数学：鸟头模型

五年级数学星队秋季班第三讲鸟头模型例1鸟头模型：（1）如下左图，三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，2ABAD，3ACAE；请问：三角形ABC的面积是三角形ADE面积的几倍？（2）如下中图，三角形ABC中，E是AC上的点，D是BA延长线上的点，2ABAD，3ACAE；请问：三角形ABC的面积是三角形ADE面积的几倍？（3）如下右图，三角形ABC中，D、E分别是BA、CA延长线上的点，2ABAD，3ACAE；请问：三角形ABC的面积是三角形ADE面积的几倍？【答案】6【解析】连接BE，根据等高模型12ADEABESADSAB△△；同时EDCBAEDCBAEDCBA13ABEABCSAESAC△△，故有111236ADEADEABEABCABEABCSSSADAESSSABAC△△△△△△，即三角形ABC的面积是三角形ADE面积的6倍.练一练鸟头模型（注意与例1相比有何变化）：（1）如图，三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，1AD，5DB，3AE，4EC；已知三角形ADE的面积为1，请求出三角形ABC的面积.【答案】14【解析】根据鸟头模型，131153414ADEABCSADAESABAC△△，故14ABCS△.（2）如图，三角形ABC中，E是AC上的点，D是BA延长线EDCBA上的点，1AE，2AD，3EC，4AB；如果三角形ABC的面积是12，请问：三角形ADE的面积是多少？【答案】1.5【答案】根据鸟头模型，2114138ADEABCSADAESABAC△△，EDCAB故131282ADES△.例2（1）如图，ABCD和DEFG都是正方形，请问：三角形ADG与三角形CDE的面积之比是多少？【答案】1:1【解析】三角形ADG与CDE中，角ADGGFEDCBA与角CDE互补（3609090180ADGCDE），故根据鸟头模型，两三角形的面积之比等于对应夹边之比的乘积（即ADGCDESADGDSCDED△△）；但由于ABCD和DEFG都是正方形，故知ADCD，GDED，故知1:1ADGCDESS△△.（2）如图，园林小路由白色正方形石板和红、绿两色的三角形石板铺成.问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈绿色三角形石板的总面积大？【答案】一样大【解析】本题即为上一小题的多次重复；每一个红色三角形，均和与其有公共顶点的绿色三角形面积相等，故知SS红青.（3）如图，以直角三角形的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED，连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知4AB厘米，3AC厘米，求六边形DEFGHI的面积.【答案】74平方厘米【解析】根据勾股定理可求得5BC厘米，故三个正方形的面积分别是9平方厘米、16平方厘米、25平方厘米；三角形ABC的面积IHGFEDCBA为3426平方厘米，而根据书中例3第（1）题，可用鸟头模型证明三角形AGH、BID、CEF都与三角形ABC的面积相等，故总面积为916256474平方厘米.例3隐藏的鸟头：四边形ABCD中，AB与BC垂直，各边长度已在图中标出，请求出三角形ABD与三角形BCD的面积比.【答案】1:7【解析】连接AC，则根据勾股定理2225550AC，而22221750ADCD，故知222ACADCD，故角ADC亦为直角；进而3609090180AC，所以可以对三角形ABD和三角形BCD使用鸟头模型公式：7551DCBA151757ABDBCDSADABSCDCB△△.例4旋转型多鸟头问题：（1）已知三角形DEF的面积为7平方厘米，ADDB，2BEEC，3CFFA，求三角形ABC的面积.【答案】24平方厘米FEDCBA【解析】本题需运用三次鸟头模型：111248ADFABCSADAFSABAC△△；121233BDEABCSBDBESBABC△△；131344CEFABCSCECFSCBCA△△，故知1117183424DEFABCABCSSS△△△，所以7724ABCS△24平方厘米.（2）如图，四边形ABCD的面积是10平方米，EAAB，FBBC，GCCD，HDDA，求四边形EFGH的面积.【答案】50平方米【解析】连接AC，可见111212ABCEBFSBABCSBEBF△△，即2EBFABCSS△△，同理可得2GDHCDASS△△，两式相加可得HGFEDCBA220EBFGDHABCDSSS△△平方米；连接BD，类似地可以证得220EAHGCFABCDSSS△△平方米；故20201050EFGHS平方米.（3）如图，ABCDEF是正六边形，将各边延长两倍至点G、H、I、J、K、L，请求出六边形GHIJKL与正六边形ABCDEF的面积比.【答案】7:1LKJIHGFEDCBA【解析】连接AC，则易证6ABCDEFABCSS△；由鸟头模型公式，326111GBHABCSBGBHSBABC△△，故知6GBHABCABCDEFSSS△△，又根据图形的对称性可知：三角形LAG、KFL、JEK、IDJ、HCI的面积均与正六边形ABCDEF的面积相等，故71GHIJKLABCDEFSS.练一练如图在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，且:2:5ADDB，:3:5BEEC，:2:3CFFA；若三角形DEF的面积为43.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？【答案】140【解析】类似第二单元例题，使用三次鸟头模型公式：FEDCBA2367535ADFABCSADAFSABAC△△；53157856BDEABCSBDBESBABC△△；521854CEFABCSCECFSCBCA△△，故知615187135564280DEFABCABCSSS△△△，所以8743.5140280ABCS△平方厘米.例5如图，三角形ABC面积为1，延长BA至D，使DAAB；延长CA至E，使2EAAC；延长CB至F，使3FBBC，求三角形DEF的面积.【答案】7【解析】122ADEABCSADAESABAC△△，3412CEFABCSCECFSCACB△△，236DBFABCSBDBFSBABC△△，故1FEDCBADEFADECEFDBFABCSSSSS△△△△212617.例6两种特殊的鸟头模型：下左图就是“沙漏模型”；AB与CD是平行线，AC与BD交于点O（为了更好地分析题目，右图连接了AD与BC）；已知::OAOCab，（1）根据已知条件，盛盛写出了比例式：::OABOCBSSab△△；你还能写出哪些关于“沙漏模型”的比例式呢？:ABCD:.（2）:OABOCDSS△△:.【答案】（1）比值为ab的线段比例：::::OAOCOBODABCDab；比值为ab的面积比例：第一组：::OABOCBOADOCDSSSS△△△△::ABDCBDSSab△△；ODCBAODCBA第二组：::OABOADOCBOCDSSSS△△△△::ABCADCSSab△△；相等的三角形：:1:1OADOBCSS△△；（2）比值为22ab的三角形（最小和最大三角形）22::OABOCDSSab△△【解析】（1）观察右图，根据等高模型，::ABDCDBABCDSS△△，但根据风筝模型，:::ABDCDBSSOAOCab△△，故::ABCDab.（2）根据鸟头模型，:OABOCDOAOBSSOCOD△△22:aaabbb.有了“沙漏模型”的基础，下面我们来看一看下左图的“金字塔模型”，图中AB与CD是平行线，CA与DB交于点O（为了更好地分析题目，右图连接了AD与BC）；（3）你能用面积证明::OAOCOBOD吗？（4）若已知::OAOCab，那么你还能写出哪些金字塔模型中的比例式呢？（5）若已知::OAOCab，那么:ABCD.【答案】（3）根据等高模型，::OABOCBOAOCSS△△；又因为AB与CD平行，故ACBADBSS△△，从而有OCBODASS△△，故::OABOCBOAOCSS△△ODCBAODCBA::OABODASSOBOD△△.（4）、（5）比值为ab的线段比例：::::OAOCOBODABCDab；由此可推出：::OAACOBBD；比值为ab的面积比例：第一组：::OABOCBOADOCDSSSS△△△△::ABDCBDSSab△△；第二组：::OABOADOCBOCDSSSS△△△△::ABCADCSSab△△；相等的三角形：:1:1OADOBCSS△△（不要求记住）；比值为22ab的三角形（最小和最大三角形）：22::OABOCDSSab△△【解析】（5）::ABCADCABCDSS△△，根据风筝模型的推广形式，这个比等于:BODO等于:OAOC等于:ab.例7如图，三角形ABC的面积是30平方米，D、E、F、G分别是AB、AC上的三等分点，EG与CD相交于点O.请求出阴影部分的面积.【答案】20平方米【解析】易见E、O、G分别是DB、DC、FC的中点，故111224DEOCGODBCCFDSSSS△△△△，所以34EBCOGFDODBCCFDSSSS△△，所以34DBCFSS阴影；DBCF的面积占OGFEDCBA整体面积的份数：在鸟头ADF-ABC中，1133ADFABCSADAFSABAC△△19，故89DBCFABCSS△；综上，8323020943ABCSS△阴影平方米.例8如图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形拼在一起，那么阴影三角形的面积是多少？【答案】16.2平方厘米【解析】分析鸟头ABC-AHO可知：三角形ABC的面积易求，为1212272平方厘米，故只需求出H、O两点在AB、AC上的位置，便可用鸟头模型求出阴影三角形的面积.OHGFEDCBA在沙漏ADGB中，32HAADHBBG，故知35AHAB；在沙漏ADGC中，35OAADOCCG，故知38AOAC；所以鸟头ABC-AHO中，3395840AHOABCSAHAOSABAC△△，9817216.2405AHOS△平方厘米.