太原市交通学校郝志隆3.2.1函数的单调性北师大版中职数学基础模块（上册）复习回顾：1.函数的概念2.函数的表示方法德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如下图：问题： (1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？由此得到启发，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？观察某市某日24小时气温变化图，请回答下面的问题：自变量变化函数值变化（1）点时气温最低，点时气温最高．（2）随着时间的增加，在1点到6点气温不断______，在___点至___点，气温不断升高，在___点至___点，气温又不断降低.615降低xyO6151524函数值f(x)也增大.观察第一组函数图像，指出其变化趋势..........-2-1O123xy321-1.........-2-1O123xy21-1-2.........-2-1O123xy21-1-2上升从左至右，图像呈______趋势.随着自变量增大，从左至右，图像呈______趋势.观察第二组函数图像，指出其变化趋势.下降.........-2-1O123xy321-1.........-2-1O123xy21-1-2.........-2-1O123xy21-1-2函数值f(x)减小.随着自变量增大，在定义域内的某个区间上，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．xyOx∈(1,6),x∈(15,24)时图像从左至右看下降函数在区间(1,6)，(15,24)上单调递减，称为减函数x∈(6,15)时图像从左至右看上升函数在区间(6,15))上单调递增，称为增函数区间(6,15),(1,6),(15,24)称为函数的单调区间【例1】下图是定义在闭区间[-4,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出（1）当x取何值时，函数值最大，最大值为多少？当x取何值时，函数值最小，最小值为多少？（2）函数y=f(x)单调区间,以及在每一区间上，是增函数还是减函数.312-212345-2-3-4-5-1-1O单调区间：（-4，-2)说明:孤立的点没有单调性,故单调区间端点处若有定义，则开区间闭区间均可逗号隔开，(3，5），(1，3）单调区间：（-2，1）（1）当x=1时，函数值最大，最大值为f(1)=3;当x=-2时，函数值最小，最小值为f(-2)=-2.（2）解：函数是增函数函数是减函数【例2】二次函数f(x)=-x2+2x+3的图像如图所示（1）求函数的对称轴方程、顶点坐标；（2）打出函数f(x)的单调区间；（3）当x∈[2，5]时，求函数的最大值和最小值。-13xy041【例2】二次函数f(x)=-x2+2x+3的图像如图所示（1）求函数的对称轴方程、顶点坐标；（2）打出函数f(x)的单调区间；（3）当x∈[2，5]时，求函数的最大值和最小值。解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方程是顶点坐标是,则==1，==4，所以顶点坐标是（1，4） （2）由图象可知，函数f(x)的增区间是 （3）因为函数f(x)在区间[2，5]是减函数，所以在x，函数f(x)的最大值是f(2)=3,函数f(x)的最小值是f(5)=-12 -13xy041【思考1】：初中已经学习过的一次函数、反比例函数、二次函数的图象各是什么？可否利用图象来判断函数的单调性，如何求它们的单调区间？【思考2】：函数图像在呈现上升或者下降的趋势时，有时并不是很明显，甚至有的函数作出图像就很困难，在这种情形下，利用函数图象来判断其单调性，就显得不太可能，而且通过图象的升降来描述函数单调性，也缺乏严密性．如何用数学符号语言精准地刻画函数的单调性？请同学们分组讨论。区间(a,b)叫做函数f(x)增区间设函数y=f(x)在内义域内的区间(a,b)内上对于任意的x1，x2(a,b)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)成立，那么函数f(x)叫做区间(a,b)内的增函数.增函数图像从左到右上升区间(a,b)叫做函数f(x)减区间设函数y=f(x)在内义域内的区间(a,b)内对于任意的x1，x2(a,b)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)成立，那么函数f(x)叫做区间(a,b)内的减函数.减函数图像从左到右下降【例3】判断函数f(x)=3x+2在（-∞，+∞）上的单调性.xyo解：任取x1,x2∈(-∞，+∞),且x1<x2，那么f(x1)=3x1+2,f(x2)=3x2+2,则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)<0，故f(x1)<f(x2)所以，函数f(x)=x+1在(-∞，+∞)上是增函数假设函数y=f(x)区间(a,b)内有意义.减函数增函数难点：通过作差法比较f(x1)和f(x2）的大小结论：“同向为增，异向为减”小结:1.函数的单调性概念（注意指明区间）2.单调性判断方法：图象法、定义法课堂达标检测：【练习:P881.2】作业:1.必做题：P883，4；练习册P66-67水平一2.选做题：同步练习册水平二感谢您的聆听！
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