平面解析几何PPT教学课件

第十单元平面解析几何第一节直线与方程基础梳理1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①定义：当直线与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，即k=tanα,倾斜角是90°的直线斜率不存在.②过两点的直线的斜率公式经过两点(其中)的直线的斜率公式为名称方程适用范围点斜式不含直线斜截式ｙ＝ｋｘ＋ｂ不含垂直于ｘ轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０平面直角坐标系内的直线都适用2.直线方程的五种形式典例 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型一直线的倾斜角和斜率【例1】直线xcosα+y+2=0的倾斜角的范围是()A.B.C.D.分析先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围.解由直线xcosα+y+2=0,所以直线的斜率为k=设直线的倾斜角为β,则tanβ=又即所以β∈.学后反思求倾斜角范围的步骤是：（1）求出斜率的取值范围；（2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾斜角的取值范围.举一反三直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的范围是()A.[0,π)BC.D解析设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ.∵θ∈R,-1≤-cosθ≤1,∴-1≤tanα≤1，∴α∈.答案D题型二求直线的方程【例2】求下列直线的方程.（1）过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是;(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线：3x+4y+10=0的倾斜角的一半.分析由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式写出直线的方程.解（1）设直线的倾斜角为α,则sinα=，所以tanα=±,故的方程为y=±x+2，即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.(2)设直线和的倾斜角分别为α、β，则,又tanβ=-,故-=tan2α=，解得tanα=3或tanα=-(舍去).由点斜式，得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.学后反思求直线方程首先要根据已知条件选择合适的方程形式，同时注意各种形式的适用条件.用斜截式或点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线等.举一反三2.直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线的方程.解析由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线在两轴上的截距都存在且不过原点，故可设为截距式直线方程.设直线的方程为,则a+b=12.①又直线过点(-3,4),则.②a=9,a=-4,由①、②解得或b=3b=16.故所求的直线方程为或,即x+3y-9=0或4x-y+16=0.题型三与直线方程有关的最值问题【例3】直线过点M(2,1),且分别与x、y轴交于A、B两点，O为原点.求当△AOB面积最小时，直线的方程.分析先根据题意，用点斜式设出直线的方程，然后求方程中的参数，从而求出直线的方程.解方法一：如图所示，直线如果通过一、二、三或一、三、四象限时，△AOB的面积不存在最值，因此只考虑直线与x,y轴正方向相交的情况，这时斜率必为负值.设直线的方程为y-1=k(x-2)（k＜0）,则有A(2-,0)与B(0,1-2k)，所以当且仅当,即k=-时，等号成立.故直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.方法二：设过P（2，1）的直线为(a＞0,b＞0),则.由基本不等式得,即ab≥8,,当且仅当,即a=4,b=2时，等号成立.故直线方程为,即x+2y-4=0.学后反思(1)对直线的大致位置分析，界定了斜率的存在性及其范围，指明了解题方向，这种分析是避免解题盲目性的重要技能.（2）本题将面积表示为k的函数，再用基本不等式求最小值，方程选择不同，自然参数不同，但是求最值的方法首先考虑基本不等式，然后是函数单调性、换元等方法.举一反三3.已知直线过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线的方程.解析方法一：设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线的方程为∵过点P(3,2),∴,且a＞3.从而,故有当且仅当,即a=6时,等号成立.,此时.故直线的方程为,即2x+3y-12=0.方法二：依题意知，直线的斜率存在.设直线的方程为y-2=k(x-3)(k<0),则有A（3-,0）,B(0,2-3k),∴当且仅当-9k=时，即k=-时，等号成立，.故所求直线的方程为2x+3y-12=0.方法三：如图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.设θ=∠PAM=∠BPN,则当且仅当，即tanθ=时,,此时直线的斜率为-，其方程为2x+3y-12=0.题型四应用问题【例4】(12分)为了绿化城市，拟在区域ABCD内建一个草坪（如图），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大？分析欲使草坪面积最大，点P的位置选取是关键，因此，应考虑建立适当的坐标系，求出线段EF所在直线的方程，再设出点P的坐标，做为解题的切入点.解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0),F(0,20),…………………2′所以线段EF的方程为(0≤x≤30)……………………………………………4′在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S，则S=｜PQ｜｜PR｜=(100-m)(80-n)…………………………………….6′又∴…………………………….9′所以当m=5时，S有最大值，这时……………….10′所以当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大…………………………………..12′学后反思本题是一道用地规划的实际问题，应把问题化归为在线段EF上找一点，使长方形PQCR面积最大的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 问题，这样，就需要建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题转化为代数问题，利用代数方法使问题得到解决.举一反三4.美丽的呼伦贝尔大草原的一条公路旁边，在某镇北偏西60°且距该镇30km处有A村，在镇东北50km处有B村，要在公路旁修一车站C,从车站C向A、B两村修公路，问：车站C修在公路的什么地方，可使费用最小？（结果保留1位小数）解析以公路为x轴，该镇为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A、B两点坐标分别为A(-15,15),B(25,25),作A点关于x轴的对称点A′(-15,-15),连接A′B交x轴于C.∵x轴是线段AA′垂直平分线，∴|CA|=|CA′|,∴|CA|+|CB|=|CA′|+|CB|=|A′B|最短.由两点式,得令y=0,得∴,∴车站应修在距该镇的正西方约7.7km处.易错警示【例】已知直线过点P(1,2)且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围.错解设PA与PB的倾斜角分别为α,β,则所以直线的斜率k的取值范围为-1≤k≤.错解分析不清楚倾斜角和斜率的关系，尤其是忽略了当倾斜角为90°时，斜率不存在这种情况.正解设PA与PB的倾斜角分别为α,β,则当直线由PA变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角由α增至90°，故斜率的取值范围为[,+∞)；当直线由与y轴平行的位置变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β,此时斜率的取值范围为（-∞,-1］.综上，斜率的取值范围为（-∞,-1］∪[,+∞).考点演练10.（2009·广东湛江）曲线y=-2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角为——.解析y′=3-2,曲线在（1，3）处的切线斜率为,设倾斜角为θ，且0°≤θ＜180°,∴θ=45°.答案45°11.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程.解析设所求直线的方程为.∵A(-2,2)在直线上，∴，①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴｜a｜·｜b｜=1.②a-b=1,a-b=-1,由①②可得，（1）或（2）ab=2，ab=-2.a=2，a=-1，由(1)解得或方程组（2）无解.b=1b=-2，故所求的直线方程为或,即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.12.设直线的方程为（a+1）x+y+2-a=0(a∈R).(1)若在两坐标轴上截距相等，求的方程；（2）若不经过第二象限，求实数a的取值范围.解析(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等,∴a=2,即方程为3x+y=0.当直线不过原点时，又截距存在且相等，则截距均不为0，∴,即a+1=1,∴a=0,即方程为x+y+2=0.(2)方法一：将的方程化为y=-(a+1)x+a-2,-(a+1)>0,-(a+1)=0,∴或a-2≤0a-2≤0，∴a≤-1.综上可知，a的取值范围是a≤-1.方法二：将的方程化为（x+y+2）+a(x-1)=0(a∈R).它表示过:x+y+2=0与:x-1=0的交点（1，-3）的直线系（不包括x=1).由图象可知的斜率为-(a+1)≥0,即当a≤-1时，直线不经过第二象限.第二节直线的位置关系基础梳理1.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有特别地，当直线的斜率都不存在时，与的关系为平行.(2)两条直线垂直如果两条直线的斜率存在，分别设为,则一般地，若直线(不全为0)，直线(不全为0)，则且与重合且2.三种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式特别地，原点O（0,0)与任一点P(x,y)的距离｜OP｜=(2)点到直线的距离点到直线:Ax+By+C=0的距离(3)两条平行线的距离两条平行线Ax+By+=0与Ax+By+=0间的距离典例分析题型一两条直线位置关系的判定和应用【例1】已知直线:ax+2y+6=0和直线:x+(a-1)y+-1=0.(1)试判断与是否平行；（2）当⊥时，求a的值.分析可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运用一般式方程中的系数关系来判断或求解，这样可以避免讨论.解（1）方法一：当a=1时，:x+2y+6=0,:x=0,不平行于;当a=0时，:y=-3,:x-y-1=0,不平行于;当a≠1且a≠0时，两直线可化为解得a=-1,综上可知,当a=-1时,∥,否则与不平行.方法二：由,得a(a-1)-1×2=0,由≠0,得a(-1)-1×6≠0,a(a-1)-1×2=0，-a-2=0，∴a=-1a(-1)-1×6≠0a(-1)≠6故当a=-1时，∥，否则与不平行.（2）方法一：当a=1时,:x+2y+6=0,:x=0,与不垂直，故a=1不成立.当a≠1时，由方法二：由,得a+2(a-1)=0学后反思(1)直线:,直线,“”的前提条件是,的斜率都存在，若不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：当,中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时，与不平行；当,的斜率都不存在（与不重合）时,∥;当,均有斜率且时，∥.为避免分类讨论，可采用直线方程的一般式，利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行，如本例方法二.（2）当⊥时，可分斜率不存在与斜率存在，斜率存在时,有，如果利用可避免分类讨论.举一反三1.已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，求a的值.解析由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0.当a=1时，两方程为x-y+2=0与x+y+1=0，互相垂直；当a=0时，两方程为y=0与x=0，互相垂直.所以a=1或a=0即为所求.解析当a-2=0或a=0时两直线显然不平行；当a-2≠0且a≠0时，由,得a=-1或a=3.若a=-1,则成立,故a=-1（舍去）,则a=3.2.已知直线ax-y+2a=0与（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求a的值.题型二距离问题【例2】求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.分析设出所求直线的点斜式方程，运用待定系数法求直线的方程，但必须要注意斜率是否存在这个问题.解∵过点A(-1,2)且垂直于x轴的直线不满足题意，∴设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.∵原点到直线的距离等于,∴d=解得k=-1或k=-7,即所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.学后反思（1）直线的点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线，故要进行讨论.（2）使用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式.举一反三3.与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于的直线方程是——.答案2x+3y+18=0或2x+3y-8=0解析∵所求直线与直线:2x+3y+5=0平行，∴可设：2x+3y+C=0,由与距离为，得,解得C=18或C=-8,∴所求直线的方程为2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.题型三交点及直线系问题【例3】求经过直线:3x+2y-1=0和:5x+2y+1=0的交点且垂直于直线:3x-5y+6=0的直线的方程.分析本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解.3x+2y-1=0,解方法一：由得,的交点P(-1,2).5x+2y+1=0,又的斜率∴的斜率k=-,∴:y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.方法二：由⊥,可设:5x+3y+C=0.∵,的交点可以求得为P(-1,2).∴5×(-1)+3×2+C=0,∴C=-1,∴:5x+3y-1=0.方法三：∵过,的交点，故设:3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0，即（3+5λ）x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0，∴,解得λ=,代入上式整理得:5x+3y-1=0.学后反思三种解法都能比较迅捷地解决问题，但方法一、方法二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数之类的，则要进行分类讨论；运用直线系方程时，则必须对直线系中不包含的直线进行检验.因此，本题的三种解法应该是各有优缺点.举一反三4.已知两直线:x+2=0,:4x+3y+5=0,定点A(-1,-2),求过,的交点且与点A的距离等于1的直线.解析方法一：,的交点为（-2，1）.若直线斜率存在，设所求的直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.①∵所求直线与点A(-1,-2)的距离为1,∴,得k=-,代入①,得所求直线的方程为4x+3y+5=0.若直线斜率不存在，即判断过点（-2，1）且与y轴平行的直线x=-2是否符合所求直线的条件.∵点A（-1，-2）到直线x=-2的距离为1，∴直线x=-2，即x+2=0也符合直线的要求，故所求直线的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.方法二：,的交点为（-2，1），过,交点的直线系方程是（x+2）+λ(4x+3y+5)=0,λ是参数，化简得(1+4λ)x+3λy+(2+5λ)=0，②由,得λ=0.代入方程②，得x+2=0.又∵直线系方程②中不包含,∴应检验是否也符合所求的条件.∵点（-1，-2）到的距离为∴也符合要求，故所求直线的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.题型四对称问题【例4】(12分)光线沿直线:x-2y+5=0射入，遇直线:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.分析本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线对称，用对称点方法求出入射光线上一点P关于的对称点，再由两点式写出方程.3x-2y+7=0,x=-1,解方法一：由得x-2y+5=0,y=2,即反射点M的坐标为(-1,2)……………………………………..2′又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设点P关于直线的对称点为由PP′⊥,可知…………………………..4′而PP′的中点Q的坐标为又Q点在上，∴联立解得即P′点坐标为……………………………...10′反射光线过M(-1,2)和P′根据直线的两点式方程,可得反射光线所在的方程为29x-2y+33=0…………………………….12方法二：设直线x-2y+5=0上任意一点关于直线的对称点P′(x,y),则………………………………………3′又PP′的中点在上，∴,……………………………………6′由……………………………………………………………………..9′代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,即所求反射光线所在直线方程为29x-2y+33=0………………..12′学后反思比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的.其中，方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解；方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法.举一反三5.已知A(7,-4)关于直线的对称点为B（-5，6），则直线的方程是()A.5x+6y-11=0B.6x-5y-1=0C.6x+5y-11=0D.5x-6y+1=0解析∵AB的中点（1，1）在直线上,又,即所求直线的斜率k=,∴所求直线的方程为y-1=(x-1),即6x-5y-1=0.答案B易错警示【例】已知一直线经过点P(1,2)且与点A(2,3)和B（0，-5）距离相等，求此直线的方程.错解方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0，∴,即｜k-1｜=｜k-7｜，解得k=4，∴所求直线方程为4x-y-2=0.方法二：由已知∥AB,又∴:y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0.错解分析方法一中忽视了斜率可能不存在的情况，方法二中忽视了可以过AB中点的情况.正解方法一：当斜率不存在时，直线方程为x=1,满足条件.当斜率存在时，解法同错解中“方法一”.方法二：当过AB中点时，直线方程为x=1.当∥AB时，解法同错解中“方法二”.综上,直线的方程为x=1或4x-y-2=0.考点演练10.(2009·青岛模拟）平行四边形两邻边方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对角线交点为（3，3），则另两边的方程为——和——.解析方法一：所求直线与已知直线关于（3，3）中心对称，故方程为（6-x）+(6-y)+1=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,即x+y-13=0和3x-y-16=0.方法二：所求直线与已知直线分别平行，且过已知两直线的交点关于（3，3）的对称点.设:x+y+=0,:3x-y+=0.两已知直线的交点坐x+y+1=0,x=标满足解得3x-y+4=0,y=即,它关于（3，3）的对称点为将代入,，解得=-13,=-16.所以所求直线:x+y-13=0,:3x-y-16=0.答案x+y-13=03x-y-16=011.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0与x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形的其他三边所在的直线方程.解析设与直线:x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为:x+3y+c=0.2x-y+2=0，由得正方形的中心坐标P(-1,0),x+y+1=0由点P到两直线,的距离相等，得,解得c=-5或c=7(-5不合题意，舍去)，∴:x+3y+7=0.又∵正方形另两边所在直线与垂直，∴设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴，解得a=9或a=-3,∴正方形的其他两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴正方形的其他三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.光线从A(-3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（-1，6），求BC所在直线的方程.解析方法一：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设其坐标为（a,0）,由反射角等于入射角，得∠1=∠2,∠3=∠4,∴又∴,即BC所在直线方程为y=(x-a),所以C点坐标为又∵,解得a=-,代入BC的方程,得5x-2y+7=0.方法二：A关于x轴的对称点A′(-3,-4),D关于y轴的对称点D′(1,6),由光学知识知,A′、B、C、D′四点共线，且则BC所在的直线方程为5x-2y+7=0.第三节圆的方程基础梳理1.圆的标准方程（1）方程表示圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程;（2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r>0)的圆的标准方程为.2.圆的一般方程方程+Dx+Ey+F=0可变形为（1）当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆;（2）当=0时，方程表示一个点;(3)当<0时，方程不表示任何图形.3.与圆的位置关系（1）若，则点P在圆外；（2）若，则点P在圆上；（3）若，则点P在圆内.4.求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r或D，E，F的方程组；（3）解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.典例分析题型一求圆的方程【例1】求过两点A(1,4)、B（3，2）且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.分析欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标和圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.解方法一:设圆的标准方程为.∵圆心在y=0上，∴b=0，∴圆的方程为又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点，∴解得故所求圆的方程为方法二：设圆的一般方程为+Dx+Ey+F=0,因为圆心在x轴上，则-=0,即E=0.又该圆过A（1,4）和B（3,2），所以D+17+F=0,D=2,解得E=0,3D+13+F=0,F=-19.所以圆的方程为+2x-19=0.方法三:∵圆过A(1,4)、B(3,2)两点，∴圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又∵,∴的斜率为1.又AB的中点为（2，3），故AB的垂直平分线的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.又知圆心在直线y=0上，∴圆心坐标为C(-1,0).∴半径r=｜AC｜=即所求圆的方程为又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为d=｜PC｜==5>r，所以点P在圆外.学后反思（1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，用上平面几何知识，会使解题变得相对简单.(2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.举一反三1.求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.解析∵圆经过点A(5,2),B(3,2),∴圆心在x=4上，又圆心在2x-y-3=0上，∴圆心为（4，5），可设圆的方程为,又圆过B(3,2)，即,∴，∴圆的方程为题型二与圆有关的参数问题【例2】(2009·威海模拟）已知圆的方程为,要使过定点A（1，2）的圆的切线有两条.求a的取值范围.分析(1)若方程表示圆，则>0,即(2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外.解若表示圆，则应满足,即4-3>0,①又点A应在圆外，则即+a+9>0,②由①②得故a的取值范围是学后反思(1)一般地，方程表示圆隐含着条件>0.此点易被忽视.(2)若点在圆+Dx+Ey+F=0外，则举一反三2.已知圆的方程,要使圆的半径不大于且过定点A（1，2）的圆的切线有两条，求a的取值范围.解析圆的方程可化为.由已知即解得0)的位置关系的判断方法：（1）几何法.圆心（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离为d,dr直线与圆相离.（2）代数法.Ax+By+C=0,由消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ,则Δ>0直线与圆相交；Δ=0直线与圆相切；Δ<0直线与圆相离.3.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.4.弦长问题圆的弦长的计算：常用弦心距d,弦长一半a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：典例分析题型一直线与圆的位置关系【例1】已知圆-6mx-2(m-1)y+10-2m-24=0(m∈R).(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；（2）与平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离.分析（1）用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解（1）证明：配方得x=3m,设圆心为（x,y），则消去m，得：x-3y-3=0,y=m-1,则不论m为何值，圆心恒在直线:x-3y-3=0上.(2)设与平行的直线是:x-3y+b=0,则圆心到直线的距离为∵圆的半径为r=5,∴当dr,即b<-5-3或b>5-3时，直线与圆相离.学后反思判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立，由所得一元二次方程根的判别式来判断.（2）几何法：确定圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断.实际应用中“几何法”要优于“代数法”.举一反三1.(2009·启东调研）已知圆C：,直线:mx-y+1-m=0.（1）求证：无论m取什么实数，直线与圆C恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时的方程.解析（1）证明：:mx-y+1-m=0的方程可化为y-1=m(x-1),其恒过定点P(1,1).∵｜PC｜=∴点P恒在圆C内，∴直线与圆C恒交于两点.（2）由（1）及平面几何知识知，当垂直于PC时，直线被圆C截得的弦长最小，又，∴所求直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.题型二圆与圆的位置关系【例2】已知圆：-2mx+4y+-5=0,圆:+2x-2my+-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系.分析先把两圆的方程化为标准方程，再求两圆的圆心距d，进而判断d与R+r,R-r的关系.解圆,圆.两圆的圆心距.(1)当,即时,解得m=-5或m=2,故当m=-5或m=2时，两圆外切；（2）当,即时,解得m=-2或m=-1,故当m=-2或m=-1时，两圆内切；（3）当,即-52时，两圆外离；（5）当,即-2.(2)上述椭圆的焦点是，椭圆的焦距是2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点轴长轴的长为2a短轴的长为2b焦距离心率a,b,c的关系典例分析题型一椭圆的定义及其标准方程【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.解方法一：设椭圆的标准方程是(a>b>0)或(a>b>0),两个焦点分别为，则由题意知2a=,∴a=.在方程中,令x=±c,得｜y｜=.在方程中,令y=±c,得｜x｜=.依题意知.即椭圆的方程为或.方法二：设椭圆的两个焦点分别为,则由椭圆的定义，知2a=,即a=.由知，垂直于长轴.故在Rt△中，,∴，于是.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为或.学后反思(1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成(m＞0,n＞0).（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为举一反三若椭圆的两个焦点为(-4,0)、(4,0),椭圆的弦AB过,△的周长为20，则该椭圆的方程为——.解析△的周长为=2a+2a=4a=20,∴a=5,又c=4,∴b=3.∴椭圆的方程为答案题型二椭圆的几何性质【例2】P为椭圆上任一点，为左、右焦点，如图所示.（1）若的中点为M，求证：|MO|=5-(2)若∠=60°,求的值.分析第（1）问中，由OM为△的中位线，再结合椭圆几何性质即可得证；第（2）问中，已知∠=60°，则可在△中利用余弦定理求解.解(1)证明：由椭圆方程知a=5,b=4,则c=3,∴又M、O为的中点，(2)，两边平方得①由余弦定理知即②①-②得.学后反思椭圆的几何性质是解决椭圆问题的基础，必须牢记，并体会由方程如何推得相关性质，体会解析几何的思想.第（1）小题即：以为直径的圆与以长轴为直径的圆始终内切.第（2）小题：令∠=θ,则可推出，进而推出举一反三已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠=60°.求椭圆离心率的取值范围.解析设椭圆方程为(a>b>0)，｜｜=m,｜｜=n.在△中，由余弦定理可知，又(当且仅当m=n时取等号），∴即e≥，∴e的取值范围是[,1).题型三直线与椭圆的位置关系【例3】(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.分析(1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.解（1）根据题意设椭圆的标准方程为(a>b>0),由已知得a+c=3,a-c=1,………………………………………….1′∴a=2,c=1,∴=3.∴椭圆的标准方程为………………………………….3′(2)设,y=kx+m，联立得，……………………………5′则由题意,得,即，∴，即………7′∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),∴,即，，解得m=-2k或m=-,且均满足………………………………………10′当m=-2k时,的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m=-时,的方程为y=k(x-),直线过定点(,0).所以直线过定点，定点坐标为(,0)……………………..12′学后反思(1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三3.若直线过圆+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C：于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线的方程.解析设A,B的坐标分别为已知圆的方程为,所以圆心M的坐标为（-2，1），从而可设直线的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程,得.因为A,B关于点M对称，所以,解得k=,所以直线的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0(经检验，所求直线方程符合题意).题型四椭圆的实际应用【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域.分析建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图），则半椭圆方程为(y≥0),解得(0｜AB｜=2.由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为(y≠0),易知点D也在此椭圆上，要使ACBD面积最大，则C、D为此椭圆短轴的两端点，此时，面积易错警示【例】若椭圆的离心率e=,则k的值为——.错解由已知=k+8,=9,又e=，∴，解得k=4.错解分析忽视了椭圆的焦点位置不确定，焦点也有可能在y轴上的情况.正解（1）若焦点在x轴上，即k+8>9时，=k+8,=9,,解得k=4.(2)若焦点在y轴上，即0