历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析(2009-2015)

第1页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分. 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 号一二三四五六七总分满分15201510101515100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.一、（15分）求经过三平行直线1:Lxyz==，2:11Lxyz−==+，3:11Lxyz=+=−的圆柱面的方程.解：先求圆柱面的轴0L的方程.由已知条件易知，圆柱面母线的方向是(1,1,1)n=G，且圆柱面经过点(0,0,0)O，过点(0,0,0)O且垂直于(1,1,1)n=G的平面π的方程为：0xyz++=.……………………………（3分)π与三已知直线的交点分别为(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)OPQ−−…………（5分)圆柱面的轴0L是到这三点等距离的点的轨迹，即222222222222(1)(1)(1)(1)xyzxyzxyzxyz⎧++=−+++⎪⎨++=+++−⎪⎩，即11xzyz−=⎧⎨−=−⎩，……………………………………………（9分)将0L的方程改为标准方程11xyz−=+=.圆柱面的半径即为平行直线xyz==和11xyz−=+=之间的距离.0(1,1,0)P−得分评阅人第2页（共6页）为0L上的点.……………………………………………………………….（12分)对圆柱面上任意一点(,,)Sxyz，有00||||||||nPSnPOnn××=GJJJGGJJJGGG，即222(1)(1)(2)6yzxzxy−+−+−−+−++=，所以，所求圆柱面的方程为：222330xyzxyxzyzxy++−−−−+=.……………….（15分)二、（20分）设nnC×是nn×复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，121000100010001nnnaaFaa−−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠#########.（1）假设111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠"""""""，若AFFA=，证明：121112111nnnnAaFaFaFaE−−−=++++"；（2）求nnC×的子空间{}()|nnCFXCFXXF×=∈=的维数.（1）的证明:记12(,,,)nAααα="，121112111nnnnMaFaFaFaE−−−=++++".要证明MA=，只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以ie记第i个基本单位列向量.于是，只需证明：对每个i，()iiiMeAeα==.………………………（2分)若记11(,,,)Tnnaaaβ−=−−−"，则23(,,,,)nFeeeβ=".注意到，21212123111,,,()nnnnFeeFeFeeFeFFeFee−−−======"（*）…..（6分)由12111121111121111121111111112121111...............................................(10()nnnnnnnnnnnnMeaFaFaFaEeaFeaFeaFeaEeaeaeaeaeAeα−−−−−−−−1=++++=++++=++++=="""分）知211112MeMFeFMeFAeAFeAe=====得分评阅人第3页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：2222311113MeMFeFMeFAeAFeAe====="""""11111111nnnnnnMeMFeFMeFAeAFeAe−−−−=====所以，MA=.…………………………..（14分)（2）解：由（1），21(){,,,,}nCFspanEFFF−="，…………（16分)设210121nnxExFxFxFO−−++++="，等式两边同右乘1e，利用（*）得21101211()nnOexExFxFxFeθ−−==++++"21011121110112231.........................(18nnnnxEexFexFexFexexexexe−−−=++++=++++""分）因123,,,,neeee"线性无关，故，01210nxxxx−====="…………（19分)所以，21,,,,nEFFF−"线性无关.因此，21,,,,nEFFF−"是()CF的基，特别地，dim()CFn=.……………………………（20分)三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（0n>），,fg是V上的线性变换.如果fggff−=，证明：f的特征值都是0，且,fg有公共特征向量.证明：假设0λ是f的特征值，W是相应的特征子空间，即{}0|()WVfηηλη=∈=.于是，W在f下是不变的.…………………………（1分)下面先证明，0λ=0.任取非零Wη∈，记m为使得2,(),(),,()mgggηηηη"线性相关的最小的非负整数，于是，当01im≤≤−时，2,(),(),,()igggηηηη"线性无关…..（2分)01im≤≤−时令21{,(),(),,()}iiWspangggηηηη−=",其中，0{}Wθ=.因此，dimiWi=（1im≤≤），并且，12mmmWWW++===".显然，1()iigWW+⊆，特别地，mW在g下是不变的.……………………………（4分)下面证明，mW在f下也是不变的.事实上，由0()fηλη=，知00()()()()fggffgηηηληλη=+=+…………（5分)得分评阅人第4页（共6页）200002000(6.............................()()()(())(())()2()fggfgfggggggηηηληληληληληληλη=+=+++=++分）根据1111()()()()()()kkkkkfggfgfggfgfgηηηηη−−−−=+=+用归纳法不难证明，()kfgη一定可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成2,(),(),,()kgggηηηη"的线性组合，且表示式中()kgη前的系数为0λ.………………………………….（8分)因此，mW在f下也是不变的，f在mW上的限制在基21,(),(),,()mgggηηηη−"下的矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是0λ，因而，这一限制的迹为0mλ.…..（10分)由于fggff−=在mW上仍然成立，而fggf−的迹一定为零，故00mλ=，即0λ=0.…………………………..（12分)任取Wη∈，由于()fηθ=，()()()()()fggffgfηηηθηθ=+=+=，所以，()gWη∈.因此，W在g下是不变的.从而，在W中存在g的特征向量，这也是,fg的公共特征向量.……………………………….（15分)四、（10分）设{}()nfx是定义在[],ab上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[],ab上满足'()nfxM≤.（1）证明{}()nfx在[],ab上一致收敛；（2）设()lim()nnfxfx→∞=，问()fx是否一定在[],ab上处处可导,为什么？证明：（1）0ε∀>，将区间[],abK等分，分点为(),0,1,2,,jjbaxajKK−=+="，使得baKε−<.由于{}()nfx在有限个点{},0,1,2,,jxjK="上收敛，因此N∃，mnN∀>>，使得()()mjnjfxfxε−<对每个0,1,2,,jK="成立.…………………………..（3分)于是[,]xab∀∈，设1[,]jjxxx+∈，则()()()()()()()()mnmmjmjnjnjnfxfxfxfxfxfxfxfx−≤−+−+−，得分评阅人第5页（共6页）专业：线年级：封所在院校：密身份证号：姓名：'()()()()'()()mjmjnjnjfxxfxfxfxxξη=−+−+−()21Mε<+.…（5分)（2）不一定.……………………………（6分)令21()nfxxn=+，则()lim()nnfxfx→∞=在[],ab上不能保证处处可导.（10分)五、（10分）设320sinsinnntatdttπ=∫，证明11nna∞=∑发散.解：333221200sinsinsinsinsinsinnnntntnttdttdttdtIItttππππ=+=+∫∫∫…….（3分)323100sinsin2nnntnItdtntdttπππ=<=∫∫，………………………（5分)3332222sin1sin28nnnntItdttdtdtttππππππππ⎛⎞⎛⎞=<⋅=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫∫………..（7分)32288nnππππ⎛⎞=−<⎜⎟⎝⎠.…………..（8分)因此211nanπ>，由此得到11nna∞=∑发散.……………………（10分)六、（15分）(,)fxy是{}22(,)|1xyxy+≤上二次连续可微函数，满足222222ffxyxy∂∂+=∂∂，计算积分2222221xyxfyfIdxdyxyxyxy+≤⎛⎞∂∂⎜⎟=+⎜⎟∂∂++⎝⎠∫∫.解：采用极坐标cos,sinxryrθθ==，则1200cossinffIdrrdxyπθθθ⎛⎞∂∂=⋅+⋅⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫22210xyrffdrdydxxy+=⎛⎞∂∂=−⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫…..（6分)2221220xyrffdrdxdyxy+≤⎛⎞∂∂=+⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫∫()2221220xyrdrxydxdy+≤=∫∫∫…….（10分)得分评阅人得分评阅人第6页（共6页）12522000cossin168rdrddππρρθθθ==∫∫∫.……………….（15分)七、（15分））假设函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点(0,(0))Af，与点(1,(1))Bf的直线与曲线()yfx=相交于点(,())Ccfc，其中01c<<.证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0fξ′′=.证明：因为()fx在[0,]c上满足Lagrange中值定理的条件，故存在1(0,)cξ∈，使1()(0)()0fcffcξ−′=−.………………………………………………………………….（4分)由于C在弦AB上，故有()(0)(1)(0)010fcfffc−−=−−=(1)(0)ff−.……………….………….………..（7分)从而1()(1)(0)fffξ′=−.……………………………………………...………..………..（8分)同理可证，存在2(,1)cξ∈，使2()(1)(0)fffξ′=−.………………….……..（11分)由12()()ffξξ′′=，知在12[,]ξξ上()fx′满足Rolle定理的条件，所以存在12(,)(0,1)ξξξ∈⊂，使()0fξ′′=.…………………………………….………….…….（15分)得分评阅人1�3¥IŒÆ)êÆ¿mýmÁòë‰Y(êÆa)˜˜˜!!!(10©©©)�ε∈(0,1),x0=a,xn+1=a+εsinxn(n=0,1,2,...).y²:ξ=limn→+∞xn3,…§x−εsinx=a�˜Š.yyy²²²:5¿�|(sinx)′|=|cosx|≤1,d¥Š½n,·‚k|sinx−siny|≤|x−y|,∀x,y∈R............................................(2©)¤±|xn+2−xn+1|=|ε(sinxn+1−sinxn)|≤ε|xn+1−xn|,n=0,1,2,...............................................(4©)l Œ�|xn+1−xn|≤εn|x1−x0|,∀n=0,1,2,....u´?ê∞∑n=0(xn+1−xn)ýéÂñ,l ξ=limn→+∞xn3.........................................(6©)éu4íªxn+1=a+εsinxnü>�4=�ξx−εsinx=a�Š.........................................(8©)?˜Ú,�η´x−εsinx=a,=η−εsinη=a�Š,K|ξ−η|=ε|sinξ−sinη|≤ε|ξ−η|.¤±dε∈(0,1)Œ�η=ξ.=x−εsinx=a�Š˜.y........................................(10©)2���!!!(15©©©)�B=01030002010000.y²X2=BÃ),ùpXn�™E.11(�8)yyy²²²:‡y{.�§k),=3EÝA¦�A2=B.........................................(2©)·‚5¿�B�A�Š0,…Ù“ê­ê3.........................................(4©)�λA�˜‡A�Š,Kλ2B�A�Š.¤±λ=0.l A�A�Šþ0.........................................(6©)u´A�JordanIO.ŒUJ1=000000000,J2=010000000½J3=010001000........................................(10©)l A2�JordanIO.UJ1=J21=J22½J2=J23........................................(12©)ÏdA2�ØŒu1,†B=A2�2gñ.¤±X2=BÃ).y.........................................(15©)2nnn!!!(10©©©)�D⊂R2´à«,¼êf(x,y)´à¼ê.y²½Ä½:f(x,y)3DþëY.5:¼êf(x,y)à¼ê�½Â´∀α∈(0,1)±9(x1,y1),(x2,y2)∈D,¤áf(αx1+(1−α)x2,αy1+(1−α)y2)≤αf(x1,y1)+(1−α)f(x2,y2).yyy²²²:(ؤá.·‚©üÚy²(Ø.(i)éuδ>0±9[x0−δ,x0+δ]þ�˜�à¼êg(x),N´�y∀x∈(x0−δ,x0+δ):g(x0)−g(x0−δ)d≤g(x)−g(x0)x−x0≤g(x0+δ)−g(x0)δ.12(�8)........................................(2©)xyx0−δx0x0+δxxl ∣∣∣g(x)−g(x0)x−x0∣∣∣≤∣∣∣g(x0+δ)−g(x0)δ∣∣∣+∣∣∣g(x0)−g(x0−δ)δ∣∣∣,∀x∈(x0−δ,x0+δ).dd=�g(x)3x0ëY.˜„/,Œ�m«mþ�˜�à¼êëY.........................................(4©)(ii)�(x0,y0)∈D.Kkδ>0¦�Eδ≡[x0−δ,x0+δ]×[y0−δ,y0+δ]⊂D............................................(5©)5¿��½x½yž,f(x,y)Š˜�¼êÑ´à¼ê,d(i)�(Ø,f(x,y0),f(x,y0+δ),f(x,y0−δ)Ñ´x∈[x0−δ,x0+δ]þ�ëY¼ê,l §‚k.,=3~êMδ>0¦�|f(x,y0+δ)−f(x,y0)|δ+|f(x,y0)−f(x,y0−δ)|δ+|f(x0+δ,y0)−f(x0,y0)|δ+|f(x0,y0)−f(x0−δ,y0)|δ≤Mδ,∀x∈[x0−δ,x0+δ].13(�8)...........................................(7©)?˜Ú,d(i)�(Ø,éu(x,y)∈Eδ,|f(x,y)−f(x0,y0)|≤|f(x,y)−f(x,y0)|+|f(x,y0)−f(x0,y0)|≤(|f(x,y0+δ)−f(x,y0)|δ+|f(x,y0)−f(x,y0−δ)|δ)|y−y0|+(|f(x0+δ,y0)−f(x0,y0)|δ+|f(x0,y0)−f(x0−δ,y0)|δ)|x−x0|≤Mδ|y−y0|+Mδ|x−x0|.u´f(x,y)3(x0,y0)ëY.y.........................................(10©)2ooo!!!(10©©©)�f(x)3[0,1]þRiemannŒÈ,3x=1Œ�,f(1)=0,f′(1)=a.y²:limn→+∞n2∫10xnf(x)dx=−a.yyy²²²:PM=supx∈[0,1]|f(x)|<+∞.-r(x)=f(x)−f(1)−f′(1)(x−1)=f(x)−a(x−1).KdPeano.�TaylorЪŒ�∀ε>0,∃δ∈(0,1),¦��δ<x≤1ž,|r(x)|≤ε(1−x)............................................(2©)·‚k∫10xnf(x)dx=∫δ0xnf(x)dx+∫1δaxn(x−1)dx+∫1δxnr(x)dx=R1+R2+R3............................................(4©)5¿�|R1|≤M∫δ0xndx=Mδn+1n+1,R2=−a(n+1)(n+2)+a(δn+1n+1−δn+2n+2)14(�8)±9|R3|≤∫1δxn|r(x)|dx≤ε∫1δxn(1−x)dx≤ε∫10xn(1−x)dx=ε(n+1)(n+2),·‚klimn→+∞|n2R1|=0,limn→+∞|n2R2+a|=0±9limn→+∞|n2R3|≤ε............................................(8©)¤±limn→+∞∣∣∣n2∫10xnf(x)dx+a∣∣∣≤ε.dþª9ε>0�?¿5=�limn→+∞n2∫10xnf(x)dx=−a.y.........................................(10©)2ÊÊÊ!!!(15©©©)®�g­¡Σ(šòz)L±eÊ:µA(1,0,0),B(1,1,2),C(1,−1,−2),D(3,0,0),E(3,1,2),F(3,−2,−4),G(0,1,4),H(3,−1,−2),I(5,2√2,8).¯Σ´=˜a­¡º)))‰‰‰:´„,A!B!C�‚,D!E!F�‚.........................................(6©) kü«�g­¡þŒU3�‚�n::ü“V­¡ÚV­�Ô¡........................................(10©),�§Œ±w�†‚ABCچ‚DEF´²1�§…Ø´Ó˜^†‚........................................(12©)15(�8)ùÒqüØV­�Ô¡�ŒU(V­�Ô¡�Óx†1‚ÑÉ¡§ØÓx†1‚у�),¤±ŒU´ü“V­¡........................................(15©)5:ù‡­¡Ù¢´(؇¦Æ)�ѐ§ª)(x−2)2+y2−z24=1.888!!!(20©©©)�An×n¢Ý(™7é¡),é?˜n‘¢•þα≡(α1,...,αn),αAα>≥0(ùpα>L«α�=˜),…3n‘¢•þβ,¦�βAβ>=0,Ӟé?¿n‘¢•þxÚy,�xAy>6=0žkxAy>+yAx>6=0.y²:é?¿n‘¢•þv,ÑkvAβ>=0.yyy²²²:�?¿¢êr,dK�(v+rβ)A(v+rβ)>≥0.........................................(8©)=vAv>+rvAβ>+rβAv>+r2βAβ>≥0........................................(12©)½=vAv>+r(vAβ>+βAv>)+r2βAβ>≥0........................................(14©)evAβ>6=0,KkvAβ>+βAv>6=0.ÏdŒ�·��¢êr¦�vAv>+r(vAβ>+βAv>)+r2βAβ><0.ñ.y.........................................(20©)2ÔÔÔ!!!(10©©©)�f3«m[0,1]þRiemannŒÈ,0≤f≤1.¦y:é?Ûε>0,3�Š0,1�©ã(ãêk)~Š¼êg(x),¦�∀[α,β]⊆[0,1],∣∣∣∫βα(f(x)−g(x))dx∣∣∣<ε.16(�8)yyy²²²:�½n>2ε.½ÂAm=[mn,mn+∫m+1nmnf(t)dt),g(x)=1,x∈n−1⋃m=0Am,0,x6∈n−1⋃m=0Am............................................(5©)éu0≤α<β≤1,�šK�êk≤`÷vkn≤α<k+1n,`n≤β<`+1n,K∣∣∣∫βα(f(x)−g(x))dx∣∣∣≤∫k+1nα|f(x)−g(x)|dx+∣∣∣∫`nk+1n(f(x)−g(x))dx∣∣∣+∫β`n|f(x)−g(x)|dx≤∫k+1nα1dx+0+∫β`n1dx≤2n<ε.y.........................................(10©)2lll!!!(10©©©)®ϕ:(0,+∞)→(0,+∞)´˜‡î‚üNeü�ëY¼ê,÷vlimt→0+ϕ(t)=+∞.e∫+∞0ϕ(t)dt=∫+∞0ϕ−1(t)dt=a<+∞,Ù¥ϕ−1L«ϕ�‡¼ê.¦y:∫+∞0[ϕ(t)]2dt+∫+∞0[ϕ−1(t)]2dt≥12a32.yyy²²²:-P=∫+∞pϕ(t)dt,Q=∫+∞qϕ−1(t)dt,I=a−P−Q,Ù¥pq=a.........................................(2©)17(�8)K∫+∞0(ϕ−1(t))2dt≥∫q0(ϕ−1(t))2dt≥1q(∫q0ϕ−1(t)dt)2=1q(a−Q)2=1q(I+P)2,∫+∞0(ϕ(t))2dt≥∫p0(ϕ(t))2dt≥1p(∫p0ϕ(t)dt)2=1p(a−P)2=1p(I+Q)2.........................................(6©)Ïd,∫+∞0(ϕ(t))2dt+∫+∞0(ϕ−1(t))2dt≥1p(I+Q)2+1q(I+P)2≥2√pq(I+P)(I+Q)=2√a(QP+aI)............................................(8©)´„Œ��·��p,q÷vP=Q=a−I2,l∫+∞0(ϕ(t))2dt+∫+∞0(ϕ−1(t))2dt≥1a((a−I)24I+aI)=2√2(a+I)24≥12a32.y.........................................(10©)218(�8)第第第三三三届届届中中中国国国大大大学学学生生生数数数学学学竞竞竞赛赛赛赛赛赛区区区赛赛赛试试试题题题参参参考考考答答答案案案(数数数学学学类类类,2011)一一一、、、(本题15分)已知四点A(1;2;7),B(4;3;3),(5;�1;6),(p7;p7;0).试求过这四点的球面方程.解解解答答答:设所求球面的球心为(�x;�y;�z),则(�x�1)2+(�y�2)2+(�z�7)2=(�x�4)2+(�y�3)2+(�z�3)2=(�x�5)2+(�y+1)2+(�z�6)2=(�x�p7)2+(�y�p7)2+�z2:....................................................................(8分)即8>>><>>>:3�x+�y�4�z=�10;4�x�3�y��z=4;(p7�1)�x+(p7�2)�y�7�z=�20:...................................................................(10分)解得(�x;�y;�z)=(1;�1;3).而.......................................(14分)(�x�1)2+(�y�2)2+(�z�7)2=25:于是所求球面方程为(x�1)2+(y+1)2+(z�3)2=25:...................................................................(15分)第1页(共13页)二二二、、、(本题10分)设f1;f2;:::;fn为[0;1]上的非负连续函数.求证:存在�2[0;1],使得nYk=1fk(�)�nYk=1Z10fk(x)dx:证证证明明明:记ak=Z10fk(x)dx;8k=1;2;:::;n:当某个ak=0时,结论是平凡的....................................(1分)下设ak>0(8k=1;2;:::;n).我们有Z10nvuutnYk=1fk(x)akdx�Z101nnXk=1fk(x)akdx=1:....................................................................(8分)由此立即可得存在�2[0;1]使得nvuutnYk=1fk(�)ak�1:结论得证...........................................................(10分)2第2页(共13页)三三三、、、(本题15分)设Fn是数域F上的n维列空间,�:Fn!Fn是一个线性变换.若8A2Mn(F),�(A�)=A�(�),(8�2V),证明:�=��idFn,其中�是F中某个数,idFn表示恒同变换.证证证明明明:设�在Fn的标准基"1;���;"n下的矩阵为B,则�(�)=B�(8�2Fn):...............................................................(5分)由条件:8A2Mn(F);�(A�)=A�(�);8�2Fn,有BA�=AB�;8�2Fn.故AB=BA;(8A2Mn(F)).....................................(10分)设B=(bij),取A=diag(1;���;1;c;1;���;1),其中c6=0;1,由AB=BA可得bij=0;8i6=j.又取A=In�Eii�Ejj+Eij+Eji,这里Est是(st)�位置为1其它位置为0的矩阵.则由AB=BA可得aii=ajj;(8i;j).取�=a11