PAGE\*MERGEFORMAT#一、选择题积分变换练习题第一章Fourier变换系专业§1Fourier积分.班级§2姓名Fourier变换1•设f(t)=8(t-10)，则F[f(t)]=学号[]A)1(B)2兀e^oD)=e-叫t=t丿0F[f(t)]=J5(t—t)e-iwtdt=e-⑹0—g、填空题1.设a>0,Ieat,f(t)彳Ie—at,则函数f(t)的Fourier积分表达式为dtF㈣=F[f(t)]=ff(t)e—irotdt=fe—ate—i^tdt+feate-i®tdt—g—g=limfe—(a+i®)tdt+limfe(a—i®)tdtR-gR-g0—RRe(a—i®)t+limR—ga—i®0—Re—(a+i®)t=limR*—(a+i®)2a+=;a+i®a—i®a221g1g2aF-1[F(®)]=JF(®)ei®td®=J(cos®t+isin®t)d®2兀2兀a2+®2—g—g2agcos®t=d®兀a2+®202•设F[f(t)]=5(①)，则f(t)=丄2兀.歹-1[5(①)]=丄f5(①比心〃®=丄eg2兀2兀—go=0兀3.设f(t)=sin21，则F[f(t)]=k8(①)——[8(①+2)+5(①—2)]F"[f(t)]=ff(t)e-iotdt=fsin2te—®tdt=f_w?"e—®tdt—gTOC\o"1-5"\h\z—g—g—g=—fe—i°tdt——f(e2it+e—2it)e—i°tdt=兀6(o)——[§(o+2)+8(o—2)]242J—g—gHYPERLINK\l"bookmark2"\o"CurrentDocument"兀14•设§⑴为单位脉冲函数’则(t)cos2(t+护=4/兀兀1'Ur(t)cos2(t+护=cos2(3)=4J三、解答题1．求下列定积分：(可用《高等
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》的方法做)(1)f1eazsinbzdz(2)f1eazcosbzdz00f1eaz(cosbz+isinbz)dz=f1eazeibzdz=f1e(a+ib)zdz=000a+ibe(a+ib)z1ea+ib—1a+ibo(ea(cosb+isinb)—1)(a+ib)aeacosb—beasinb—1aeasinb+beacosb—b==+1-a2+b2a2+b2在原积分中，由于被积函数解析，则I=f1eaz(cosbz+isinbz)dz=f1eax(cosbx+isinbx)dx=f1eaxeibxdx,000从而J1eazcosbzdz=ReI;J1eazsinbzdz=ImI00IA,0
1解法一：F(①)=ff(t)e-iwtdt=Jte-i^tdt—g1+i®t=e-沏t①2-111+i®1一i®2i.sinw.TOC\o"1-5"\h\z=e-i®ei®=—(cos®)；®2®2®®-11g1g2isin®f(t)=JF(®)ei®td®=J一(cos®-)ei®td®HYPERLINK\l"bookmark0"\o"CurrentDocument"2兀2兀®®-g-g1g2isin®=(cos®-)(cos®t+1sin®t)d®2兀®®-g2gsin®sin®t-®cos®sin®t=d®兀0解法二：由于f(t)为奇函数，故由课本P12页的(1.12)式可知，f(t)=?J兀0丄JJ兀0=2g-1sin®TdT02gsin®td®=—J兀0-1I2g—1t-dcos®tIsin®td®=—J—®I兀®tsin®TdTsin®td®1一cos®TdT00sin®cos®®Tcos®T002g-1sin®td®=—兀®0sin®tcosco——®sin®td®sin®td®2gsin®-®cos®sin®td®兀®200,⑵f(t)=\~^0,—g兀解：同上题，f(t)=—fff(t)sinwtdT兀02fsinwtdt-兀0sintsinwtdt=—丄ff[cos(w+1)t—cos(w—1)t]disinwtdt=sinwtdtsin(w+1)tw+1兀sin(w—1)tw—1sinwtdt01fsin(w+1加sin(w—1加00-.,2fsinw兀sinwt.2fsinw兀sinwtsinwtdt=—dt=兀w2—1兀1—w200dt当t二土兀时，f（土兀+°）:f（土—°）二0.从而血①兀血⑹d心1一①2sint,11IS2°,111>兀5•设a为实数，求积分L—geja®1+®2的值。（分别讨论a为正实数和负实数的情形）当a>°时,R（z）二—在上半平面只有一个奇点z二i,从而1+z2卜—geia®1+®2d①=2兀iRes[R(z)eiaz,i]=2兀ilimzTieiazz+i当a<°时,卜—geia®1+®2卜—gdo=2兀iRes[R(z)e-iaz,i]=2兀ilim-1+o2zTiz+i解法二：参考课本146页Fourier变换表中的21，即广[ectl]=_一c，Re（c）<0⑷2+C2取c=-1，从而广[e-H]=，则积分®2+1丄卜旦丄十—1[_L]2兀—g1+®21+®2t=a二『+"上d3=兀e一□—g1+®2积分变换练习题第一章Fourier变换系专业班级姓名学号§3Fourier变换的性质§4卷积与相关函数一、选择题1■设F[f(t)]=F(①)，则F[(t-2)f(t)]=[](A)F'(®)-2F(①)(B)-F'(①)-2F(①)C)iF'(①)-2F(①)(D)-iF'(①)-2F(①)(利用Fourier变换的线性性质和象函数的导数公式)2■设F[f(t)]=F(①)，则F[f(1-1)]=[](A)F(w)ej(B)F(-w)e-jwC)F(w)ejwD)F(-w)ejw广[f(1-1)]=J+sf(1-1)e-iwtdt1-="虫f(s)e-iw(1-s)(-ds)、TOC\o"1-5"\h\z广一s+8=e-iwJ+sf(s)e-i(-w)sds=e-wF(-w)I-s二、填空题33e-H1•设Jf(t)]=k'则f(t)=T(2A由1-三-5解法二中的分析可知：广[e川]=,w2+1从而专广[e」I]=nf(t)=字V2w2+12丿2•设f(t)=e-1-u(t)，则F[f(t)]=厂已知单位阶跃函数u(t)=Jt5(T)dT,及Fourier变换的微分性质：尸[f'(t)]=辭[f(t)]令g(t)=e-1-u(t)=e-1ft5(t)dT,贝U—g=—e—Jt5(t)dT+e—15(t)=—g(t)+e—5(t),dt—g即尸[攀]=尸[—g(t)+e-15(t)]=—尸[g(t)]+尸[e-15(t)],dt又由尸上型]=辭[g(t儿从而dt[e-15(t)]f+ge-15(t)e-iwtdt刃g(t)]=[.[.1+z®1+z®=1t=01+z®+g11+z®f+g5(t)e—(1+z®)tdt—g1=•e—(1+)tV1+三、解答题TOC\o"1-5"\h\z1.若F(®)=F[f(t)]，且aV0，证明：F[f(at)]=F(—)—aa5Tf(at)]=ff(at)e-z®tdts=于f(s)e—ds=—-ff(s)e—z?sds=—-F(®)aaaa—g+g—g2.若F(®)=F[f(t)]，证明:整F(®)=/[-jf(t)]gIfd——JgF(®)——ez®td®2兀—gd®—gF(®)ez®td®=(—zt)f(t)—g即证：广-1[邑F(®)]=—if(t)d®TOC\o"1-5"\h\z广-1[空F(®)]=丄fg—F(®)ez®td®=丄F(®)ez®td®2兀—gd®2兀=—fgF(®)ztez®td®=(—zt)f2兀—g2兀sin®3.已知某函数的Fourier变换为F(®)=，求该函数f(t)。®F(®)=n®F(®)=sin®n广—1[®F(®)]=J27—1[sin®]一方面，广[f'(t)]=i®广[f(t)]=i®F(®)n广-1[®F(®)]=—if'(t)；另一方面，广-1[sin®]=—fgsin®ei®td®=^^fg—~ei®td®=丄卜4兀i—g从而—if'(t)=\8(t+—)—8(t—1)]=f'(t)=\8(1+1)—8(t—1)]2i2-ft8(t+1)dT—ft2——g—g2兀—g2iei®(i+t)—ei®(—i+t)d®=丄\8(t+1)—8(t—1)]；2i—I电—g8(T—1)dT=-\u(t+1)—u(t—1)]一24.若F(®)=F[f(t)]，证明：F(—®)=F[f(—t)]证：fgf(s)e—i(—®)sds=F(—®)—g—gf(s)ei®s(—ds)gF[f(—t)]=fgf(—t)e—i®tdt—=t=sf—g5•若f(t)=e-tu(t),f(t)=sint-u(t)，求f(t)*f(t)1212f(t)*f(t)=e-tu(t)]*\sint-u(t)]=于e—u(T)sin(t—T)-u(t—T)dT=Je—tsin(t—T)dTt—=sf00=—(sint—cost—e—t)2—ge—t-ins—coss)es2e—(t—s)sinsds=e—tftessinsds=积分变换练习题第一章Fourier变换—专业班级姓名学号.§5Fourier变换的应用综合练习题、选择题：1.设F~[f(t)]=F(®)且当tT+g时，g(t)=ftf(t)dTT0，则F~[J—g21f(T)dT]=[—g1①1①A)2i^F(3)(B)石F(于)2z®2z®2Fourier变换的积分性质：尸[Jtf(t)dT匸丄刃f(t)]"[J2tf(T)dT匸丄[f(2t)]=丄F(®)—gz®2z®2最后一个等号由2(§3§4)-三-1得到.C)—g2.设F[f(t)]=F(①),则下列公式中，不正确的是(A)F[f(t)*f(t)]=(F他))2(B)歹[("))2]=舟")*张)C)F[f(t)e土叫]=F(w±o)0(D)tf(t)=jF-1[F'仙)]/[f(t)e±叫]=F(中叫)二、填空题0,1.设/(t)=0，则"⑴*f(t)=10,t<01—e—,t>0参照课本51页(10),u(t)*f(t)=f(t)*u(t)=ftf(T)dT—gTOC\o"1-5"\h\z2•计算积分J+g§(t—y)sin2tdt=1—g兀J+g5(t——)sin2tdt=sin21—g2—1?t<0，则F[sgnt]=—1,t>0g+ge-i®tdt—J+gei®tdtF[sgnt]=J+g1-e-i®tdt+J0(—1)-e-®tdt=J0—g0=J+gu(t)e—i®tdt—J+gu(t)ei®tdt=F[u(t)]—F[u(—t)]—g—g—g(上一份练习最后一题)=丄+兀5(①)-i®i(一①)+兀5(—®)=—三、解答题1•求微分方程X(t)+x(t)=5(t)的解，且—g0)的Fourier变换[e-pt，t>0F[f(t)]=』一，贝Up+i®f0,t<0TOC\o"1-5"\h\zx(t)=h-i[X(®)]={、&[e—t，t>02.求函数f(t)=costsint的Fourier变换。sin2t1e2it—e—2it1()解：F-[costsint]=F-[]=F-[]=F-[e2it]—F-[e-2it]222i4i(象函数的位移性质)=丄(2兀5(®—2)-2兀5(®+2))54i=®[5(®+2)+5(①一2)]211—t,0Wtw13.利用Fourier变换，解积分方程J+g(®)cos®td®=\0[0,t>1解：由课本P12(1.13)-(1.14)式，即Fourier余弦逆变换公式可得，g(®)=J+gf(t)cos®tdt=J1(1-1)cos®tdt=Sin⑹00cos®t—-sin®t+—J1sinwtdt=①0-J14sin®t0①011-cos①0t>0“Isint,t<0与f2(t)=]0,t>0t0且t-T>0即0WTWt时，被积函数不为零，从而0=e—tJessinsds=e—t--(sins-coss)e$2于f(t)f(t-t)dT=Je—tsin(t-t)dT=Je—(t—s)sinsds12-g01(•)=sint-cost-e-J2
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