解析几何题库及答案 锤子数学

前言很多素未相识。想着每个头像后都是一个可爱的人，即使QQ满了都舍不得删，缘分这东西谁说清楚呢，我经常因为一个赞，一个头像而和一个陌生的学生变成好朋友。解析几何技巧非常多，从算法到算理，我花了六年，研究出了一套非常有效的体系，经历了：感觉题目太多·方法太杂----- 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 很多结论（这是误区，也是不归路）------回归解析几何本质·大量做题-----总结通性通法------按题型方法分类·总结技巧-----反复研究发现解析几何本质规律----教学相长·自成体系-----创立解析几何系统突破理论------不敢说理论体系最好但是敢和全国任何一位老师赛课------8个小时课可以让绝大部分中等偏下的学生快速做出模考的任意一个解析几何大题。（是在说明真实的情况，没有炫耀的意思，毕竟自己也走过弯路，没什么好吹嘘的）说实话高考考学生更考老师，学生只是台前的，老师教什么很大程度上学生会什么。那些拉分压轴的题，不是说靠学生悟，多做题就能解决的，幕后都是老师们博弈。高考前争取给大家上几节网课，我一定会把解析几何以及大家急需的部分，给大家讲清楚，自己那么多年接触数学深有感触，很多东西研究很久都搞不清楚，但是听一下这个领域的大神简单提几句，真是醍醐灌顶，可以少走太多弯路。希望我上课能让大家有这种感觉。这里选的题目 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 都尽量选用原答案，要是用我的方法可能有差异，因为大家没有接触过，我担心会看不明白。最后，高考只有60多天。感谢大家信任。“这深庭后宫，台上台下皆是戏，没有人能置身事外，痛痛快快的唱一出属于自己的好戏吧。莫问前程如何，但求落幕无悔。”这是一种回归原点的哲学思考。我觉得自己是很偏执和专一，也许是偏爱艺术的吧，感性更多，更相信内心的感觉。有时候，把数学当成了自己的一件艺术品，反复雕琢打磨，于是从中体味到了青春美学，艺术美学，思念美学，暴力美学，伤痕美学，残缺美学，归寂美学……有时候会问自己，我到底是在跟谁恋爱？跟数学，还是自己？也许是走下高高在上的讲台，和你们一起，让表达变成抵达，从心到心，言语不应飘散在空中。教书育人是神圣的，我的顶礼，你看到的就是我最初的样子，我永不后悔，我一步不退，我爱你们，我用生命践行。锤子数学花果山2018·4整理Q1622324712（解析几何部分）1、已知椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（-1，22）在椭圆C上．（1）求椭圆C的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得716QAQB恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵椭圆的右焦点为F（1，0）∴221cab，即221ab…①∵点（-1，22）在椭圆C上∴221112ab…②由①②解得：22a，21b∴椭圆C的标准方程为2212xy（2）假设存在满足题述条件的点Q（m，0）当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴此时，易得A（1，22），B（1，22）则22(1,)(1,)22QAQBmm217(1)216m∴54m或34当直线l的斜率为0时，此时：易得A（2，0），B（2，0）则(2,0)(2,0)QAQBmm27216m∴54m∴54m下面证明当54m时，716QAQB对任意直线l恒成立设直线l的方程为(1)ykx代入椭圆方程化简整理得：2222(21)4220kxkxk∴22421ABkxxk，222221ABkxxk∴55(,)(,)44AABBQAQBxyxy55()()44ABABxxyy255()()(1)(1)44ABABxxkxx222525(1)()()416ABABkxxkxxk4222222(1)5425()2142116kkkkkk25721616综上所述，x轴上存在点Q（54，0），使得716QAQB恒成立先给大家20个例题。锤子数学整理汇编Q1622324712（解析几何部分）2、已知椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且PF△1F2的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M、O、P三点共线．求221213||1316ABd的最大值。解：（1）∵△PF1F2的周长为6，且|F1F2|=2∴|PF1|+|PF2|=4由抛物线定义知，椭圆C的长轴长为4∴a=2∵由|F1F2|=2知，c=1∴222413bac∴椭圆C的方程为22143xy（2）当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性知，点M在x轴上，而直线l又不过原点O，所以点M、O、P不可能在同一直线上故可设直线l的方程为ykxm（m≠0）代入椭圆方程化简整理得：222(43)84120kxkmxm则2222644(43)(412)0kmkm得22430km∴2843ABkmxxk，2241243ABmxxk∴26()243ABABmyykxxmk∵M是AB的中点∴24243ABMxxkmxk23243ABMyymyk∵点M在直线OP：12yx上∴22231424324343mkmkmkkk∴32k由22430km得：m∈（23，23）∴ABxxm，233ABmxx且直线l的方程为3220xym∴|AB|2=22()()ABABxxyy22(1)()ABkxx213[()4]4ABABxxxx213(12)12m∵222|3222|(82)[]1394mmd∴221213||1316ABd22(4)124mm232164mm23452()433m∴当43m时，221213||1316ABd的最大值为523BdOxyAClPM锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）3、已知椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点B（0，3）为短轴的一个端点，OF∠2B=60°．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线x=3于点M、N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k•k′为定值．解：（1）∵点B（0，3）为短轴的一个端点∴3b，即|OB|=3∵∠OF2B=60°∴222||3tan3||||OBOFBOFOF∴|OF2|=1，即c=1∴222314abc∴椭圆C的方程为22143xy（2）由（1）知，F2（1，0），A（2，0）设直线l的方程为(1)ykx代入椭圆方程化简整理得：2222(43)84120kxkxk∴22843EFkxxk，2241243EFkxxk∵0(1)22EEAEEEykxkxx∴直线AE的方程为(1)(2)2EEkxyxx∵当x=3时，(1)2EEkxyx∴M（3，(1)2EEkxx）同理可得，N（3，(1)2FFkxx）∵P为MN的中点∴P（3，11()222EFEFxxkxx）∴11()222'31EFEFxxkxxk11()422EFEFxxkxx∴211'()422EFEFxxkkkxx223()442()4EFEFEFEFxxxxkxxxx222222222824244434341216444343kkkkkkkkk2234kk34∴k•k′为定值，此定值为34锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）4、在矩形ABCD中，|AB|=23，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，如图所示。若R、R’分别在线段OF、CF上，且|||'|1||||ORCROFCFn（1）求证：直线ER与GR’的交点在椭圆Ω：2213xy上；（2）若M、N为椭圆Ω上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为23，求证：直线MN过定点，并求△GMN面积的最大值。解：（1）由题意可得：|OF|=3，|CF|=1∵|||'|1||||ORCROFCFn∴|OR|=3n，|CR’|=1n∴R（3n，0），R’（3，1-1n）∵E（0，-1），G（0，1）∴直线ER的方程为13nyx直线GR’的方程为113yxn联立两方程解得：交点P（2231nn，2211nn）代入椭圆Ω的方程得：22222222222112(1)(1)13(1)(1)(1)nnnnnn∴直线ER与GR’的交点P在椭圆Ω上（2）当直线MN的斜率不存在时，则MNxx，MNyy则1111NMMMGMGNMNMMyyyykkxxxx2211233MMyx，与题设不符设直线MN的方程为ykxb代入椭圆方程化简整理得：222(31)6330kxkbxb由0得：22310kb∴2631MNkbxxk，223331MNbxxk∵1()11NMNMNMGMGNMNMNyyyyyykkxxxx22(1)()21MNMNMNkxxkbxxbbxx123(1)3bb∴3b∴直线MN的方程为3ykx故，直线MN过定点（0，-3）∵21831MNkxxk，22431MNxxk∴|MN|=22(1)()MNkxx22(1)[()4]MNMNkxxxx22223(1)(38)2(31)kkk∵点G到直线MN的距离为22|13|411dkk∴S△GMN2222213(1)(38)422(31)1kkkk22111439()311836k∵由22310kb得，283k∴当2173k时，△GMN面积的最大值为233锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）5、已知F1、F2分别为椭圆C1：22221xyba（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：24xy的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=53（1）试求椭圆C1的方程；（2）与圆22(1)1xy相切的直线l：()ykxt（t≠0）交椭圆于A、B两点，若椭圆上一点P满足OAOBOP，求实数λ的取值范围。解：（1）由抛物线C2：24xy得，F1（0，1）∴2221cab…①设M（2,4MMxx），由|MF1|=53得：22225(1)49MMxx解得：263Mx或263（舍去）∴M（263，23）代入椭圆方程得：2284139ba…②由①②解得：24a，23b∴椭圆C1的方程为22134xy（2）∵直线l与圆22(1)1xy相切∴2|1|11ktk，得k=0或221tkt①当221tkt(t≠0)时，联立直线l与椭圆方程得：22222(34)63120kxktxkt∴22634ABktxxk∴28()234ABABktyykxxktk∵OAOBOP∴(,)(,)ABABPPxxyyxy∴点P（226(34)ktk，28(34)ktk）代入椭圆方程得：422222222212161(34)(34)ktktkk∴224224244341kttktt242244111131()24ttt∵20t∴421111tt∴204∴(2,0)(0,2)②当k=0时，A（3，0），B（3，0）∴(3,3)(,)PPOAOBOPxy∴点P（3，3）代入椭圆方程得：221314，得72显然，72在①所述区间内③当直线l的斜率不存在时，易知A（1，263），B（1，263）或A（-1，263），B（-1，263）∵(2,0)(,)PPOAOBOPxy∴点P（2，0）代入椭圆方程得：2413，得233显然，233在①所述区间内综上所述，λ的取值范围为(2,0)(0,2)F2F1BOxyAMPlC1C2锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）6、如图，已知抛物线C：22ypx和圆M：22(4)1xy，过抛物线C上一点H（,ooxy）(yo≥1)作两条直线与圆M相切于A、B两点，分别交抛物线C于E、F两点，圆心M到抛物线准线的距离为174。（1）求抛物线C的方程；（2）当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率；（3）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值。解：（1）∵圆心M到抛物线准线的距离为174∴174()24p，得12p∴抛物线C的方程为2yx（2）连接HM，则HM是∠AHB的角平分线∵HM⊥x轴∴H（4，2）显然，HEHFkk∴2244EFEFyyxx即222244EFEFyyyy∴4EFyy∴22114EFEFEFEFEFEFyyyykxxyyyy（3）设点H（2,ooyy），A（,AAxy），B（,BBxy），则2AoAHAoyykxy，4AAMAykx∵AH⊥AM∴214AoAAoAyyyxyx即2222(4)40AoAAoAoxyxyyyy…①∵点A在圆M上∴228150AAAxxy…②由①②得：22(4)1540oAoAoyxyyy同理可得：22(4)1540oBoBoyxyyy∴点A、B在直线22(4)1540oooyxyyy上∵当0x时，154ooyyy∴154ootyy∵215'40oty∴t在yo≥1上单调递增∴min41511t锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）7、椭圆C：22221xyab（a＞b＞0），圆心在坐标原点，半径为22abab的圆C1定义为椭圆C的“友好圆”。若椭圆C的离心率为63e，且其短轴上的一个端点到右焦点F的距离为3。（1）求椭圆C的方程及其“友好圆”C1的方程；（2）过椭圆中心C的两条弦PR与QS互相垂直，试探讨四边形PQRS与圆C1的位置关系；（3）在（2）的条件下，求四边形PQRS面积的取值范围。解：（1）∵点（0，±b）到点F（c，0）的距离为3∴2223cba，得23a∵椭圆C的离心率为2263cabeaa∴21b∴椭圆C的方程为2213xy∵2233231abab∴“友好圆”C1的方程为2234xy（2）由于椭圆过原点的两条弦PR与QS互相垂直，由椭圆的对称性知，四边形PQRS为菱形①当PR、QS分别与两坐标轴重合时，四边形PQRS的顶点为椭圆C的四个端点，易得，原点到四条边的距离为2232abab，则圆C1的内切于四边形PQRS②当PR、QS分别与两坐标轴不重合时设直线QS的方程为ykx（k≠0），则直线PR的方程为1yxk。不妨令k＞0，则点S、P、Q、R分别在第一、二、三、四象限内将ykx代入椭圆C的方程得22213xkx∴点S（2331k，22331kk）同理可得，点P（2233kk，233k）∴|SP|2=222212(1)(31)(3)kkk|OS|2=223(1)31kk，|OP|2=223(1)3kk设点O到SP的距离为d，由Rt△SOP面积得：2222|OP||OS|3|SP|4d，即32d∴点O到四边形PQRS四条边的距离均为32∴圆C1的内切于四边形PQRS综上所述，四边形PQRS与圆C1相切（3）由（2）知，四边形PQRS的面积为：S=14|SP|3|SP|2d2222222212(1)661(31)(3)3()10kkkkkkk令221mkk，则m≥2∴S246231310310mmm∴当m=2时，Smin=3当m→+∞，即k=0时，Smax=23故，四边形PQRS面积的取值范围为[3，23]OxySPRQ锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）8、在平面直角坐标系xOy中，已知M（0，3）、N（0，-3），平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4，记点P的轨迹为P。（1）求轨迹P的方程；（2）设过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l1：1ykxb与轨迹P相交于A、B两点；若y轴上存在一点Q，使得直线QA、QB关于y轴对称，求出点Q的坐标；（3）是否存在不过点E（0，1）且不垂直坐标轴的直线l，它与轨迹P及圆E：22(1)9xy从左至右依次交于C、D、F、G四点，且满足EDECEGEF？若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k2的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意知，轨迹P为以M、N为上下焦点，长轴长为4的椭圆，则222431bac∴轨迹P的方程为2214yx（2）直线l1的方程为1ykx代入椭圆P的方程得：22(4)230kxkx∴224ABkxxk，234ABxxk≠0设点Q（0，m），则AQAAymkx，BQBBymkx∵直线QA、QB关于y轴对称∴QAQBkk∴110ABABABABymymkxmkxmxxxx即(1)()20ABABmxxkxx∴222(1)62(4)044kmkkmkk∵k≠0∴m=4∴点Q坐标为（0，4）（3）设直线l的方程为ykxb（k≠0，b≠1）代入椭圆P方程得：222(4)240kxkbxb由Δ＞0得，2240kb∴224DFkbxxk，2244DFbxxk令DF的中点为H，则H（24kbk，244bk）令CG的中点为K∵EDECEGEF，即EDEFECEG∴EHEK，即EH与EK、H与K重合∵由垂径定理知，EK⊥l∴EH⊥l∴2241414EHbkkkkkbk，得243kb由2240kb得：205k故，存在满足题述条件的直线l。∵H（3k，43）∴|EH|2219k∴|CG|=2228029|EH|3k∵点O到CG的距离为222||4131bkdkk∴S=22222212804(4)80233191kkkkkk令21kz，(1,6)z，则22(3)(81)()81zzSfzz∴22(3)(281243)'()81zzzfzz令2()281243gzzz，由()0gz得1819574z或2819574z（舍去）易知1(1,6)z，函数()fz在（1，1z）上单调递减，在（1z，6）上单调递增∴当1zz时，函数()fz有最小值∴当2779574k时，S取得最小值锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）9、已知点A1（0，2），B1（6，0），M（2，1），直线l：463x，若曲线C上的动点P到B1的距离等于P到直线l的距离的a倍，且曲线C过点A1.（1）求曲线C的方程；（2）设平行于OM（O为坐标原点）的直线l1在y轴上的截距为m（m≠0），且l1交曲线C于两点A、B。①求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形；②若点A、B均位于y轴的右侧，求直线MA的斜率k1的取值范围。解：（1）设点P（x，y），由题意得：224(6)|6|3xyax由点A1（0，2）得：2(06)2342|06|3a∴22232662684xxyxx整理得，曲线C的方程为22182xy（2）易得12OMk设直线l1的方程为12yxm代入曲线C的方程得：222240xmxm由Δ＞0得：24m，且m≠0∴2ABxxm，22(2)ABxxm①∵1122ABMAMBAByykkxx11112222ABABxmxmxx(2)()4(1)2()4ABABABABxxmxxmxxxx222(2)2(2)4(1)2(2)44mmmmmm=0∴MAMBkk∴∠MDE=∠MED，即△MDE是等腰△故，直线MA、MB与x轴始终围成等腰三角形②若点A、B均位于y轴的右侧则有222(2)0204ABABxxmxxmm，得22m不妨令A在B的右侧，则24Axmm∴21422AAmmyxm∴212114(2)224(2)AAymmkxmm1222mm设2()2mfmm，则24'()0(2)fmm∴函数()fm在(2,2)上单调递减∴1122212222k同理可得，当A在B的左侧时，1212k故，斜率k1的取值范围为：1212k或1212k锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）10、已知抛物线C2：22xpy（p＞0）的通径长为4，椭圆C1：22221xyab（a＞b＞0）的离心率为32，且过抛物线C2的焦点。（1）求抛物线C2和椭圆C1的方程；（2）过定点M（-1，32）引直线l交抛物线C2于A、B两点（A在B的左侧），分别过A、B作抛物线C2的切线l1、l2，且l1与椭圆C1相交于P、Q两点，记此时两切线l1、l2的交点为D。①求点D的轨迹方程；②设点E（0，14），求△EPQ的面积的最大值，并求出此时点D的坐标。解：（1）∵抛物线C2的通径长为4∴24p，得p=2∴抛物线C2的方程为24xy∵抛物线C2的焦点（0，1）在椭圆C1上∴211b，得21b∵椭圆C1的离心率为2232cabeaa∴24a∴椭圆C1的方程为2214xy（2）设A（Ax，24Ax），B（Bx，24Bx）其中ABxx，0Ax，0Bx∵点A、M、B三点共线∴2233424211ABABxxxx∴60ABABxxxx（*）由24xy得：'2xy则切线l1的方程为2()42AAAxxyxx即224AAxxyx同理可得，切线l2的方程为224BBxxyx联立两方程解得，点D坐标为（2ABxx，4ABxx）①设点D（x，y），则2ABxxx，4ABxxy代入（*）式得，点D的轨迹方程为：230xy②由切线l1和椭圆C1方程，消去y得：22344(1)4160AAAxxxxx∴321APQAxxxx，42164(1)APQAxxxx∴|PQ|=224[()4]4APQPQxxxxx2422416162(1)AAAAxxxx∵点E到切线l1的距离为：2222|1|141624AAAAxxdxx∴△EPQ的面积为：S224222411161622(1)24AAAAAAxxxxxx221(8)808Ax∴当28Ax，即22Ax时，S有最大值为52此时，由（*）式得：10227Bx∴点D坐标为（2217，2107）锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）11、若椭圆E1：2222111xyab和椭圆E2：2222221xyab满足2211abmab（m＞0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比。（1）求经过点（22，32），且与椭圆C1：2221xy相似的椭圆C2的方程；（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的椭圆C1、C2交于A、B两点，求|OA|·|OB|的取值范围；（3）设直线l1：ykx与（1）中的椭圆C2交于M、N两点（其中M在第一象限），且直线l1与直线l2：x=t（t＞0）交于点D，过D作DG∥MF（F为椭圆C2的右焦点）且交x轴于点G，若直线MG与椭圆C2有且只有一个公共点，求t的值。解：（1）设椭圆C2的方程为22221xyab由题意得2213124122abab，解得2221ab∴椭圆C2的方程为2212xy（2）当直线l的斜率不存在时，则A（0，±22），B（0，±1）∴|OA|·|OB|=22当直线l的斜率存在时，设其方程为ykx联立椭圆C1的方程得：22121Axk，22221Akyk∴|OA|=2222121AAkxyk联立椭圆C2的方程得：22221Bxk，222221Bkyk∴|OB|=22222(1)21BBkxyk∴|OA|·|OB|=2222(1)21(1)21221kkk∴22＜|OA|·|OB|≤2故，|OA|·|OB的取值范围为2[,2]2（3）设M（Mx，Mkx），其中Mx＞0，k＞0易得：点F（1，0），则1MMFMkxkx由题意可得，点D（t，kt）∵MF∥DG∴直线DG的方程为()1MMkxyktxtx∴点G（Mtx，0）由2212xy得，2'0xyy，即'2xyy∴1'22MMMxykxk∴椭圆C2在点M处的切线方程为：1()2MMykxxxk∵由题意知，点G在该切线上∴1()2MMMtkxxkx∴22(21)Mtkx∵M（Mx，Mkx）在椭圆C2上∴22212MMxkx，即22221Mxk∴222(21)221tkk锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）12、如图，椭圆C1：22221xyab（a＞b＞0）和圆C2：222xyb，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π。椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M。（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线PM的斜率为t，直线l的斜率为k，求kt的值；（3）求△EPM面积最大时，直线l的方程。解：（1）∵圆C2的面积为π∴b=1∵圆C2将椭圆C1的长轴三等分∴3×2b=2a，得a=3∴椭圆C1的方程为2219xy（2）易得，E（0，-1）不妨设直线EA的方程为1ymx（m＞0）联立椭圆C1的方程可得：21891Pmxm，229191Pmym联立圆C2的方程可得：221Amxm，2211Amym∵AB是圆C2的直径，即EB⊥EA∴直线EB的方程为11yxm同理可得：2189Mmxm，2299Mmym221Bmxm，2211Bmym∵212ABAByymkxxm，2110PMPMyymtxxm∴5kt（3）由（2）得：|EP|=222229118(1)()9191mmmm2218191mmm|EM|=22222918(1)()99mmmm221819mm∴△EPM的面积为：S1|EP||EM|2342162()9829mmmm22211162()162()119()829()64mmmmmmmm1621649()1mmmm≤16227816429()1mmmm当且仅当1649()1mmmm，即183mm时，等号成立∵由（2）知，2111()22mkmmm∴22211117()[()4]449kmmmm得73k∴直线l的方程为73yx锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）13、设椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点Q（2，2）在椭圆E上。（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且OAOB，求△OAB的面积S的取值范围；（2）过M（x1，y1）的直线l1：11282xxyy与过N（x2，y2）的直线l2：22282xxyy的交点P（x0，y0）在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于G、H两点，求OGOH的值。解：（1）设椭圆E的方程为22221xyab（a＞b＞0）由题意得222421bab，解得2284ab∴椭圆E的方程为22184xy（2）当直线L的斜率不存在时，即L⊥x轴设A（,AAxy，），则B（,AAxy）∵OAOB∴1OAOBkk∴221AAAAAAyyyxxx，即22AAxy∵22184AAxy∴2283AAxy∴S=2218||||223AAxyOAOB当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为xkym，代入椭圆E的方程得：222(2)280kykmym由Δ＞0得：22480km∴222ABkmyyk，2282ABmyyk∴2222228()2ABABABmkxxkyykmyymk由OAOB知，1ABAByyxx，即0ABABxxyy∴222222222883880222mkmmkkkk∴22883km由22480km得，2[0,)k∵|AB|=22(1)[()4]ABABkyyyy222232(1)(4)3(2)kkk又点O到直线L的距离为2||1mdk∴S22222132(1)(4)||23(2)1kkmkk22228(1)(4)3(2)kkk当k=0时，S=83当k≠0时，S=22811434kk∵224[4,)kk∴S∈8(,22]3综上，S的取值范围为8[,22]3（3）由题意有：101202282282ooxxyyxxyy∴直线MN的方程为00282xxyy易得，椭圆E的准线方程为x=±4∴G（4，00422xy），H（-4，00422xy）∴OGOH=202032416xy∵点P在椭圆E上，即2200184xy∴OGOH=202032(328)168yy锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）14、已知直线l：1xmy过椭圆C：22221xyab的右焦点F，抛物线243xy的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E。（1）求椭圆C的方程：（2）若直线l交y轴于点M，且1MAAF，2MBBF，当m变化时，证明：12为定值，并求出此定值；（3）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；若不是，请说明理由。解：（1）易得抛物线243xy的焦点为（0，3）由题意得，b=3由1xmy得，F（1，0），则c=1∴222314abc∴椭圆C的方程为22143xy（2）易得，M（0，1m）联立直线l和椭圆C的方程得：22(34)690mymy∴2634ABmyym，2934AByym∵1MAAF即11(,)(1,)AAAAxyxym∴111Amy由2MBBF，同理可得：211Bmy∴1212ABAByymyy168293mm故，12为定值，此定值为83（3）当m=0时，易得1ABxx由题意知，四边形ABED是矩形易得，对角线AE、BD的交点P为（52，0）由此猜想：直线AE、BD相交于定点（52，0）由题意得：D（4，Ay），E（4，By）∴直线AE的方程为(4)4ABBAyyyyxx∵当x=52时，有：332423ABABBBAAyyyyyyyxmy23()2(3)ABABAmyyyymy221818343402(3)Ammmmmy∴点（52，0）在直线AE上同理，直线BD的方程为(4)4BAAByyyyxx同理可证，点（52，0）在直线BD上故，当m变化时，直线AE与BD相交于定点（52，0）锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）15、已知椭圆22221xyab（a＞b＞c＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若以F2为圆心、b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于3()2ac。（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长的最大值。解：（1）在Rt△PTF2中，当|PF2|最小时，|PT|最小由椭圆性质知：|PF2|+|PF1|=2a当点P位于椭圆右顶点时，|PF1|最大∴|PF2|min=2a-|PF1|max=2a-(a+c)=a-c∴|PT|=22()()acbc≥3()2ac∴0＜bcac≤12，即a+c≥2b∴1+e≥2222221baceaa整理得：2523ee≥0解得：e≥35∵222abc，且b＞c＞0∴22222abcc∴2222cea，得22e∴椭圆离心率e的取值范围32[,)52（2）由题意知，b=1则|OQ|=c+b-c=b=1，即点Q（1，0）∴直线l的方程为(1)ykx代入椭圆方程2221xya得：2222222(1)2(1)0akxakxak∴222221ABakxxak，2222(1)1ABakxxak∵OA⊥OB∴0OAOB∴0ABABxxyy即2(1)(1)0ABABxxkxx222(1)()0ABABkxxkxxk∴242422222(1)2011akakkakak由k＞0，a＞0得，ka∴直线l的方程为0axya∴点F2到直线l的距离为22|||1|11acaacdaa∵|F2Q|=1-c∴由圆的性质可得，直线l被圆F2截得的弦长为：22||2(1)CQcd2222(1)2(1)1acca2222(1)212212cccac∵35≤e＜22，即925≤22222221cccabcc＜12∴34≤c＜1令2221()2ccfcc，则222(1)'()0(2)ccfcc∴函数()fc在（34，1）上单调递减∴当c=34时，()fc有最大值，即|CQ|有最大值∴|CQ|max=24141锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）16、如图，已知离心率为132的双曲线E：22221xyab，点F1、F2为双曲线E的两个焦点，点A、B分别是双曲线E的两条渐近线l1、l2上的两点，且△AOB的面积为274，在双曲线E上存在点P为线段AB的一个三等分点。（1）若A、B点的横坐标分别为xA、xB，则xA、xB之间满足怎样的关系？并证明你的结论；（2）求双曲线E的方程；（3）设双曲线E上的动点M，若∠F1MF2为钝角，求点M的横坐标xo的取值范围。解：（1）92ABxx，证明如下：由22132cabeaa得，2294ba∴l1的方程为32yx，l2的方程为32yx则A（Ax，32Ax），B（Bx，32Bx）设l1的倾角为α，则3tan2∴22tan12sinsin21tan13AOB∴S△AOB=1||||sin2OAOBAOB22226991344AABBxxxx32724ABxx∴92ABxx（2）由题意，不妨设2PABP，令P（x，y）则2()332()22ABABxxxxxyyx即3222ABABxxxyxx∴222294(2)(2)ABABxyxxxx836ABxx∴双曲线E的方程为22149xy（3）由（2）可得，交点F坐标为（13，0）设点M（ox，oy），则22994ooyx∵1(13,)ooMFxy2(13,)ooMFxy∴221213ooMFMFxy213224ox∵∠F1MF2为钝角∴2132204ox∴222862861313ox由双曲线E的方程知，||2ox∴2ox或2ox∴xo的取值范围为22(286,2)(2,286)1313锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）17、已知动圆过定点（2p，0），且与直线2px相切，其中p＞0.（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于坐标原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且为定值θ（0＜θ＜π且2）时，证明直线AB恒过定点，并求出该点的坐标。解：（1）设动圆圆心C的坐标为（x，y）由题意得：22()||22ppxyx化简整理得，点C的轨迹方程为22ypx（2）设A（Ax，Ay），B（Bx，By）∵0∴0ABxx∴直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykxb联立22ypx消去x得：2220kypypb∴2ABpyyk，2ABpbyyk①当2时∵tantantan()1tantan→+∞∴tantan1∴1ABAByyxx∴2222ABABAByyyyxxpp，得24AByyp∴224ABpbyypk，得2bpk∴直线AB的方程为2(2)ykxpkkxp∴直线AB恒过点（-2p，0）②当2时∵tantantantan()1tantan2222()22411ABABABABABABABAByyppxxyypyyyyppyypyyxx2222224pppkpbbpkpk∴22tanpbpk∴直线AB的方程为22tanpykxpk即2(2)tanpykxp∴直线AB恒过点2(2,)tanpp综上，当2时，直线AB恒过点（-2p，0）当2时，直线AB恒过点2(2,)tanpp2p2px锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）18、如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆2214xy的左、右顶点，P（2，t）（t∈R且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连接PO分别和AC、AD连线交于E、F。（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=-1，记直线AC、AD的斜率分别为k1、k2，求证：1211kk为定值。（3）求证：四边形AFBE是平行四边形解：（1）易得，右焦点为（3，0），上顶点为（0，1）则直线l的方程为101(0)03yx即313yx∵点P（2，t）在直线l上∴2313t（2）易得，A（-2，0）设直线AC的方程为1(2)ykx联立椭圆方程得：21212814Ckxk，121414Ckyk设直线AD的方程为2(2)ykx联立椭圆方程得：22222814Dkxk，222414Dkyk∵C、D、P（2，-1）三点共线∴12221222122212441114142828221414kkkkkkkk化简整理得：12114kk故，1211kk为定值（3）欲证四边形AFBE是平行四边形，只需证明O为线段EF的中点即可易得，直线EF的方程为2tyx联立直线AC的方程得：1142Ekxtk联立直线AD的方程得：2242Fkxtk只需证明：121244022EFkkxxtktk即证12124kktkk∵C、D、P（2，t）三点共线∴由（2）得：122212221222124414142828221414kkttkkkkkk化简整理得：12124kktkk，由此即证故，四边形AFBE是平行四边形锤子数学编Q1622324712（解析几何部分）19、已知椭圆E：22221xyab（a＞b＞0）的右焦点到其右准线的距离为1，到右顶点的距离为21，圆O：222xya，P为圆O上任意一点。（1）求a、b；（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，线段PH与椭圆交于点M，求||||MHPH；（3）过点P作椭圆E的一条切线l，直线m是经过点P且与切线l垂直的直线，试问：直线m是否经过一定点？若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由。解：（1）易知：右焦点为（c，0），右顶点为（a，0）右准线为2axc，由题意得：2121accac解得12ca∴22211bac（2）由（1）得，椭圆E的方程为2212xy圆O的方程为222xy不妨令H位于x轴正半轴，设H（t，0）∵PH⊥x轴则P（t，22t），M（t，2222t）∴22||222||222MHtPHt（3）设P（Px，Py）①当1Px且0Py时，直线l、m的斜率均存在设直线l的方程为()PPyykxx代入椭圆E的方程，化简整理得：222(12)4()2()20PPPPkxkkxyxkxy由Δ=0得：22()210PPkxyk即222(2)210PPPPxkxyky∵222PPxy∴22221PPPPykxykx∴1PPxky或1PPxky当1PPxky时，则1PmPykx∴直线m的方程为()1PPPPyyyxxx得(1)1PPyyxx可知，直线m过定点（1，0）当1PPx