⊙O中，圆心角∠AOB＝∠COD．它们所对的弧与相等吗？它们所对的弦AB与CD相等吗？AB=CD在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．∠AOB＝∠CODAB=CD在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.如图，等边△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，求圆心角∠AOB的度数.解∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC.∴∠AOB=∠BOC=∠COA.又∵∠AOB+∠BOC+∠COA=360°，∴∠AOB=（∠AOB+∠BOC+∠COA）=×360°=120°.【教材P48页】1.在⊙O中，已知∠AOB=40°，，求∠COD的度数.练习解∵∴∠COD=∠AOB=40°【教材P48页】2.如图，在⊙O中，AB是直径，∠AOE=60°，点C，D是的三等分点，求∠COE的度数.解∵∠AOE=60°，∴∠BOE=120°又∵点C，D是的三等分点∴∠BOC=∠COD=∠DOE=40°∴∠COE=80°【教材P48页】随堂练习如图,在☉O中,,∠A＝30°,则∠B的度数为（）A.150°B.75°C.60°D.15°选自《创优作业》B2.如图,在☉O中,若C是的中点,∠OAB＝50°,则∠BOC的度数为（）A.40°B.45°C.50°D.60°选自《创优作业》A3.如图,AB是☉O的直径,BC,CD,DA是☉O的弦,且BC＝CD＝DA,则∠BCD的度数为（）A.100°B.110°C.120°D.135°选自《创优作业》C课堂小结在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．∠AOB＝∠CODAB=CD在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.∠AOB＝∠CODAB=CD课堂小结∠AOB＝∠CODAB=CDAB=CD∠AOB＝∠COD谢谢大家圆周角（1）湘教·九年级下册新课导入如图，把圆心角∠BOC的顶点O拉到圆上，得到∠BAC.问题1：∠BAC有什么特点？它与∠BOC有何异同？问题2：你能仿照圆心角的定义给∠BAC取一个名字并下定义吗？探究新知顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．我们把∠BAC叫作所对的圆周角，叫作圆周角∠BAC所对的弧．圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从共青团团旗上的图案抽象出的图形，该图形中就有许多圆周角．分别测量图中所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？在圆上任取，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，圆心与圆周角有几种位置关系？圆周角的一边通过圆心圆心在圆周角的内部圆心在圆周角的外部如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？对于第（1）种情况，圆心O在BAC的一边AB上．∵OA＝OC，∴∠C＝∠BAC，∴∠BOC＝∠C＋∠BAC＝2∠BAC，即∠BAC＝∠BOC．如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？对于第（2）种情况，圆心O在∠BAC的内部．作直径AD，根据第（1）种情况的结果得∠BAD＝∠BOD，∠DAC＝∠DOC．∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BOD+∠DOC＝∠BOC.如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？对于第（3）种情况，圆心O在∠BAC的外部．请同学们自己完成证明.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.圆周角定理：∠C1，∠C2，∠C3都是所对的圆周角，那么∠C1=∠C2=∠C3吗？∠C1，∠C2，∠C3所对弧上的圆心角均为∠AOB.由圆周角定理，可知∠C1=∠C2=∠C3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC的度数.解∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB所对的弧为，∴∠ACB＝∠AOB=25°.同理∠BAC＝∠BOC=35°.【教材P52页】1.下图中各角是不是圆周角？请说明理由.练习×√√×【教材P52页】2.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，若∠CAB=25°，∠ABD=95°，试求∠CDB和∠ACD的度数.解圆周角∠ACD和圆周角∠ABD所对的弧为∠ACD=∠ABD=95°圆周角∠CAB和圆周角∠CDB所对的弧为∠CDB=∠CAB=25°【教材P52页】3.如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB．若∠OBA=25°，求∠BOC的度数.解∵AC∥OB，∴∠BAC=∠OBA=25°.∵圆形角∠BOC与圆周角∠BAC所对的弧为，∴∠BOC=2∠BAC=50°【教材P52页】随堂练习1.下列结论中,正确的个数有（）①在同圆或等圆中,同弦所对的弧相等;②相等的圆周角所对的弧相等;③圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半;④半圆所对的弦是直径．A.1个B.2个C.3个D.4个选自《创优作业》B2.如图,A,B,C三点在☉O上,连接AO．若∠B＝40°,则∠OAC＝________°．选自《创优作业》503.如图,BD是☉O的直径,圆周角∠A＝30°,BC＝3,∠DBC＝60°,则BD＝______．选自《创优作业》6在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等;课堂小结谢谢大家圆周角（2）湘教·九年级下册复习回顾圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.圆周角定理内容是什么？AB是⊙O的直径，那么∠C1，∠C2，∠C3的度数分别是多少呢？因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3所对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数.AB是⊙O的直径，那么∠C1，∠C2，∠C3的度数分别是多少呢？因为A，O，B在一条直线上，所以圆心角∠AOB是一个平角，即∠AOB=180°.故∠C1＝∠C2＝∠C3＝×180°=90°.若已知∠C1=90°，它所对的弦AB是直径吗？如图，BC是⊙O的直径，∠ABC=60°，点D在⊙O上，求∠ADB的度数.解∵BC为直径，∴∠BAC=90°.又∠ABC=60°，∴∠C=30°.又∵∠ADB与∠C都是所对的圆周角，∴∠ADB=∠C=30°.【教材P54页】如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD，我们把四边形ABCD称为圆内接四边形.这个圆叫作这个四边形的外接圆.在四边形ABCD中，两组对角∠A与∠C，∠B与∠D有什么关系？连接OB，OD，∵∠A所对的弧为，∠C所对的弧为，又与所对的圆心角之和是周角，∴∠A+∠C==18
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