考研高数数学讲义

1第一篇高等数学第一章函数、极限与连续一、大纲内容与要求【大纲内容】函数的概念及 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0sinlim1xxx，1lim1exxx.函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质.【大纲要求】1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.2二、知识网络极限概念“N”定义“X”定义“”定义极限性质唯一性有界性保号性数列整体有界函数局部有界极限存在准则两个重要的极限函数的连续性用导数的定义带皮亚诺余项的泰勒公式用函数极限求数列极限用定积分定义求某些和式的极限利用级数相关理论求极限(数一、三)洛必达法则等价无穷小替换00型、型型、0型1、0、00型初等函数的连续性分段函数连续性的判定闭区间上连续函数的性质第一类——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在跳跃间断点可去间断点求极限的主要方法无穷小量无穷小量与无穷大量的定义、关系无穷小量的运算性质无穷小量与极限的关系无穷小量的比较连续的概念间断点的分类转换极限连续性函数有界性定理零点定理最值定理介值定理有界性、单调性、奇偶性、周期性极限四则运算法则变量替换1lim1nnen0sinlim1xxx单调有界数列有极限夹逼定理3三、基本内容(一)函数1．定义设x与y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作()yfx．数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定，相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素.2．几种特性(1)有界性设函数()yfx在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个xX，都有()fxM成立，称()yfx在X上有界，否则，即这样的M不存在，称()fx在X上无界．所以函数在X上无界，是对任何0M，总存在0xX，使0()fxM．(2)单调性设函数()yfx在区间I上有定义，若对于I上任意两点1x与2x，当12xx时，均有12()()fxfx[或12()()fxfx]，称函数()fx在区间I上单调增加(或单调减少)．如果其中的“<”(或“>”)改为“≤”(或“≥”)，称函数()fx在I上单调不减(或单调不增)．(3)奇偶性设函数()yfx的定义域为(,)(0)aaa，若对于任一x(,)aa，都有()()fxfx，称()fx为偶函数，如常数2,,cosCxx等，其图像关于y轴对称;若对于任一(,),xaa都有()()fxfx，称()fx为奇函数，如3,,sinxxx等，其图像关于坐标原点对称．(4)周期性对函数()yfx，若存在常数0T，使得对于定义域内的每一个,xxT仍在定义域内，且有()()fxTfx，称函数()yfx为周期函数，T称为()fx的周期．3．复合函数、反函数、隐函数与分段函数(1)基本初等函数与初等函数基本初等函数常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数.初等函数由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.(2)复合函数设函数()yfu的定义域为fD，函数()ux的值域为z，若集合fD与z的交集非空，称函数[()]yfx为函数()yfu与()ux复合而成的复合函数，u为中4间变量．对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合而成的．(3)反函数设函数()yfx的值域为fz，定义域为fD，则对于每一个fyz必存在fxD使()yfx．若把y作为自变量，x作为因变量，便得一个函数()xy，且()fyy，称()xy为()yfx的反函数，但习惯上把()yfx的反函数记作1()yfx．y()fx与其反函数1()yfx的图像是关于直线yx对称的．(4)隐函数设有方程(,)0Fxy，若当x在某区间内取任一值，便总有满足该方程唯一的值y存在时，称由方程(,)0Fxy在上述区间内确定了一个隐函数()yyx．(5)分段函数若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应规律，如(),()(),xaxbfxxcxd称为分段函数．(二)极限1．概念(1)定义1设()yfx在0x的一个去心邻域010001(,)(,)xxxx内有定义，若对于任意给定的0，总存在0，使得当上述去心邻域内任意x满足00xx时，不等式()fxa恒成立，则称常数a为函数()fx在0xx的极限，记作0lim().xxfxa或()fxa(当0xx)．直观地说，即当x无限趋近0x时，函数()fx无限趋近常数a．定义2设()fx在区域0xE内有定义，若对于任意给定的0，存在0M，使得当xME时，不等式()fxa恒成立，则称a为当x时函数()fx的极限，记作lim().xfxa直观地说，即当x无限增大时，函数无限趋近常数a．(2)左极限与右极限在定义1中，若把“00xx”改为“00xxx”，即自变量x从0x的左侧趋近于0x，则称a为函数()fx当0xx时的左极限，记作00lim()(0);xxfxafxa或相应把定义1中的“00xx”改为00xxx，a便是函数()fx当0xx时5的右极限，记作00lim()(0).xxfxafxa或极限存在的充分必要条件：当0xx时，函数()fx的极限存在的充分必要条件为其左、右极限存在并相等，即00(0)(0)fxfx.在定义2中，把xM改为xM，便得到x时函数()fx的极限的定义，即lim(),xfxa以及把“xM”改为xM，便得到lim()xfxa的定义.注把数列nx看作整数函数即()nxfn(1,2,)n，则数列极限的概念limnnxa便是()fx在x时极限的特殊情况：自变量x取正整数.即对于任意给定的0，总存在正整数N，使当nN时，不等式nxa恒成立，则称常数a为数列nx的极限，也称此数列收敛于a.2.性质(1)唯一性在自变量的一个变化过程中(0xx或x)，函数的极限存在，则此极限唯一.(2)有界性若0lim()[lim()]xxxfxafxa或，则存在0x的某去心邻域(或0xM)，()fx在此邻域(或0xM)内有界.(3)保号性设0)lim()xxfxa(x，0()lim()xxxgxb，若在0x的某去心邻域(或0xM)内恒有()()fxgx(或()()fxgx)，则ab.3.极限存在准则夹逼准则：若在x的某去心邻域(或0xM)内恒有()()()gxfxhx，且000()()()lim()lim()lim().xxxxxxxxxgxhxafxa，则单调有界准则：单调有界数列必收敛.4.两个重要极限(1)0sinlim1.xxx(2)1lim1xxex或10limxxxe（1+）.5.极限的运算设在自变量的同一变化过程中(0xx或x)，lim(),lim()fxagxb，则有6(1)和差：lim()()lim()lim()fxgxfxgxab.(2)积：lim()()lim()lim()fxgxfxgxab.特别地，lim()lim()cfxcfxca(其中c为常数)，lim()lim()kkkfxfxa(其中k为正整数).(3)商：若lim()0gxb，则()lim()lim()lim()fxfxagxgxb.(4)复合函数的运算法则：已知000lim(),lim()uuxxfuAxu在有意义的情况下，0lim[()]xxfx.A6.无穷小量与无穷大量(1)无穷小量的概念若0()lim()0xxxx，称()x为0xx(x)时的无穷小，即极限为0的变量为无穷小量，以下简称无穷小.常数0也是无穷小.(2)无穷小量的性质0lim()xxfxa(x)的充分必要条件为()()fxax，其中()x为0xx(x)的无穷小.(3)无穷小量的运算1°加法：有限多个无穷小的和仍为无穷小;2°乘法：有限多个无穷小的积仍为无穷小;3°有界变量与无穷小的乘积亦为无穷小.(4)无穷小量的比较设()x与()x都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且()lim()xx也是在此变化过程中的极限：若()lim0()xx，称()x是比()x高阶的无穷小，记作()(())xox;若()lim()xx，称()x是比()x低阶的无穷小;若()lim0()xcx(其中c为常数)，称()x与()x是同阶的无穷小;7特别()lim1()xx，称()x与()x是等价无穷小，记作()~()xx.在求极限过程中，有时利用等价无穷小代换可以化简计算，所以应掌握几个常见的等价无穷小：当0x时，sin~~tanxxx，ln(1)~xx，1~xex，111~nxxn，211cos~2xx等等.(5)无穷大量的概念设函数()fx在0x的某一去心邻域内有定义(或x大于某一正数时有定义)，如果对于任意给定的正数M(不论它多么大)，总存在正数(或正数X)，只要x适合不等式00xx(或xX)，对应的函数值()fx总满足不等式()fxM，则称函数()fx为当0xx(或x)时的无穷大量，以下简称无穷大.(6)无穷小量与无穷大量之间的关系在自变量的同一变化过程中，若()fx为无穷大，则其倒数1()fx必为无穷小;反之，若()fx为无穷小，且()0fx，则其倒数1()fx必为无穷大.7.洛必达(L’Hospital)法则(1)00型(),()fxgx在点0x的某去心邻域内可导，()0gx，若0lim()xxfx0lim()xxgx0，且0()lim()xxfxgx存在或为，则有00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx.(2)型(),()fxgx在点0x的某去心邻域内可导，()0gx，若0lim()xxfx0lim()xxgx，且0()lim()xxfxgx存在或为，则有00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx.(三)连续1.函数的连续性(1)连续性的概念设函数()yfx在点0x某邻域内有定义，若当自变量增量x0xx0时，对应的函数值增量00()()0yfxxfx，即0lim0xy，或00lim()()xxfxfx，则称函数()fx在0x处连续.若00lim()()xxfxfx，称函数()fx在0x处左8连续，00lim()()xxfxfx，称函数()fx在0x处右连续.显然，函数()fx在0x处连续的充分必要条件是()fx在0x处既左连续又右连续.若函数()fx在区间(,)ab内每一处都连续，称()fx在开区间(,)ab内连续，也称()fx是(,)ab内的连续函数;若()fx在(,)ab内连续，又在a点处右连续，b点处左连续，则称()fx在闭区间[,]ab上连续.(2)运算1°加法有限多个在同一点连续的函数之和，仍在该点处连续;2°乘法有限多个在同一点连续的函数之积，仍在该点处连续;3°除法若()fx与()gx均在点0x处连续，且0()0gx，则()()fxgx在点0x处连续.(3)复合函数与初等函数的连续性设函数()ux在点0xx处连续，且00()xu，若函数()yfu在点0uu处连续，则复合函数[()]yfx在点0xx处连续.一切初等函数在其定义区间上都是连续的.2.函数的间断点(1)函数间断点的概念设函数fx在点0x的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数fx有下列三种情形之一：1°在0xx没有定义;2°虽在0xx有定义，但0limxxfx不存在;3°虽在0xx有定义，且0limxxfx存在，但00lim(),xxfxfx则函数fx在点0x不连续，而点0x称为fx的不连续点或间断点.(2)函数间断点的类型设0xx为函数()yfx的间断点，若0lim()xxfx与0lim()xxfx都存在，称0x为函数()fx的第一类间断点，其他均称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等的称为可去间断点，不相等的称为跳跃间断点；无穷间断点与振荡间断点都是第二类间断点.93.闭区间上连续函数的性质(1)最大值和最小值定理闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值.(2)有界性定理闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界.(3)介值定理设函数()fx在闭区[,]ab上连续，且()()fafb，则对于()fa与()fb之间的任一常数C，必在开区间(,)ab内至少存在一点，使得()fC.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.(4)零点定理设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()fa与()fb异号，则在开区间(,)ab内至少存在函数()fx的一个零点，即至少有一点(,)ab使()0f.四、典型例题题型一函数及相关性质[例1.1]设函数11()01xfxx，，，，则[()]ffx.[例1.2]已知2()sin,[()]1,fxxfxx则()________x，其定义域为.[例1.3]设函数2sin()(ln)(tan)xfxxxe，则()fx是().(A)偶函数.(B)无界函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.4]设对任意(,)x有(1)()fxfx，则()fx一定是().(A)奇函数.(B)偶函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.5]设函数21tan(3)()(1)(2)(3)xxfxxxx，则()fx在下列哪个区间内有界().(A)(0,1).(B)(1,2).(C)(2,3).(D)(3,4).题型二求极限[例1.6]设数列nx与ny，满足lim0nnnxy，则下列叙述正确的是().(A)若nx发散，则ny必发散.(B)若nx无界，则ny必有界.(C)若nx有界，则ny必为无穷小量.(D)若1nx为无穷小量，则ny必为无穷小量.[例1.7]下列极限正确的是().10(A)sinlim1xxx.(B)1limsin1xxx.(C)11limsin1xxx.(D)sinlim1xxx.[例1.8]设nnxay，且lim()0nnnyx，a为常数，则数列nx和ny().(A)都收敛于a.(B)都收敛，但不一定收敛于a.(C)可能收敛，也可能发散.(D)都发散.[例1.9]设nnnxay，且lim()0nnnyx，nx，ny和na均为数列，则limnna().(A)存在且等于0.(B)存在但不一定等于0.(C)一定不存在.(D)不一定存在.[例1.10]22212lim12nnnnnnnnn.[例1.11]30arctansinlimxxxx.[例1.12]求极限22411limcosxxxxxx.[例1.13]求下列极限：2011lim()tanxxxx.[例1.14]设2lim8xxxaxa，则a=.[例1.15]21ln(1)0lim(cos)xxx=.[例1.16]当0x时，211()sinfxxx是().(A)无穷小量.(B)无穷大量.(C)有界量非无穷小量.(D)无界但非无穷大量.[例1.17]设220ln(1)()lim2xxaxbxx，则().(A)1a，52b.(B)0a，2b.(C)0a，52b.(D)1a，2b.[例1.18]设当0x时，21cosln1xx是比sinnxx高阶的无穷小，而sinnxx是比112(1)xe高阶的无穷小，则正整数n等于().(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.[例1.19]当0x时，求常数,ck使得(I)3sinsin3~;kxxcx(II)ln(1)~kxxcx.[例1.20]设110x，16nnxx(1,2,n)，试证数列nx极限存在，并求此极限.[例1.21]下列各式中正确的是().(A)01lim(1)1xxx.(B)01lim(1)exxx.(C)1lim(1)exxx.(D)1lim(1)exxx.[例1.22]求极限21limln(1)xxxx.题型三函数的连续性问题[例1.23]()fx在0x点连续是()fx在0x点连续的().(A)充分条件，但不是必要条件.(B)必要条件，但不是充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不是充分条件，也不是必要条件.[例1.24]函数1()tan()xxeexfxxee在,上的第一类间断点是x().(A)0.(B)1.(C)2.(D)2.[例1.25]设函数21()lim1nnxfxx，讨论函数()fx的间断点，其结论为().(A)不存在间断点.(B)存在间断点1x.(C)存在间断点0x.(D)存在间断点1x.[例1.26]设2(1)()lim1nnxfxnx，则()fx的间断点为x.12[例1.27]设函数tan21e,0arcsin2e,0xxxxfxax在0x处连续，则________a.[例1.28]设)(xf在(,)内有定义，且lim()xfxa，1,0()0,0fxgxxx，则().(A)0x必是)(xg的第一类间断点.(B)0x必是)(xg的第二类间断点.(C)0x必是)(xg的连续点.(D))(xg在点0x处的连续性与a的取值有关.[例1.29]设函数()fx在[,]ab上连续，且12naxxxb，证明：存在(,)ab，使得12()()()()nfxfxfxfn.[例1.30]设()fx是[0,1]上非负连续函数，且(0)(1)0.ff证明：对任意实数r(01r)，必存在0[0,1]x，使得0[0,1]xr，且00()()fxfxr.[例1.31]设()fx在[0,1]上连续，(0)(1)ff且.(1)证明：存在[0,1],使1()()2ff.(2)证明：存在[0,1],使1()()ffn(2n且n为正整数).五、经典习题1.求xxxsin1)1ln(1lim0.【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】212.求xxeexxxsinlimtan0.13【答案】23.已知01lim2baxxxx，则___________,ba.【答案】21,1.4.极限2limxxxxaxb()(A)1.(B)e.(C)abe.(D)bae.【答案】(C).5.求22201coslimsinxxxx.【答案】43.6.求1402sinlim1xxxexxe.【答案】1.7.若30sin6lim0xxxfxx，则206limxfxx为().(A)0.(B)6.(C)36.(D).【答案】(C).8.12lim1cos1cos1cosnnnnnn________.【答案】22.9.设103x，1(3)nnnxxx(n1，2，…)，证明数列nx的极限存在，并求此极限.【答案】证明nx单调增加且有上界，3lim2nnx.10.设函数fx在0x的某邻域内具有一阶连续导数，且00f，00f，若20afhbfhf在0h时是比h高阶的无穷小，试确定,ab的值.14【答案】2,1ab.11.设函数()fx在(,)内连续，且[()]ffxx，证明在(,)内至少有一个0x满足00()fxx.【答案】利用反证法.第二章一元函数微分学导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念，在高等数学中占有重要地位，其内涵丰富，应用广泛，是研究生入学考试的主要内容之一，应深入加以理解，同时应熟练掌握导数的各种计算方法.中值定理与导数的应用在高等数学中占有极为重要的位置，内容多，影响深远，是复习的重点也是难点，而且具有承上启下的作用，应熟练掌握.一、大纲内容与要求【大纲内容】导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值(弧微分;曲率的概念;曲率圆与曲率半径，数学三不要求).【大纲要求】1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，(了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，数学一、二要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(,)ab内，设函数()fx具有二阶导数.当''()0fx时，()fx的图形是凹的;当''()0fx时，()fx的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(数学一、二要求).15二、知识网络三、基本内容(一)导数概念1．导数定义设函数()yfx在点0x的某邻域内有定义，若自变量从0x变到0xx时，导数的定义左、右导数基本初等函数的导数导数的四则运算复合函数的导数反函数的导数隐函数的导数参数方程求导（数一、二）2阶导数n阶导数高阶导数导数的概念导数的计算罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理应用洛必达法则求极限研究函数性质及几何应用单调性定理、函数的单调区间函数的极值、最值曲线的凹凸性及拐点渐近线、函数作图边际、弹性经济中的最大值和最小值应用经济应用(数学三要求)微分概念微分的计算一阶微分形式不变性微分导数泰勒定理曲率(数学一、二要求)费马引理切线、法线方程16函数的增量00()()yfxxfx与自变量增量x之比的极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称()yfx在0x处可导，此极限值称为()fx在0x处的导数，记作0()fx，或00,xxxxdyydx等.令0xxx，可得导数的等价定义0000()()()limxxfxfxfxxx2.左导数若000()()limxfxxfxx存在，则称此极限值为()fx在x0x处的左导数，记作0()fx.3.右导数若000()()limxfxxfxx存在，则称此极限值为()fx在x0x处的右导数，记作0()fx.4.若函数()fx在区间(,)ab内任意点x处的导数()fx都存在，则称()fx在(,)ab内可导.5.若函数()fx在(,)ab内可导，且()fa及()fb都存在，称()fx在闭区间[,]ab上可导.(二)函数可导的条件1.()fx在x0x处可导的必要(非充分)条件是()fx在x0x处连续.2.()fx在x0x处可导的充分与必要条件是0()fx与0()fx存在且相等.(三)导数的几何意义与物理意义1.设函数()fx可导，则0()fx等于曲线y＝()fx在点00(,())xfx处切线的斜率.曲线y＝()fx在点00(,())xfx处的切线与法线方程分别是：000()()()yfxfxxx＝和0001()(),()yfxxxfx其中0()0fx.2.设一质点作变速直线运动，若其位移s随时间t的变化规律为函数()sst，则导数0()st表示该质点在时刻0t的瞬时速度.注导数的物理意义有多种，如细棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.17(四)导数的计算1.基本初等函数的导数公式(1)()0()cc为常数(2)1()()xx为实数(3)()ln(01)xxaaaaa，(4)();xxee(5)1(log||)(0,1);lnaxaaxa(6)1(ln||);xx(7)(sin)cos;xx(8)(cos)sin;xx(9)2(tan)sec;xx(10)2(cos)cscxx(11)(sec)sectan;xxx(12)(csc)csccot;xxx(13)21(arcsin);1xx(14)21(arccos);1xx(15)21(arctan);1xx(16)21(arccot).1xx2.导数的四则运算法则设函数(),()uxvx都可导，则(1)();uvuv(2)()uvuvuv，特别()cucu(c为常数).(3)2(0).uuvuvvvv3.复合函数求导法设()ux在x处可导，()yfu在对应的()ux处可导，则复合函数[()]yfx在x处可导，且{[]}()(),fxfux()即d.ydydudxdudx4.反函数的导数若()xy在某区间内单调、可导，且()0y，则其反函数()yfx在对应的区间内也可导，且1()()fxy.5.隐函数的导数设()yfx是由方程(,)0Fxy所确定的可导函数，注意到x是自变量，y是x的函数，18y的函数是x的复合函数，在方程的两边同时对x求导，可得到一个含有y的方程，从中解出y即可.注y也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式xyFdydxF得到，这里()yx是由方程(,)0Fxy确定的函数.6.高阶导数(1)函数()yfx导数的导数，称为函数()fx的二阶导数，即(),yy记作()yfx，或2(2)2,dyydx.一般地，函数()yfx的n阶导数为()(1)(),nnyy也可写作()()nnndyfxdx或.(2)设(),()uxvx具有n阶导数，则有()()()[()()]()()nnnauxbvxauxbvx(,ab为常数);()()1(1)()()()[()()]()()()()()()()().nnnknkknnnuxvxuxvxCuxvxCuxvxuxvx7.由参数方程所确定的函数的导数(数学一、二要求)设()yyx是由参数方程()()()xttyt确定的函数，(1)若()t和()t都可导，且()0t，则()()dytdxt.(2)若()()tt,二阶可导，且()0t，则223()1()()()()()()()tdytttttdxttt.(五)微分1.微分定义设函数()yfx在点x的某邻域内有定义，若对应于自变量的增量x，函数的增量y可以表示为()yAxox，其中A与x无关，()ox是x的高阶无穷小，则称函数()yfx在点x处可微，并把Ax称为()fx在点x处的微分，记作dy或()dfx，即dy=Ax.192.函数()yfx在点x处可微的充分必要条件是()fx在x处可导，此时()Afx，即有()dyfxdx.3.一阶微分形式的不变性设()yfu可微，则微分()dyfudu，其中u不论是自变量还是中间变量，以上微分形式保持不变.(六)微分中值定理1.费马(fermat)引理若()fx在0x的某邻域0()Ux内有定义，且在0x处可导，如果对任意0()xUx，有0()()fxfx(或0()()fxfx)，则0()0fx.2.罗尔(Rolle)定理若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，并且f(a)＝f(b)，则在开区间(,)ab内至少存在一点，使得()0f.3.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数()fx在闭区间上连续，在开区间(,)ab内可导，则在开区间(,)ab内至少存在一点，使得()()()().fbfafba4.柯西(Cauchy)中值定理若函数()fx和()gx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，且()0gx，则在开区间(,)ab内至少存在一点，使得()()().()()()fbfafgbgag5.泰勒(Taylor)定理(1)假设函数()fx在含有0x的开区间(,)ab内具有直到1n阶的导数，则()20000000()()()()()()()()(),2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRxn其中(1)10()()(),(1)!nnnfRxxxn是0x与x之间的某个值，此公式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.(2)假设函数()fx在含有0x的开区间(,)ab内具有直到n阶的导数，则()200000000()()()()()()()()()2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxoxxn，此公式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.注当00x时，以下两公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式，即20()21(0)(0)(1)()()(0)(0)(01)2!!(1)!nnnfffnxfxffxxxxnn和()2(0)(0)()(0)(0)()2!!nnnfffxffxxxoxn.(七)洛必达(L’Hospital)法则1.00型0()()()0,fxgxxgx设，在点的某去心邻域内可导，若00lim()lim()xxxxfxgx0，且0()lim()xxfxgx存在或为，则有00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx.2.型设()()fxgx，在点0x的某去心邻域内可导，()0gx，若0lim()xxfx0lim()xxgx，且0()lim()xxfxgx存在或为，则有00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx.(八)利用导数研究函数及平面曲线的性态1.单调性定理设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，若对任一x∈(,)ab，有()0(0)fx，则()fx在[,]ab上单调增加(减少).注若将上面的不等式()0(0)fx，改为()0(0)fx，且使()0fx的点(驻点)只有有限个，则结论仍成立.2.极值(1)极值的定义若()fx在0x的某邻域0()Ux内有定义，且对该邻域内任意异于0x的点x都有0()()fxfx(或0()()fxfx)，则称0x的极大(或小)值点，0()fx称为()fx的极大(或小)值.(2)判断极值的第一充分条件设函数()fx在点0x的某邻域00(,)xx内连续，0x是()fx的驻点或不可导点，在00(,)xx及00(,)xx内()fx均可导.1°若在00(,)xx内()0(0)fx而在00(,)xx内()0(0)fx则()fx在0x处取21极小值(极大值);2°若在00(,)xx和00(,)xx内()fx符号相同，则()fx在0x处不取得极值.(3)判断极值的第二充分条件设函数()fx在x0x处，一阶导数0()0fx，二阶导数0()fx存在且不等于零，则当0()0fx时，()fx在0x处取得极小值;当0()0fx时，()fx在0x处取得极大值.3.取到极值的唯一性定理若()fx在区间I上可导，驻点唯一，且该驻点是极值点，则该驻点一定是最值点.4.曲线凹凸性及拐点(1)凹凸性的定义设xf在区间I上连续，若对任意不同的两点21,xx，恒有12121212112222xxxxffxfxffxfx或则称xf在I上是凸（凹）的.(2)凹凸性的判断若函数()fx在区间I上()0(0)fx则曲线()yfx在I上凹(凸)的.(3)拐点的定义在连续曲线上，凹凸部分的分界点00(,())xfx称为曲线的拐点.(4)拐点的第一充分条件设函数()fx在点0x的某邻域内连续且在该去心邻域内二阶可导，若()fx在0x的左右两边()fx的符号相反，则点00(,())xfx是曲线)(xfy的拐点.(5)拐点的第二充分条件：设函数()fx在点0x的某邻域内连续，0()0fx，而0()0fx，则点00(,())xfx是曲线)(xfy的拐点.5.曲线的渐近线(1)若lim()xfxC(或x或x)(C为常数)，则yC＝是曲线()yfx＝的一条水平渐近线;(2)若0lim()xxfx＝(或0xx，或0xx)，则0xx是曲线()yfx＝的一条铅直渐近线;(3)若()lim,0,xfxaax且lim[()],xfxaxb则yaxb＝是曲线()yfx＝的斜渐近线.22(九)平面曲线的曲率(数学一、二要求)1.弧微分设()yfx＝是平面内的光滑曲线，则弧微分21.dsydx若曲线方程为(),(),xxtyyt则弧微分为22[()][()].dsxtytdt2.曲率(1)设M和N是曲线上不同的两点，弧MN的长为s，当M点沿曲线到达Ｎ点时，Ｍ点处的切线所转过角为，则称极限0limsKs为该曲线在点M处的曲率.(2)曲率计算公式若曲线方程为()yfx＝，则曲率23/2(1)yKy.若曲线由参数方程()()xxtyyt给出，则曲率223/2()ttttttxyyxKxy.(3)曲率半径1(0)RKK.三、典型题型题型－与导数概念有关的命题[例2.1]已知(3)2f，则0(3)(3)lim2hfhfh______________.[例2.2]设函数()fx在0x处连续，且201lim(1cos)1hfhh，则().(A)(0)1f.(B)(0)2f.(C)(0)1f.(D)(0)2f.[例2.3]设函数()fx可导，()(sin2)()xFxexfx，则(0)0f是()Fx在0x处可导的()条件.(A)充要.(B)充分非必要.(C)必要非充分.(D)非充分非必要.[例2.4]设周期函数()fx在),(内可导，周期为4，0(1)(1)lim2xffxx1，则曲线()yfx=在点))5(,5(f处的法线斜率为().(A)21.(B)0.(C)1.(D)2.[例2.5]设函数()fx在区间(,)内有定义，若当x∈(,)时，恒有2()fxx，则23x0必是()fx的().(A)间断点.(B)连续而不可导的点.(C)可导的点，且(0)0f.(D)可导的点，且(0)0f.[例2.6]设()(1)(2)()fxxxxxn，则(0)________.f[例2.7]设函数0()yfxxx在处可导，0()1fx，则0limxydydy_______.[例2.8]设函数fx处处可微，且有01f，且对任何,xy恒有()()xfxyefy()xefy，求().fx[例2.9]设函数()fx在(,)上有定义，对任意,xy，()fx满足关系式()()[()1]()fxyfxfxyy，其中0()lim0yyy.又已知(0)2,f则(1)f.[例2.10]设()()(),()Fxgxxx在xa连续，但不可导，又()ga存在，则()0ga是()Fx在xa可导的()条件.(A)充要.(B)充分非必要.(C)必要非充分.(D)非充分非必要.[例2.11]函数32()2arctanfxxxxx的不可导点的个数是().(A)3.(B)2.(C)1.(D)0.[例2.12]设函数11,0()1,0xxfxxekx连续，求常数k的值，并求()fx.题型二导数与微分[例2.13]求下列函数的导数(1)22arctanln1xxxeyee.(2)22222()ln||22xafxxaxxa.24[例2.14]设2sin[()]yfx，其中f具有二阶导数，求22,dydydxdx.[例2.15]设函数ln,1,()21,1,xxfxxx，()yffx，则xedydx_____________.[例2.16]设函数()fu可导，2()yfx当自变量x在1x处取得增量0.1x时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则(1)f_________________.[例2.17](数一、二)设2arctan,25txtyyxytye由所确定，求.dydx[例2.18]设22411xyx，求(100)y.[例2.19]设函数()yfx＝由方程23ln()sinxyxyx确定，则0xdydx_________.[例2.20]设()()()nfxxax，其中()x在xa处具有1n阶连续导数，试求()()nfa(2)n.题型三利用导数研究函数的性态[例2.21]设当axb时函数fx，gx是大于零的可导函数，且fxgxfx0gx，则当axb时，有().(A)fxgbfbgx.(B)fxgafagx.(C)fxgxfbgb.(D)fxgxfaga.25[例2.22]设函数)(xf在闭区间],[ba上有定义，在开区间),(ba内可导，则().(A)当0)()(bfaf时，存在),(ba，使0)(f.(B)对任何),(ba，有0)]()([limfxfx.(C)当)()(bfaf时，存在),(ba，使0)(f.(D)存在),(ba，使()()()()fbfafba.[例2.23]设()yfx是微分方程sin0xyye的解，且0()0fx，则()fx在().(A)0x某邻域内单调增加.(B)0x某邻域内单调减少.(C)0x处取得极大值.(D)0x处取得极小值.[例2.24]已知0fxx在的某个邻域内连续，且0lim21cosxfxx，则在点0x处fx().(A)不可导.(B)可导，且00f.(C)取得极大值.(D)取得极小值.[例2.25]设函数()fx满足关系式2()[()]fxfxx，且(0)0f，则().(A)0ffx是的极大值.(B)0ffx是的极小值.(C)点0,0fyfx是曲线的拐点.(D)0f不是fx的极值，点0,0f也不是曲线yfx的拐点.[例2.26]设220()xtfxedt，则()fx的极值为_______.[例2.27]求曲线1ln()yxex的渐近线.[例2.28]讨论曲线4lnyxk与44lnyxx的交点个数.26题型四等式与不等式的证明[例2.29]证明：当2x时，3612)1ln()1(xxxx.[例2.30]设ba，求证2()lnbbaaba.[例2.31]设()fx在[0,]c上连续，且(0,)xc时，()0,fx(0)0.f证明：当0ababc时，()()().fabfafb题型五中值定理证明题[例2.32]设函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且()()0fafb，()()02abfaf.试证：对任意实数k，至少存在一点(,)ab，使等式()()fkf成立.[例2.33]设0,2121xxxx且，试证在1x与2x之间存在一点，使2121112xxeexexxx.[例2.34]若)(xf在[0,]a上连续，在(0,)a内可导，0a，且(0)1,f()0fa.证明：(I)至少存在一点(0,)a，使()fa;(II)在(0,)a内必存在12xx，使1221()()fxfxa.27题型六导数的应用题[例2.35]当参数a为何值时，抛物线2axy与曲线32xy相切?并求两条曲线在切点处的公共切线.[例2.36]某企业的总成本C关于产量Q的函数,0003.075.610485)(2QQQC求该企业的边际成本函数，求生产5000个产品时的边际成本并 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 其经济意义.[例2.37]某厂生产一种电子产品，总成本函数为21()310025Cxxx(百元)，已知需求函数为,375pxp为每件产品的价格(单位：百元)，问生产多少件产品时，总利润最大，此时每件产品的价格为多少？[例2.38]设函数1||sin,0()0,0xxfxxx，问：常数为何值时，()fx在0x处(I)连续?(II)可导?(III)导函数连续?五、经典习题1.设fx在xa处可导，则0limxfaxfaxx等于().(A)fa.(B)2fa.(C)0.(D)2fa.【答案】选(B).2.设()()fxxxa，其中()x在xa处连续，则()0a是()fx在xa处可导的().(A)充分但不是必要条件.(B)必要但不是充分条件.(C)既不是充分，也不是必要条件.(D)充分必要条件.【答案】选(D).3.已知3232xyfx，2arcsinfxx，则0xdydx________.28【答案】32.4.设函数yyx由参数方程32ln1xttytt所确定，则22dydx________.【答案】165ttt.5.已知函数yyx由方程2610yexyx确定，则0y________.【答案】2.6.设11xfxx，则nfx________.【答案】121!1nnnx.7.设函数fx在,内连续，其导函数的图形如图所示，则fx有().(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.【答案】选(C).8.设函数fx连续，且00f，则存在0，使得().(A)fx在0,内单调增加.(B)fx在,0内单调减少.(C)对任意的0,x有0fxf.(D)对任意的,0x有0fxf.【答案】选(C).9.曲线2121arctan12xxxyexx的渐近线有().(A)1条.(B)2条.(C)3条.(D)4条.【答案】(B).10.假设函数fx和gx在,ab上存在二阶导数，并且gx0，fafbgagb0，试证：(I)在开区间,ab内0gx;29(II)在开区间,ab内至少存在一点，使ffgg.【答案】(I)反证法.假设存在一点,cab，使()0gc.(II)罗尔中值定理.11.设函数fx在闭区间,ab上连续，在,ab内可导，且0fx.若极限limxa2fxaxa存在，证明：(I)在,ab内0fx;(II)在,ab内存在点，使222babaffxdx;(III)在,ab内存在与(2)中相异的点，使22fba2bafxdxa.【提示】(I)=0fa，fx单调递增;(II)利用两次中值定理;(III)用(II)的结论.12.设函数fx在,ab上连续，在,ab内可导，且0fx.试证存在,,ab，使得bafeeefba.【提示】利用两次中值定理.30第三章一元函数积分学不定积分是一元函数积分学的重要组成部分，是计算定积分的基础.定积分是一元函数微积分的集大成者，是历年考试的重点.一、大纲内容与要求【大纲内容】原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理用定积分表