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一“四招”判断函数零点个数函数方程思想是一种重要的数学思想方法,函数问题可以利用方程求解,方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体,主要考查以下三个方面:(1)零点所在区间——零点存在性定理;(2)二次方程根的分布问题;(3)判断零点的个数问题;(4)根据零点的情况确定参数的值或范围;(5)根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题,例题说法,高效训练.【典型例题】第一招应用函数性质,判定函数零点个数例1.已知偶函数,且,则函数在区间的零点个数为()A.2020B.2016C.1010D.1008第二招数形结合,判定函数零点个数例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在上的函数满足,且时,;时,.令,则函数的零点个数为()A.B.C.D.第三招应用零点存在性定理,判定函数零点个数[来源:学科网ZXXK]例3.【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数.(1)讨论的单调性;(2)讨论在上的零点个数.第四招构造函数,判定函数零点个数例4.【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f(x)=lnx+﹣1,a∈R.(1)当a>0时,若函数f(x)在区间[1,3]上的最小值为,求a的值;(2)讨论函数g(x)=f′(x)﹣零点的个数.【规律与方法】函数零点个数的求解与判断:(1)直接求零点:令,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线,且,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.(4)构造函数模型,判断零点个数.构造函数可根据题目不同,直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.【提升训练】1.【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R上的奇函数,满足当时,则关于x的方程满足 A.对任意,恰有一解B.对任意,恰有两个不同解C.存在,有三个不同解D.存在,无解[来源:Z+xx+k.Com]2.【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且,其导函数满足,对于函数,下列结论错误的是()[来源:学*科*网][来源:Zxxk.Com]A.函数在上为单调递增函数B.是函数的极小值点C.函数至多有两个零点D.时,不等式恒成立3.已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线,当时,,则关于的函数的零点的个数为()A.0B.1C.2D.0或24.【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.(Ⅰ)若的图像在点处的切线与直线平行,求的值;(Ⅱ)若,讨论的零点个数.5.【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次(3月)双基测试】已知函数f(x)=lnx+ax2-x(x>0,a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求证:当a≤0时,曲线y=f(x)上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点.6.【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数,.(Ⅰ)当,函数图象上是否存在3条互相平行的切线,并说明理由?(Ⅱ)讨论函数的零点个数.7.【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知,,其中,为自然对数的底数.若函数的切线l经过点,求l的方程;Ⅱ若函数在为递减函数,试判断函数零点的个数,并证明你的结论.8.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试(一)】已知函数.(1)当时,讨论的单调性;(2)证明:当且时,只有一个零点.9.【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数.求的单调区间和极值;当时,证明:对任意的,函数有且只有一个零点.10.【2019届高三第一次全国大联考】已知函数(其中).(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,求函数的极值点;(3)讨论函数零点的个数.11.【2019年四川省达州市高考一诊】已知,函数,.求证:;[来源:学科网ZXXK]讨论函数零点的个数.12.【北京延庆区2019届高三一模】已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)当时,求函数在上区间零点的个数.13.【广东省江门市2019届高考模拟(第一次模拟)】设函数,是自然对数的底数,是常数.(1)若,求的单调递增区间;(2)讨论曲线与公共点的个数.14.【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.(1)试讨论函数的单调性;(2)若,证明:方程有且仅有3个不同的实数根.(附:,,)