上海科技版（沪科版）初中数学九年级下册全册教学课件

第24章圆24.1旋转第1课时旋转、旋转对称图形沪科版九MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714286935205_0下册新课导入思考：这些运动有什么共同的特征？图形的旋转BOA450点A绕＿＿点，往＿＿＿方向，转动了＿＿度到点B.O顺时针45OBAB′A′600350BAB′A′OC1000C′推进新课在平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度，得到另一个图形的变换，叫做旋转.你能给旋转下个定义吗?θ原图形上一点A旋转后成为点A′，这样的两个点叫做对应点.定点O叫做旋转中心θ叫做旋转角从课本中的思考实例可以看出：图形的旋转三要素是，，.旋转中心旋转方向旋转角试一试如图，△ABO绕点O旋转得到△CDO，则:点B的对应点是_____________.线段OB的对应线段是_____________.线段CD的对应线段是_____________.∠AOB的对应角是_____________.∠B的对应角是_____________.旋转中心是_____________.点D线段OD线段AB∠COD∠D点O旋转中心就是在旋转过程中始终保持固定不变的那个点，它可以在图形的外部或内部，还可以在图形上，即它可以是平面内的任意一点.旋转角：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角.①时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针旋转的角度是多少？从上午9时到上午10时呢？解：从上午6时到上午9时，时针旋转的角度为90°，从上午9时到上午10时，时针旋转的角度是30°.练习②如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心是点，旋转角是，点A的对应点是点．O∠AOA′A′观察如图，△ABC绕着旋转中心O按逆时针方向旋转θ后，得到△A′B′C′.①OA与OA′、OB与OB′、OC与OC′分别有何关系？.②∠AOA′、∠BOB′、∠COC′之间有何关系？.③△ABC与△A′B′C′有何关系？.分别相等∠AOA′=∠BOB′=∠COC′△ABC≌△A′B′C′在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点.归纳小结◆旋转前、后的图形全等.◆对应点到旋转中心的距离相等.◆每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.◆图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定.旋转的基本性质思考：这些图形有什么共同特征？在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ（0°＜θ＜360°）后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形.BACO一个图形绕着一个定点，按照一定的角度，从一个位置旋转到另一个位置，叫做旋转.ABCO·一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度后能与自身重合，这样的图形称为旋转对称图形.图形的一种变换图形的一种特性　　思考：香港特别行政区区徽可以看作是什么“基本图案”通过怎样的旋转而得到的？　　可以看作是一个花瓣连续4次旋转所形成的，每次旋转分别等于72°随堂练习1.下列现象中属于旋转的有（）①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．A．1个B．2个C．3个D．4个D2.把图中的五角星图案，绕着它的中心点O旋转，旋转角为多少度时，旋转后的五角星能与自身重合？解：旋转角为72°或144°或216°或288°时，旋转后的五角星能与自身重合.3.如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？解：BE=DC.理由：将△ABE顺时针绕点A顺时针旋转60°就能和△ACD重合.即△ADC≌△ABE，所以BE=DC.旋转前后两个图形的形状、大小不变，因此我们在用旋转解决与其相关的问题时要注意：①明确旋转中的“变”与“不变”；②明确旋转前后的对应关系；③明确旋转过程中线段或角之间的关系.课堂小结课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。第2课时中心对称与中心对称图形沪科版九年级下册新课导入问题1：把图中三角形绕定点O旋转180°，你有什么发现？ABCO180°问题2：如图，线段AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°，你又有什么发现？推进新课你发现了什么？把一个图形，如果它，那么就说这两个图形关于这个点或，这个点叫做.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.绕着某一点旋转180°能够与另一个图形重合对称中心对称对称中心（简称中心）ABCO180°A′B′C′找一找:下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称的，你能从图中找到哪些等量关系?思考:观察上图，两个图形形成中心对称，说一说中心对称有什么特性？1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分.2.关于中心对称的两个图形是全等形.归纳：中心对称的性质想一想：中心对称与轴对称有什么区别?又有什么联系?轴对称中心对称有一条对称轴---直线有一个对称中心—点图形沿对称轴对折(翻折180°)后重合图形绕对称中心旋转180°后重合对称点的连线被对称轴垂直平分对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分思考1：已知A点和O点，你能画出点A关于点O的对称点A'吗？AOA'连结OA，并延长到A'，使OA'=OA，则A'是所求的点思考2：已知线段AB和O点，画出线段AB关于点O的对称线段A'B'.OAB连结AO并延长到A'，使OA'＝OA，则得A的对称点A'A'连结BO并延长到B'，使OB'＝OB，则得B的对称点B'B'连结A'B'，则线段A'B'是所画线段例如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.ABCDO怎么办？ABCDO分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对应点，再顺次连接各对应点即可.ABCDO1.连结AO并延长到A'，使OA'＝OA，得到点A的对应点A'A′2.同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'.B′C′D′3.顺次连接点A'，B'，C'，D'.则四边形A'B'C'D'即为所作.想一想：如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，怎样求出它们的对称中心O？ABCA’B’C’观察：将下面的图形绕O点旋转180°，你有什么发现？ABOOOOOBACD如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点.下面哪些图形是中心对称图形?问题：我们平时见过的几何图形中，有哪些是中心对称图形？并指出对称中心.比较中心对称和中心对称图形的概念，试说明它们有何区别与联系.区别：中心对称是针对两个图形而言的，而中心对称图形是针对单个图形而言的.联系：如果把成中心对称的两个图形看成一个整体，则该图形为中心对称图形；如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，则它们成中心对称.中心对称图形随堂练习1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.角B.等边三角形C.线段D.平行四边形2.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形CA3.下列标志中，可以看做是中心对称图形的是（）D4.如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等.其中正确的有（）A.1个B．2个C．3个D．4个Do5.如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由;（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积.解：(1)AE∥BF，AE=BF；理由：∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，∴△ABC≌△FEC，∴AB=FE，∠ABC=∠FEC，∴AB∥FE，∴四边形ABFE为平行四边形，AE∥BF，AE=BF.(2)S四边形ABFE=4S△ABC=12cm2.课堂小结中心对称是针对两个图形而言的,中心对称图形是针对一个图形而言的.把一个图形绕着某一个点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。第3课时在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换沪科版九年级下册复习导入旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，得到另一个图形的变换，这样的图形变换称为旋转。中心对称的定义：在平面内，将一个图形绕着某一定点旋转180度，得到另一个图形，那么，我们就说这两个图形关于这个点成中心对称。旋转的性质：1.旋转不改变图形的大小和形状．2.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角．3.对应点到旋转中心的距离相等.4.旋转中心是唯一不动的点.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分，具有旋转的所有性质.旋转对称图形：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后，能够与原图_______，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是_________.重合旋转中心中心对称图形定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心.推进新课如图，△ABC的顶点坐标分别是A（2,1），B（0,0），C（2,0）.xyO12-2-112-2-1ABC（1）分别画出△ABC以点O（0,0）为旋转中心，在图（1）中旋转90°、在图（2）中旋转180°、在图（3）中旋转270°、在图（4）中旋转360°而得到的△A′B′C′；xyO12-2-112-2-1ABCA′C′B′xyO12-2-112-2-1ABCA′C′B′（1）（2）xyO12-2-112-2-1ABCA′C′B′（3）xyO12-2-112-2-1ABCA′C′B′（4）（2）给出点A′，B′，C′的坐标（填在下表中）：原图形上点的坐标A(2,1)B(0,0)C(2,0)按逆时针方向旋转后对应点坐标以点O为旋转中心旋转90°以点O为旋转中心旋转180°以点O为旋转中心旋转270°以点O为旋转中心旋转360°A′(-1,2)B′(0,0)C′(0,2)A′(-2,-1)B′(0,0)C′(-2,0)A′(1,-2)B′(0,0)C′(0,-2)A′(2,1)B′(0,0)C′(2,0)思考:分别比较点A′与点A、点B′与点B、点C′与点C的坐标，能得到怎样的结论？通过作图、分析能看到，把一个图形以点O为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果：原图形上任意一点坐标以点O为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点坐标旋转90°旋转180°旋转270°旋转360°（x，y）（-y，x）（-x，-y）（y，-x）（x，y）这里，把（x,y）变换成（x,y）的变换叫做恒等变换，即在平面直角坐标系中，一个图形绕点O作360°旋转是一个恒等变换.xyO12-2-112-2-1ABCA′C′B′应用巩固已知点A的坐标为(－2，1)，将点A绕着原点逆时针旋转90°，则点A的对应点A1的坐标是(___________)；绕着原点逆时针旋转180°，则点A的对应点A2的坐标是(___________)；绕着原点逆时针旋转270°，则点A的对应点A3的坐标是(__________)；绕着原点逆时针旋转360°，则点A的对应点A4的坐标是(__________)．－1，－22，－11，2－2，1已知如图，△ABC与△DEF关于原点O成中心对称，A（-1，2），C（-1，1），E（4，-3），则B、D、F的坐标分别为B（_____），D（_____），F（_____）.-4，31，-21，-1随堂练习1.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(－2,5)的对应点A′的坐标是（）A.(2,5)B.(5,2)C.(2,－5)D.(5,－2)B2．已知：如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以O为中心，把△EFO旋转180°，则点E的对应点E′的坐标为(_____________)．4，－23．如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：(1)作出关于AB所在直线的轴对称图形；(2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°；(3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．[解析](1)根据轴对称的概念先找到图形上的关键点关于AB所在直线的对称点，然后顺次连接起来即可；(2)将图形的各个顶点绕旋转中心O逆时针旋转90°后的对应点描出来，然后顺次连接起来即可；(3)根据自己的想象恰当地涂色．解：如图：[归纳]利用平移、轴对称、旋转等变换设计图案，一般都是先找“关键点”，再作关键点的对应点，然后顺次连接起来即可．平移轴对称旋转图形变换的基本方式有哪些？思考：我们可以将这些图形变换的方式组合起来吗？知识拓展你能利用上述方式设计出美丽的图案吗？课堂小结1.在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心把一个图形按逆时针方向旋转，原图上任意一点坐标(x，y)旋转特定角度后对应点的坐标如下表：旋转角度90°180°270°360°对应点坐标(x，y)________________________________(－y，x)(－x，－y)(y，－x)(x，y)2.把(x，y)变换成__________的变换叫做恒等变换．(x，y)课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。第24章圆24.2圆的基本性质圆的定义及与圆有关的概念（第1课时）学习目标1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题。问题：观察下列图片，找出共同的图形来.新课导入你还能举出生活中的圆的图形吗？如何画圆呢?用什么工具画圆?（用圆规或手中的棉线和铅笔画圆）．1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）3.旋转一圈（使铅笔心在纸上画出封闭曲线）4.用字母表示圆心、半径、直径。·rOP（1）圆的旋转定义在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆．点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.圆的概念1知识讲解固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．1.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于．2.到定点的距离等于定长的点都在．O·定长r同一个圆上问题从画圆的过程可以看出什么呢？ACErrrrrBD想一想：1.以1cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？（2）圆的集合定义平面内到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形．因此，圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是（2）圆的外部是到圆心的距离小于圆的半径r的所有点的集合到圆心的距离大于圆的半径r的所有点的集合由此可知：点和圆的位置关系有：1点P在圆上OP=r（图1）2点P在圆内OP‹r（图2）3点P在圆外OP›r（图3）（1）（2）（3）roP点与圆的位置关系21、正方形ABCD的边长为3cm，以Ａ为圆心，３cm长为半径作⊙Ａ，则点Ａ在⊙Ａ　　　，点Ｂ在⊙Ａ　　　，点Ｃ在⊙Ａ̲̲____　　　，点Ｄ在⊙Ａ　　　。　　　　2一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,则这个圆的半径是____cm.圆心圆上圆外圆上7或3练一练o•同圆的半径相等.圆的基本性质（1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AC）叫做直径．注意：（1）弦和直径都是线段.（2）直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.圆的有关概念3●OBCA图中的弦还有BC、AC.（2）弧·COAB圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（4）劣弧与优弧·COAB（3）半圆圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．(小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC;(大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC.(（5）等圆·O能够重合的两个圆叫做等圆（如图，⊙O与⊙O1）.·O1推出：等圆是两个半径相等的圆.（6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形。（7）弓形ABCD观察AD和BC是否相等？⌒⌒O想一想：长度相等的弧是等弧吗？例如图.(1)请写出以点B为端点的劣弧及优弧；(2)请写出以点B为端点的弦及直径；弦BD,AB,BE.其中弦AB又是直径.(3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 不唯一，如：弦DF,它所对的弧是.ABCEFDO劣弧：优弧：BF，(BD,(BC,(BE.(BFE,(BFC,(BCD,(BCF.(DF(1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．（2）图中有条直径，条非直径的弦，直径半径两三2.一点和⊙O上的最近点距离为6cm，最远距离为12cm,则这个圆的半径是.9cm或3cm随堂训练ABCDOFEGH3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(3)半圆是弧；(2)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(6)半圆是最长的弧；(5)直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧.(8)同心圆也是等圆.4．一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？如果不公平，你认为他们应排成什么样的队形才公平？不公平，应该站成圆形.5．一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域.5m参考答案：5mO4m·2cm3cm6.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.OABCDO证明：∵四边形ABCD为矩形，  ∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.7.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.圆定义旋转定义要素：圆心和半径集合定义同圆半径相等有关概念弦（直径）直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径弧半圆是特殊的弧劣弧半圆优弧同心圆等圆同圆等弧能够互相重合的两段弧课堂小结点与圆的位置关系谢谢大家第24章圆24.2圆的基本性质垂径分弦（第2课时）学习目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）新课导入宝宝要过生日了！妈妈买来了蛋糕，要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？在切蛋糕的过程中，你有什么发现？实践探究　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线（直径所在的直线），它有无数条对称轴．　1.圆的轴对称性知识讲解看一看B.OCAEDO.CAEBD当A、B两点关于直径不对称时：AE≠BE当A、B两点关于直径对称时：AE＝BE2.垂径定理及其推论问题1：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?线段:AE=BE；劣弧:AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒ ⌒⌒⌒⌒·OABCDE（1）垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，⌒⌒AC=BC，⌒⌒AD=BD.推导 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCABOC归纳·OABDCP已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOC=∠BOC.从而∠AOD=∠BOD.想一想：能不能用所学过的知识证明垂径定理？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（2）垂径定理的推论⌒⌒CD⊥AB,AC=BC,⌒⌒AD=BDCD是直径，AE=BE推导格式ＤＣＡＢＥＯ思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.提示：圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直.OABNDMC一条直线满足五个条件：①过圆心②垂直于弦③平分弦（非直径）④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③①②③④⑤知二推三总结：赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).RDOABC37.4m7.2m例在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的 计算题 一年级下册数学竖式计算题下载二年级余数竖式计算题 下载乘法计算题下载化工原理计算题下载三年级竖式计算题下载 时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：（2）弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC·拓展归纳随堂训练1.判断下列说法的正误(1)垂直于弦的直径平分这条弦.()(2)平分弦的直线必垂直弦.(3)弦的垂直平分线是圆的直径.()()(4)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm3.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°，则弦AC=. 4.已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为.14cm或2cm5.在直径为40mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=32mm，则油的最大深度是.328mmBCD6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？.ACDBOE解：AC＝BD.理由如下：过点O作OE⊥AB，垂足为点E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.·OABECD解：连接OA.∵CE⊥AB于D，设OC=xcm，则OD=（x-2）cm.根据勾股定理，得解得x=5.即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，7.如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长. 课堂小结垂径定理定理推论辅助线一条直线满足五个条件:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧两类辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.谢谢大家第24章圆24.2圆的基本性质圆心角、弧、弦、弦心距间的关系（第3课时）学习目标1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理证明并利用其解决相关问题.（重点）3.理解圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的意义.（难点）新课导入圆是中心对称图形..OAB180°观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？Oα圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.·一、圆心角知识讲解OABM1.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.任意给定圆心角，对应出现三个量：圆心角弧2.圆心角∠AOB所对的弧为AB.⌒弦想一想：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.①②③④圆内角圆外角圆心在圆周上圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．∠AOB=∠CODAB=CD⌒⌒AB=CD二、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理ABODCEFOE=OF想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不可以，如图.ABODC在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．三、圆心角、弧、弦、弦心距间关系定理的推论弦心距相等例1已知：如图，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上.求证：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．证明连接OA、OB、OC.∵AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠COA=×360°=120°例2如图，AB、CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且CE∥AB，为40°，求∠BOD的度数.解连接OE.∵为40°，∴∠COE=40°.∵OC=OE，∴∠C=∵CE∥AB，∴∠AOD=∠C=70°∴∠BOD=180°-70°=110°随堂训练1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么_________，_____________．（2）如果，那么_________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_________，_______．AB=CDAB=CDAB=CD((∠AOB=∠COD∠AOB=∠CODAB=CD((AB=CD((2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于　.60°·CABDO本题答案不唯一哦！3.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则∠COD的度数是()A．36°B．72°C．108°D．48°A4.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则AB与CD的关系是（）⌒⌒⌒⌒AA.AB=2CD⌒⌒B.AB>CD⌒⌒C.AB<CD⌒⌒D.不能确定5.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC.求证:AB＝CD..CABDO6.如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD=CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？AD解:BE=CE.理由：∵∠AOD=∠BOE，∴AD=BE.又∵AD=CE，∴AD=CE.∴BE=CE.⌒⌒⌒⌒·EBCO课堂小结圆心角弦、弧、圆心角的关系定理及推论定义：顶点在圆心的角特别提示①要注意前提条件；②要灵活转化在同圆或等圆中圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等谢谢大家第24章圆24.2圆的基本性质圆的确定（第4课时）学习目标1.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用.（重点）2.了解三角形的外接圆、三角形外心的概念和三角形外心的性质.（重点）3.理解反证法，证明一些用直接证法比较困难的命题.（难点）1、过一点可以作几条直线？2、过几点可确定一条直线？过几点可以确定一个圆呢？新课导入思考1经过一个已知点A能确定一个圆吗?A.经过一点可作无数个圆.探究新知一、确定圆的条件思考2经过两个已知点A，B能确定一个圆吗?A·B·经过两个已知点A、B所作的圆的圆心有什么特点?过已知点A，B作圆,可以作无数个圆.1.经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.2.以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.●A●B●O●O●O●O结论：ABC思考3过如下三点能不能作一个圆?为什么?结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆···已知：不在同一直线上的三点A，B，C，求作：⊙O使它经过点A，B，C.作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN.2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O.3.以O为圆心，OB为半径作圆.⊙O就是所求作的圆.ONMFEABC经过不在一条直线上三个点A、B、C能确定一个圆吗？思考4不在同一直线上的三点确定一个圆···现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？方法:1.在圆弧上任取三点A，B，C.2.作线段AB，BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.3.以点O为圆心，OC的长为半径作圆.⊙O即为所求.ABCO练一练定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点。CABO二、三角形的外接圆三角形外接圆的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.试一试请画出以下三角形的外接圆。ABC●OABCCAB┐●O●O（图一）（图二）（图三）比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？思考锐角三角形的外心位于三角形内.直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O重要结论某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A，B，C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？●●●BAC跟踪训练推出与已知条件矛盾，或者与学过定义、公理、定理等矛盾.证明时不是直接从题设推出结论，而是先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定不成立，这种证明方法叫做反证法.三、反证法反证法的一般步骤:（1）假设命题结论不成立.假设不成立（即命题结论反面成立）与已知条件矛盾反设（2）推理与定理，定义，公理矛盾（3）所证命题成立求证:在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.已知:如图，l1∥l2，l2∥l3求证：l１∥l３l２l１l３∵l１∥l２，l２∥l３，则过点p就有两条直线l１、l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p.p所以假设不成立，所求证的结论成立，即l１∥l３.1.判断：（1）经过三点一定可以作圆（）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点（）（3）三角形的外心到三边的距离相等（）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内（）√×××2.三角形的外心具有的性质是（）A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.B随堂训练3.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　）A．点PB．点QC．点RD．点MB4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是_________，半径是______．（5，2）5.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数．解：∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC.∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°，∴∠OCA＋∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°.6.已知△ABC内接于⊙O，AB=16cm，且sinC＝0.8，求⊙O的半径的长.DABCO解：过A作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°。∵∠D＝∠C，∴sinD＝sinC＝0.8。在Rt△ABD中，sinD＝∴AD＝∴⊙O的半径为10cm.1.确定圆的条件不在同一直线上的三点圆心、半径3.锐角三角形在三角形的内部直角三角形--外心的位置---在斜边上钝角三角形在三角形的外部课堂小结2.三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。谢谢大家第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角学习目标1.了解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.（难点）2.掌握圆周角定理及推论，并运用它们解决简单的几何问题.（重点）3.探索“圆周角与圆心角的关系”，通过转化来解决一般问题的方法.（难点）1、什么叫圆心角？2、圆心角的度数与它所对的弧的度数有什么关系？3、请同学们画一个圆并画圆心角。OABOABP问题：当∠AOB的顶点O运动时，顶点与圆的位置关系会产生哪几种情况？请你画出图来加以说明。OABPABPO旧知回顾一、圆周角知识讲解定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）ABCO顶点在圆内顶点在圆外圆周角圆心角·COABCOBCABABCOABCOBAA想一想：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）C（4）边AC没有与圆相交圆周角O二、圆周角定理及其推论想一想：1.图中圆心角∠BOC与圆周角∠BAC存在怎样的数量关系.2.是不是所有的圆心角和圆周角都符合这个数量关系呢？需要满足什么样的条件呢？ABCO（1）当圆心O在∠BAC的一边上时（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠CABCOOABDOAC（2）圆心O在∠BAC的内部时CODO（3）当圆心O在∠BAC的外部时AB圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。想一想：怎样证明等弧所对的圆周角相等呢？通过一道题目来探讨一下.A1A2A3ABCO如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？⌒ ⌒⌒⌒解：∠1=∠2.推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.想一想：如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边形ABCD的对角线.若AC是半圆，∠ADC=，∠ABC=.90°90°若AC是直径，例如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=600，∠ADC=700，求∠APC的度数.解：连接BC,∠ACB﹦90°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=900-600=300。又∵∠BAD=∠BCD=300，∴∠APC=∠BAD+∠ADC=300＋700=1000。ＡＢＣＤOP.随堂训练1.判断：（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等.（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等.（）（3）90°的角所对的弦是直径.（）（4）同弦所对的圆周角相等.（）√×××2.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB=（）A.70°B.110°C.90°D.120°ACBODEB3.如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，∠ABD=40°，则∠BCD=＿＿＿.50°4.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,∠ABC=47°，则∠AOB=．ABOCDBACO166°5.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB=，∠ADB=.DAOCB130°50°6.如图，△ABC的顶点A，B，C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是.CABO解析：连接OA，OB.∵∠C=30°，∴∠AOB=60°.又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形.∴OA=OB=AB=2，即⊙O的半径为2.27.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；解：AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解：当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．8.如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解，即“见直径得直角”.归纳课堂小结圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半1.在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）谢谢大家第24章圆24.3圆周角圆内接多边形的定义及其性质定理（第2课时）学习目标了解圆的内接多边形的概念；理解圆内接四边形及其性质，并应用性质来解题.（重难点）ABCODABCOD如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上知识讲解1、圆内接多边形一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.猜想：∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.证明：连接OB，OD.∵∠A所对的弧为，∠C所对的弧为，又和所对的圆周角的和是周角，∴∠A+∠C=360°÷2=180°.同理∠B+∠D=180°.2、圆内接四边形的性质CODBA∵∠A＋∠DCB＝180°，E∠DCB＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？思考圆内接四边形：任何一个外角都等于它的内对角.如图，A、B、C、D都在⊙O上，（１）指出图中内接四边形的外角及其内对角。（２）∠ABC＋（_____）＝180°，∠CBG＝（_____）。CBOADG·EF∠CDA∠CDA练一练随堂训练1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)A．120°B．100°C．80°D．60°A2、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°,则∠BAD=,∠BCD=.ABCDO3、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=∠B=∠C=∠D=50º130º60º90º120º90º4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=75º，则∠BOD=150ºABCDOE设A=2x,则C=4x.∵A+C=180º,∴x=30º.圆内接四边形的性质定理：（1）对角互补;（2）任何一个外角都等于内对角.课堂小结谢谢大家第24章圆24.4直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系及其切线的性质(第1课时)学习目标1.了解直线和圆的位置关系.2.理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系.(重点）3.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算.(难点）4.在直线与圆相切的情况下理解切线的性质.（重点）1、点与圆有哪几种位置关系?点与圆有三种位置关系:点在圆上、点在圆内、点在圆外。2、点与圆的位置关系是如何判断的？比较点到圆心的距离与半径的大小关系得到旧知回顾太阳要从天边升起来了,便不转眼地望着那里.果然过了一会儿,在那个地方出现了太阳的小半边脸,红是真红,却没有亮光.这个太阳好像负着重荷似地一步一步,慢慢地努力上升,到了最后,终于冲破了云霞,完全跳出了海面,颜色红得非常可爱.---摘自巴金《海上日出》新课导入探究问题1如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？知识讲解问题2根据上面的观察发现：直线与圆的位置关系可以分为几类？你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸上画出来. 直线与圆的位置关系图形公共点个数公共点名称直线名称2个交点割线1个切点切线0个相交相切相离位置关系公共点个数1.直线与圆的位置关系直线和圆相交d<r直线和圆相切d=r直线和圆相离d>rrd∟rd∟rd位置关系数量关系（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来区分）ooo直线与圆的位置关系的性质与判定：位置关系数量关系.1.已知圆的半径为5cm，设直线和圆心的距离为d：（3）若d=7cm，则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.（2）若d=5cm，则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.（1）若d=3cm，则直线与圆　　　,直线与圆有____个公共点.(3)若AB和⊙O相交,则.2.已知⊙O的半径为6cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围:(1)若AB和⊙O相离,则;(2)若AB和⊙O相切,则;相交相切相离d>6cmd=6cm0cm≤d<6cm210练一练判定直线与圆的位置关系有两种方法：1.直接根据定义，判断直线和圆的交点数；2.判断直线与圆心的距离d与半径r的大小关系.圆的切线垂直于过切点的半径.如图∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,∴CD⊥OA.CDB●A2.切线的性质定理O例如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°.(1)以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？(2)以点C为圆心，半径r分别为4cm,5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？ACB解：(1)过点C作边AB上的高CD.D∵∠A=30°，AB=10cm,在Rt△BCD中，有当半径为时，AB与☉C相切.随堂训练直线与圆最多有两个公共点.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.若A是☉O上一点，则直线AB与☉O相切.④若C为☉O外一点，则过点C的直线与☉O相交或相离.⑤直线a和☉O有公共点，则直线a与☉O相交.√××××1.判断对错2．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（）A.r<5B.r>5C.r=5D.r≥53.⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相交或相切B.相交或相离C.相切或相离D.上三种情况都有可能BA4.Rt△ABC中,∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？BCAD453当r=2.4cm或3cm＜r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.当2.4cm＜r≤3cm时,⊙C与线段AB有两公共点.BCA435.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm．分析：要确定AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d.Dd解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=d.在△ABC中，AB=5.根据三角形的面积公式有∴即圆心C到AB的距离d=2.4cm.所以(1)当r=2cm时,有d>r,因此⊙C和AB相离.BCA43Dd注意：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.（2）当r=2.4cm时,有d=r.所以⊙C和AB相切.BCA43Dd（3）当r=3cm时，有d<r，所以⊙C和AB相交.BCA43Dd ol1l2ABCl2解：（1）l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2（cm）（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16（cm）课堂小结直线与圆的位置关系定义性质判定相离相切相交公共点的个数d与r的数量关系定义法性质法注意：在图中若没有d，要先作出该垂线段相离:0个相切：1个相交：2个相离:d>r相切:d=r相交:d<r0个：相离；1个：相切；2个：相交d>r：相离d=r:相切d<r：相交谢谢大家第24章圆24.4直线和圆的位置关系切线的判定定理（第2课时）学习目标1.判定一条直线是否为圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理.（重点）3.能运用圆的切线的判定定理解决问题.（难点）问题：下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？新课导入砂轮上打磨工件时飞出的火星一.切线的判定定理知识讲解ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1）圆心O到直线AB的距离与圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？Ｏ经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC⊥OA于点ABC为⊙O的切线ＯABC1.切线的判定定理2.应用格式归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。lAlOlrd说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。　　下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：　　　　　　　　定理辨析例1直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线.证明:连接OC，∵OA=OB,CA=CB，∴△OAB是等腰三角形,OC是底边AB上的中线，∴OC⊥AB，且点C在圆上，∴AB是⊙O的切线.OCBA这种证明切线的方法简记为：“有交点，连半径，证垂直”注意：使用此方法时必须已知直线与圆有一公共点.证明：连接OP，∵AB为直径，∴OB=OA，BP=PC，∴OP∥AC.又∵PE⊥AC，∴PE⊥OP，且点P在圆上,∴PE为⊙0的切线.△ABC中，以AB为直径的⊙O，交边BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E,求证:PE是⊙O的切线.OABCEP变式练习例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O，求证：⊙O与AC相切.OABCED证明：过O作OE⊥AC于E,∵AO平分∠BAC，OD⊥AB,∴OE＝OD.∵OD是⊙O的半径,∴AC是⊙O的切线.与例1比较，你发现了什么？小结例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：知交点，连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点，作垂直,证半径。OBACOABCED随堂训练1.判断下列命题是否正确.⑴经过半径外端的直线是圆的切线.⑵垂直于半径的直线是圆的切线.⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）（）（）（）（）××2、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切.证明：连接OE，过O作OF⊥CD，垂足为F，　∵AB与小圆O切于点点E，∴OE⊥AB．　又∵AB=CD，　∴OF=OE，又OF⊥CD，　∴CD与小圆O相切．3.已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．课堂小结切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.谢谢大家第24章圆24.4直线和圆的位置关系切线长定理第3课时学习目标1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点）2.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点）新课导入O.PAB问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知