【数学】江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2020届高三第二次调研考试数学试题及答案

参考答案与评分 建议 关于小区增设电动车充电建议给教师的建议PDF智慧城市建议书pdf给教师的36条建议下载税则修订调整建议表下载 第1页（共10页）数学二模参考答案及评分建议一、填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：每小题5分，共计70分．1．92．53．104．525．236．π67．158．139．210．1311．812．ln613．42714．1，注：第12题凡是写成“In6”，一律算错，0分二、解答题：15．（本小题满分14分）解：（1）因为向量cossin，a，ππcossin44，b，所以2baaaba„„2分22ππcoscossinsincossin44„„4分πcos14212．„„6分（2）因为11，c，所以bcππcos1sin144，．因为bc∥a，所以ππcos1sinsin1cos044．„„9分于是ππsincossincoscossin44，从而ππ2sinsin44，即π1sin42．„„12分因为π02，所以πππ444．于是ππ46，即5π12．„„14分注：本题出现π02，就不扣分；没出现π02或πππ444，扣2分16．（本小题满分14分）证明：（1）取AB的中点D，连结PDCD，．在△1ABB中，因为PD，分别为1ABAB，中点，所以1PDBB∥，且112PDBB．在直三棱柱ABCA1B1C1中，11CCBB∥，11CCBB．因为Q为棱1CC的中点，所以1CQBB∥，且112CQBB．„„3分于是PDCQ∥，PDCQ．所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQCD∥．„„5分又因为CDABC平面，PQABC平面，所以PQABC∥平面．„„7分参考答案与评分建议第2页（共10页）（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，1BBABC⊥平面．又CDABC平面，所以1BBCD⊥．因为CACB，D为AB中点，所以CDAB⊥．„„10分由（1）知CDPQ∥，所以1BBPQ⊥，ABPQ⊥．„„12分又因为1ABBBB，11ABABBA平面，111BBABBA平面，所以11PQABBA⊥平面．„„14分注：本题用11CDABBA⊥平面，CDPQ∥的，扣4分17．（本小题满分14分）解：（1）记椭圆E的焦距为2c（0c）．因为右顶点0Aa，在圆C上，右准线2axc与圆C：2231xy相切．所以22230131aac，，解得21ac，．于是2223bac，所以椭圆方程为：22143yx．„„4分（2）法1：设NNMMNxyMxy，，，，显然直线l的斜率存在，（不写不扣分）设直线l的方程为：2ykx．由方程组222143ykxyx，消去y得，2222431616120kxkxk．所以221612243Nkxk，解得228643Nkxk．„„6分由方程组22231ykxxy，，消去y得，2222146480kxkxk，所以224+821Mkxk，解得222+41Mkxk．„„8分因为127ANAM，所以12227NMxx．„„10分即22121227431kk，解得1k，„„12分所以直线l的方程为20xy或20xy．„„14分法2：设NNMMNxyMxy，，，，当l与x轴重合时，不符题意．（不写不扣分）设直线l的方程为：20xtyt．由方程组222143xtyyx，消去x得，2234120txty，所以参考答案与评分建议第3页（共10页）21234Ntyt．„„6分由方程组22231xtyxy，消去x得，22120txty，所以221Mtyt．„„8分因为127ANAM，所以127NMyy．„„10分即22121227341tttt，解得1t，„„12分所以直线l的方程为20xy或20xy．„„14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为23ADEABCSS△△，△ABC是边长为3的等边三角形，又ADx，所以2121sin=3sin23323ADAE，所以6AEx．„„2分由03603ADxAEx≤，≤，得23x≤≤．„„4分法1：在ADE△中，由余弦定理，得22222362cos63DEADAEADAExx．直道DE长度y1关于x的函数关系式为21236623yxxx，，．„„6分在ADM△和AEM△中，由余弦定理，得2222cosADDMAMDMAMAMD①2222cosAEEMAMEMAMAMD②„„8分因为M为DE的中点，所以12DMEMDE．由①+②，得22222221222ADAEDMEMAMDEAM，所以222226136622xxAMxx，所以2229342xAMx．直道AM长度y2关于x的函数关系式为222932342xyxx，，．„10分法2：因为在ADE△中，DEAEAD，所以2222222663622cos63DEAEAEADADxxxxxx．直道DE长度y1关于x的函数关系式为21236623yxxx，，．„6分DAE（第18题）MCB参考答案与评分建议第4页（共10页）在△ADE中，因为M为DE的中点，所以12AMADAE．„„8分所以2222211362644AMADAEADAExx．直道AM长度y2关于x的函数关系式为222932342xyxx，，．„10分（2）由（1）得，两条直道的长度之和为2212223693+642xDEAMyyxxx2222369326242xxxx≥„„12分3262（当且仅当22223694xxxx，即6x时取“”）．„„14分答：当6AD百米时，两条直道的长度之和取得最小值3262百米．16分19．（本小题满分16分）解：（1）①当k1时，f(x)=x22lnx(kR)，所以2110xxfxxx，令0fx，得x1，„„2分列表如下：所以函数()fx在x1处取得极小值，极小值为1，无极大值（不写不扣分）．„„4分②设x0是函数()fx的一个“F点”00x．因为2210kxfxxx,所以x0是函数()fx的零点．所以0k，由00fx，得20011kxxk，，由00()fxx，得20002lnkxxx，即00+2ln10xx．„„6分设+2ln1xxx，则21+0xx，所以函数+2ln1xxx在0+，上单调增，注意到10，所以方程00+2ln10xx存在唯一实根1，x(01)，1(1)，()fx-0+()fx↘极小值↗参考答案与评分建议第5页（共10页）所以01=1xk，得1k，„„8分根据①知，1k时，1x是函数()fx的极小值点，所以1是函数()fx的“F点”．综上，得实数k的值为1．„„9分（2）因为g(x)ax3bx2cx(a，b，c∈R，a≠0)所以2320gxaxbxca．又因为函数g(x)存在不相等的两个“F点”x1和x2，所以x1，x2是关于x的方程232=00axbxca的两个相异实数根．所以21212412023.3bacbxxacxxa△，，又g(x1)ax13bx12cx1x1，g(x2)ax23bx22cx2x2，所以g(x1)g(x2)=x1x2，即(ax13bx12cx1)(ax23bx22cx2)=x1x2，从而(x1x2)[a(x12x1x2+x22)+b(x1x2)+c]=x1x2．因为12xx，所以21212121axxxxbxxc，„„11分即2221333bcbabcaaa．所以2239acba．„„13分因为|g(x1)g(x2)|≥1，所以221212121224433bcgxgxxxxxxxaa224321.9bacaa≥解得20a≤．所以，实数a的取值范围为20，．„„16分（2）（解法2）因为g(x)ax3bx2cx(a，b，c∈R，a≠0)所以2320gxaxbxca．又因为函数g(x)存在不相等的两个“F点”x1和x2，所以x1，x2是关于x的方程组23232=0axbxcaxbxcxx，的两个相异实数根．由32axbxcxx得2010xaxbxc，．„„11分（2．1）当0x是函数g(x)一个“F点”时，0c且23bxa．参考答案与评分建议第6页（共10页）所以2221033bbabaa，即292ab．又12122013bgxgxxxa≥，所以2249ba≥，所以2929aa≤．又a≠0，所以20a≤．„„13分（2．2）当0x不是函数g(x)一个“F点”时，则x1，x2是关于x的方程2232=010axbxcaxbxc，的两个相异实数根．又a0，所以2313bbcc，，得032bc，.所以212ax，得1212xa，．所以12121212gxgxxxa≥，得20a≤．综合（2．1）（2．2），实数a的取值范围为20，．„„16分20．（本小题满分16分）解：（1）设等比数列na的公比为q，因为11a，418a，所以318q，解得12q．所以数列na的通项公式为：112nna．„„3分（2）由（1）得，当2nnN，≥时，111122nnnbS，①所以，11122nnnbS，②②－①得，11122nnnbb，„„5分所以，1111122nnnnbb，即111nnnnbbaa，2nnN，≥．„„7分因为11b，由①得，20b，所以2121011bbaa，所以111nnnnabab，nN．所以数列nnba是以1为首项，1为公差的等差数列．„„8分参考答案与评分建议第7页（共10页）（3）由（2）得bnan=n－2，所以bn=n－22n-1，Sn=－2(an+1+bn+1)=－2(12n+n－12n)=－n2n-1.假设存在等差数列{cn}，其通项cn=dn+c，使得对任意Nn，都有Sn≤cn≤an，即对任意Nn，都有－n2n-1≤dn+c≤12n-1.③„„10分首先证明满足③的d=0.若不然，d≠0，则d＞0，或d＜0.(i)若d＞0，则当n＞1－cd，Nn时，cn=dn+c＞1≥12n-1=an，这与cn≤an矛盾.(ii)若0d，则当n＞－1+cd，Nn时，cn=dn+c＜－1.而Sn+1－Sn=－n+12n+n2n-1=n－12n≥0，S1=S2＜S3＜„„,所以Sn≥S1=－1.故cn=dn+c＜－1≤Sn，这与Sn≤cn矛盾.所以d=0.„„12分其次证明：当x≥7时，f(x)=(x－1)ln2－2lnx＞0.因为f′(x)=ln2－1x＞ln2－17＞0，所以f(x)在[7，+∞)上单调递增，所以，当x≥7时，f(x)≥f(7)=6ln2－2ln7=ln6449＞0.所以当n≥7，Nn时，2n-1＞n2.„„14分再次证明c=0.(iii)若c＜0时，则当n≥7，n＞－1c，n∈N*，Sn=－n2n-1＞－1n＞c，这与③矛盾.(iv)若c＞0时，同(i)可得矛盾.所以c=0.当0nc时，因为1012nnnS≤，1102nna，所以对任意Nn，都有Sn≤cn≤an．所以0ncnN，．综上，存在唯一的等差数列{cn}，其通项公式为0ncnN，满足题设．„16分参考答案与评分建议第8页（共10页）数学Ⅱ（附加题）21A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：因为1AAE，所以0102100001ab，即0100201ba．所以121ba，，解得121ab，.所以01102A．„„4分设Pxy，为曲线C1任一点，则2214xy，又设Pxy，在矩阵A变换作用得到点Qxy，，则01102xxyy，即2yxxy，所以2yxxy，，即2xyyx，.„6分代入2214xy，得221yx，所以曲线C2的方程为221xy．„„10分B．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，于是曲线C：(0)rr的直角坐标方程为222xyr，表示以原点为圆心，半径为r的圆．„„3分由直线l的方程cos24，化简得coscossinsin244，所以直线l的直角坐标方程方程为20xy．„„6分记圆心到直线l的距离为d，则222d，又2222ABrd，即2279r，所以3r．„„10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为2222222111xyzxyz，所以2222222221111111111111xyzxyzxyz．„„5分由柯西不等式得，2222222222222111111111111xyzxyzxyzxyzxyz≥．所以22222111xyzxyz≤．参考答案与评分建议第9页（共10页）所以2222111xyzxyz≤．„„10分22．（本小题满分10分）解：（1）记2家小店分别为AB，，A店有i人休假记为事件012iAi，，，B店有i人休假记为事件012iBi，，，发生调剂现象的概率为P．则2000211C24PAPB，2111211C22PAPB，2222211C24PAPB．（没有上面说明扣2分）所以02201111144448PPABPAB．答：发生调剂现象的概率为18．„„4分（2）依题意，X的所有可能取值为012，，．„„5分则2211104416PXPAB，„„6分122111111142244PXPABPAB，„„7分11112101116416PXPXPX．„„8分所以X的分布表为：所以111113210164168EX．„„10分23．（本小题满分10分）解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：10，，01，，01，，10，，它们的范数依次为1111，，，，故2244AB，．„„3分（2）当n为偶数时，在向量123nxxxx，，，a的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：131n，，，进行讨论：a的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或1，共有11C2nn个，每个a的范数为1n；a的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或1，共有33C2nn个，每个a的范X012P116141116参考答案与评分建议第10页（共10页）数为3n；„a的n个坐标中含1n个0，其余坐标为1或1，共有1C2nn个，每个a的范数为1；所以11331C2C2C2nnnnnnnA，113311C23C2C2nnnnnnnBnn．„„6分因为0112221C2C2C2Cnnnnnnnnn，①0112221C2C2C2(1)Cnnnnnnnnnn，②2①②得，113331C2C22nnnnn，所以312nnA．„„8分解法1：因为11!!CC!!!1!kknnnnnknknnknkknk，所以113311C23C2C2nnnnnnnBnn．11331111C2C2C2nnnnnnn123411112C2C2Cnnnnnnn11312312nnnn．„„10分解法2：2①②得，022C2C2nnnn312n．又因为111!!CC!!1!!kknnnnkknnknkknk，所以113311C23C2C2nnnnnnnBnn．1133111331C2C2C2C23C21C2nnnnnnnnnnnnnn01232111C2C2C2nnnnnnnnAn1131313122nnnnn．„„10分