自动控制原理的MATLAB仿真与实践第7章 离散系统分析与设计

*第7章主要内容：7.1离散系统建模7.1.1离散系统的模型 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示7.1.2离散系统传函模型的建立7.2离散系统建模的转换7.2.1利用MATLAB专用函数命令转换7.2.2利用MATLABZ变换进行转换7.3离散系统分析7.3.1离散系统响应7.3.2离散系统稳定性判断7.3.3采样周期与开环增益对稳定性的影响7.3.4采样器和采样保持器对动态性能的影响*7.4离散系统设计7.4.1离散系统的一般设计方法7.4.2离散系统的PID设计方法7.4.3数字控制器的实现7.5作业与实验*7.1离散系统建模*离散系统的MATLAB建模方法与连续系统建模的命令格式类似，函数命令含义也相似，差异在于离散模型带有采样时间、保持方式等参数设定要求。7.1.1离散系统的模型表示1.差分方程模型 其中，r(*)和c(*)分别为离散系统的输入和输出，{ai，i=1,2,…,n},{bj，j=1,2,…,m}为实常数，n≥m为差分阶次，k=0,1,2,…为采样时刻。差分方程模型对应连续系统中的常微分方程。*差分方程解可由上式递推得到，即 2.Z传递函数模型 3.零极点模型7.1.2离散系统传函模型的建立*离散系统建模可以由MATLAB专用函数命令生成，也可以由连续系统转换为离散模型。常用模型建立与转换命令格式见表7-1z=tf(‘z’,Ts)：指定变量z为离散系统传递函数模型,Ts为采样周期（采样间隔或时间）。Gz=tf(num,den,Ts)：生成采样时间为Ts的离散传递函数。num,den为离散系统模型的分子和分母系数向量Gz=zpk(z,p,k,Ts)：生成采样时间为Ts的离散零极点传递函数，z,p,k,为离散模型的零、极点及增益。 *Gz=drss(N,P,m)：随机生成N阶稳定的离散状态空间模型，该系统具有m个输入，P个输出。缺省时P=m=1，即sys=drss(N)。[num,den]=drmodel(N,P)：生成一个N阶离散的传递函数模型系统，该系统具有P个输出。 【例7-1】试将下列离散模型生成MATLAB离散模型。 解：有几种方法可以建立MATLAB模型： 方法1： >>clear; Ts=1;z=tf(‘z’,Ts);%取采样间隔为1s的离散模型z Gz=(3*z^2+2*z+1)/z/(z+1)^2%对模型z进行运算， 得到以z为离散变量的离散系统模型*方法2：>>num=[3,2,1];den=conv([1,1,0],[1,1]);Ts=1;Gz=tf(num,den,Ts)%生成以z为默认变量，采样时间为1s的离散系统模型上述方法可得同一结果：Transferfunction:3z^2+2z+1------------------------z^3+2z^2+zSamplingtime:1注意：模型与函数的区别：前者用于系统分析，后者用于函数计算。 *【例7-2】试生成MATLAB离散模型 解:程序： >>clear;z=[1,-1];p=[0,-1,-1];k=20;Ts=0.5;Gz=zpk(z,p,k,Ts) 结果： Zero/pole/gain: 20(z-1)(z+1) ----------------- z(z+1)^2 Samplingtime:0.5 *7.2离散系统建模的转换*离散系统的模型转换可以通过Z变换方法实现由连续模型转化为离散模型。即已知G(s)求Gz(z)。具体步骤：1）g(t)=L-1[G(s)]；2）g(nT)=g(t)︱t=nT；3） 其中z=esT，记作Gz(z)=Z[G(s)]。 也可以利用MATLAB专用函数命令实现连续模型与离散模型之间的转换，以及采样参数的改变等。*在已知连续模型转情况下，可以利用MATLAB专用函数命令得到其离散模型，反之亦然。常用连续与离散模型之间的转换函数命令格式及说明见表7-2。Gz=c2d(G,Ts)：将连续系统G转换为采样系统Gz，Ts为采样周期，Gz=c2d(G,Ts,method)：method为采样保持器类型选择，常用的有method='zoh'为零阶保持器（可缺省）；'foh'为可调节零阶保持器；'tustin'为双边线性变换；'matched'为匹配零极点方法。7.2.1利用MATLAB专用函数命令转换*G=d2c(Gz)：将采样系统Gz转换为连续系统G。G=d2c(Gz,method)：采样保持方式：method='zoh'、'tustin'、'prewarp'、'matched'中的一种。Gz=d2d(Gz,Ts)：将采样系统Gz的采样周期改为Ts。【例7-3】试分析连续模型的离散化问题。 解：先建立连续模型，再离散化；通过将离散转为连续进行验证；选择不同转换方式，观察变换结果；改变Ts，观察结果。 >>clear;G=zpk([1,-0.5],[0,-1,-1],20)%建立零极点增益模型GGz=c2d(G,0.2)%将G转化为离散模型Gz，Ts=0.2，零阶保持器结果：Zero/pole/gain:20(s-1)(s+0.5)----------------------s(s+1)^2Zero/pole/gain:3.0876(z-0.9048)(z-1.224)-----------------------------------(z-1)(z-0.8187)^2Samplingtime:0.2 *利用G=d2c(Gz,method)将离散模型转换为连续模型：>>G1=d2c(Gz)结果为：Zero/pole/gain:20(s-1)(s+0.5)-------------------s(s+1)^2说明：结果与method的选择有关。当选择相同的离散和转换方式method时，可得到一致的结果。否则结果可能相差较大。*传递函数模型还可以通过对离散序列模型进行Z-变换来建模，即 反之，离散序列函数传还可以通过对Z递函数模型进行反变求得，即g(nk)=Z-1[Gz(z)]。常用的Z-变换与Z-反变换函数命令格式如表7-3所示。 F=ztrans(f)：Z-变换，即将离散序列（采样）函数f(n)进行z变换，即F(z)=Z{f(n)} F=ztrans(f,w)：Z-变换，即将采样函数f(n)进行z变换，变量为w，即F(w)=Z{f(n)} F=ztrans(f,w,k)：Z-变换，即对采样函数f中指定变量k进行z变换，即F(w)=Z{f(k)}*7.2.2利用MATLABZ变换实现离散序列模型转换f=iztrans(F)：Z-反变换，f(n)=Z-1{F(z)}f=iztrans(F,k)：Z-反变换，f(k)=Z-1{F(z)}f=iztrans(F,w,k)：Z-反变换，f(k)=Z-1{F(w)}【例7-4】试建立以下序列函数的离散模型 解： >>clear;symsnab;%定义变量 f=n^4;%建立离散函数f(n)=n^4 ztrans(f)%对默认变量n进行Z变换*7.2.2利用MATLABZ变换实现离散序列模型转换运行结果：z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z-1)^5即F(z)=Z[f(n)]=z(z3+11z2+11z+1)/(z-1)5。>>g=a^n;%建立离散函数g(n)=a^nsimplify(ztrans(g))%Z变换，并简化结果运行结果：-z/(-z+a)>>f=sin(b*n);%建立离散函数ztrans(f)%Z变换运行结果：z*sin(b)/(z^2-2*z*cos(b)+1) **【例7-5】试求以下离散模型的原函数解：>>clear;symsza;Fz=2*z/(z-2)^2;%建立离散函数iztrans(Fz)%Z反变换结果：2^n*n>>Gz=z*(z+1)/(z^2+2*z+1);iztrans(Gz)结果：(-1)^n>>symska;Fz=z/(z-a);iztrans(Fz,k)结果：ans=a^k注意：Z-反变换的结果是序列函数，不是连续函数。对于连续系统分析，要求已知系统模型及输入信号，才能求出系统的输出响应。对于离散系统，可在连续系统中引入采样与保持器，将其变为离散系统，再按照离散系统的分析方法加以研究。常用于离散系统分析的函数命令格式及说明见表7-4。 7.3.1离散系统响应 【例7-7】如图7-1所示的RC网络，其系统连续模型为 *7.3离散系统分析*输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)，经采样器S0后变为脉冲序列r*(t)=δT(t)=δ(0)+δ(T)+δ(2T)+...，采样时间T=1s。试求连续模型G(s)和离散模型Gz(z)的输出c(t)和c*(t)。*解：1）连续模型G(s)情况下的输出c(t)。由于采样器开关的动作周期为1s，所以需要生成周期为1s的单位脉冲信号序列来模拟。再求该信号的输出响应。程序如下：>>clear;G=tf([1],[1,1]);%建立连续模型type='pulse';%生成脉冲序列，tau=1;Tf=9;dt=0.1;%周期为1s，终止时间为9s，采样间隔为0.1s[u,t]=gensig(type,tau,Tf,dt);%返回脉冲序列参数lsim(G,u,t) ;%求连续模型的单位脉冲序列响应结果如图7-2所示。由图可见，由于电容端电压不能突变，所以在采样点上，输出电压是逐渐增加的；在非采样点区间，输出电压是指数衰减的。*2）离散模型Gz(z)时的输出c*(t)。（1）拉氏变换和Z变换方法：先将连续模型转换为离散模型，将连续输入变为离散输入：%连续模型转换为离散模型：>>clear;symss;G=1/(s+1);%建立函数表达式g=ilaplace(G);%拉氏反变换symstnz;gn=subs(g,t,n);%将原函数转为序列g(nT)Gz=ztrans(gn);%Z变换simplify(Gz)%化简Gz*结果：ans=z*exp(1)/(z*exp(1)-1)%化简后的Gz>>Gz=z/(z-1/exp(1))%整理函数Gz=z/(z-6627126856707895/18014398509481984)>>Gz=vpa(Gz,4)%求4位有效位得到Gz=z/(z-.3679)对于输入的拉氏和Z变换只能查表求得。已知单位脉冲信号的Z变换为Rz(z)=z/(z-1)。所以RC网络的输出为**令X=z-1，代入上式得Cz=1/(1-X)/(1-0.3679*X)将Cz展开为级数形式，可以得到输出的时间序列表示。程序如下：>>symsX;f=1;g=expand((1-X)*(1-3679/10000*X))%展开为多项式Cz=f/g;%分式表示cz=taylor(fg,9)%泰勒级数展开（取9项）cz=vpa(ans,4)%取级数系数精度为4位有效数cz=1.+1.368*X+1.503*X^2+1.553*X^3+1.571*X^4+1.578*X^5+1.581*X^6+1.581*X^7+1.582*X^8 *即得上式是RC网络的离散输出模型，借助MATLAB得到的曲线如图7-3所示。*（2）利用MATLAB函数命令：直接利用MATLAB的离散脉冲响应函数命令可以直接得到RC离散模型下的脉冲响应曲线。程序如下：>>numz=[1,0,0];denz=[1,-1.368,0.368];dimpulse(numz,denz,10);axis([0,9,0,2.5])结果如图7-4所示。说明：有本例题可以看出，在问题1）中，由于采样开关的作用，使输入量离散化，而输出是连续的，这是因为模型是连续的；在问题2）中，对于情况（1），输入和模型均被离散，所以只在采样点上才有值，而采样区间内无值，因此输出为脉冲序列；对于情况（2），输入和模型也均被离散，但由于离散分析带有保持器作用，可将前一个采样点的输出值保持到当前采样点之前。由此可见，带采样保持器只是保持了输出的状态（即将离散信号以“连续”的方式输出），并未改变系统的动态特性。*【例7-8】设连续系统模型为 试分析系统连续与离散时的典型响应。 解：建立离散模型 >>clear;num=[2,5,1];den=[1,2,1]; G=tf(num,den,'td',0.5)%生成带有延迟环节的连 续系统传递函数模型 Gz=c2d(G,0.4,'foh')%将连续模型转换为离散模 型，采样周期为0.4s *结果：Transferfunction:2s^2+5s+1exp(-0.5*s)*-------------------s^2+2s+1Transferfunction:1.583z^3-1.499z^2-0.193z+0.2185z^(-1)*---------------------------------------------------z^3-1.341z^2+0.4493zSamplingtime:0.4 *连续与离散输出响应曲线比较：>>step(G,'-.k',Gz,'-k');axis([0,8,0,2.5])legend('G','Gz')结果如图7-5a）所示。 **7.3.2离散系统稳定性判断【例7-9】试判定以下闭环离散系统的稳定性。 解： >>clear;numz=[52];denz=[1-0.3-0.50.06]; Gz1=tf(numz,denz,'Ts',0.1);%建立离散系统模型 Gzv1=[eig(Gz1),abs(eig(Gz1))]%求离散系统特征根 及其模值 *结果：Gzv1=0.82030.8203-0.63540.63540.11510.1151可见，模值均小于1，所以系统稳定。>>pzmap(Gz1)%绘制离散系统Gz1的零极点分布图零极点分布图如图7-6a）所示。所有零极点均在单位圆内，所以系统稳定。>>z=tf('z',0.1);%建立模型zGz2=(3.2*z^-2+10.7*z^-1+17)/(z^-5-7.3*z^-4+158*z^-3+112.1*z^-2+82.2*z^-1-300);pzmap(Gz2)%绘制离散系统Gz2的零极点分布图 *注：也可通过语句dstep(numz,denz,50)，观察Gz1的单位阶跃响应情况，来检验上述稳定性判据的正确性。*零极点分布图如图7-6b）所示。有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。*【例7-11】设离散系统的结构如图7-8所示。其中采样器采样周期为T。零阶保持器G0h(s)为被控对象G(s)为7.3.3采样周期与开环增益对稳定性的影响*试分析：1）采样周期分别为T=1s和T=0.5s时系统的开环离散模型；2）当r(t)=1(t),K=1,T=[0.1,1,2,4]s时，系统的输出响应c(kT)。解：1）系统开环传递函数Gk(s)=G0h(s)G(s)。开环离散模型为>>clear;G0=tf([1],[1,1,0,0]);%建立连续模型T1=1;G0z1=c2d(G0,T1)%转换为采样1s的离散模型T2=0.5;G0z2=c2d(G0,T2)%转为周期0.5s的离散模型*结果：Transferfunction:0.1321z^2+0.4197z+0.0803-------------------------------------------z^3-2.368z^2+1.736z-0.3679Samplingtime:1Transferfunction:0.01847z^2+0.06551z+0.01439--------------------------------------------z^3-2.607z^2+2.213z-0.6065Samplingtime:0.5不同的T，则不同的离散模型参数，但不影响模型阶次。 *2）开环离散模型变为： 闭环离散模型为： 任取K=[1,3,10];T=[0.1,1,2,3,4]s。 先观察T=0.1s，不同K时闭环单位阶跃响应的变化情况。 *>>clear;K=[1,3,10];T=[0.1,1,2,3,4];i=1;forj=1:length(K);%循环计算不同K和T时的模型numz=K(j)*[T(i)+exp(-T(i))-1,1-exp(-T(i))-T(i)*exp(-T(i))];denz=[1,-1-exp(-T(i))+K(j)*(T(i)-1+exp(-T(i))),exp(-T(i))+K(j)*(1-exp(-T(i))-T(i)*exp(-T(i)))];dstep(numz,denz,100);holdon;end*结果如图7-9所示。由图可见，在采样间隔（周期）T一定时，开环增益K越大，系统振荡越严重，直至不稳定。*当K=1时，不同采样周期T时，闭环单位阶跃响应曲线的变化情况如图7-10所示。由图可见，随着T增大，系统的稳定性变差，直至不稳定。【例7-12】设连续闭环系统传递函数为带有采样器时闭环系统模型为试绘制上述模型的单位阶跃响应曲线，观察它们之间的区别。解：>>clear;T=0.2;ev=exp(-T);%采样时间T=0.2snum=[1];den=[1,1,1];Gb=tf(num,den);%无采样器和保持器时的连续闭环传递函数nums=[1-ev,0];dens=[1,-2*ev,ev];%有采样器时的离散闭环模型参数Gbzs=tf(nums,dens,'Ts',T);%建立离散模型Gbzs *7.3.4采样器和采样保持器对动态性能的影响nums0=[T+ev-1,1-ev-T*ev];dens0=[1,T-2,1-T*ev,];%有采样器及保持器时模型参数Gbzs0=tf(nums0,dens0,'Ts',T);%有采样及保持器的离散闭环模型step(Gb,'-k',Gbzs,'-b',Gbzs0,'-r');axis([0,13,0,1.6]); **T=0.2s时的结果如图7-11a）所示。只有采样器时，离散系统动态变化较大，也与原模型相差较大，原因是只在采样点上有信号，原有信息不能很好地被复现（参看图7-2）。*带有采样及保持器时，则能较好地复现原系统信号，原因是在采样点区间保持了原来的信息。图7-11b）为T=0.05s时的情况。由图可见，采样周期（区间）越小，具有采样及保持器的离散系统越接近原系统的动态特性。当采样区间趋于零时，离散系统趋于连续系统。*由图可见，闭环系统的稳定范围为Kg>5，所以G2闭环后稳定。闭环单位阶跃响应曲线如图4-18b)所示。离散系统的设计可以由连续设计后转化为离散设计结果，也可以直接由离散系统进行设计。由【例7-12】可以看出，当采样周期足够小，带有保持器的离散系统的动态性能与连续时的系统非常接近，所以在一些条件下，离散系统设计可以借用连续系统的设计思路和方法。 *7.4离散系统设计假设带有数字控制器的离散控制系统框图如图7-12所示。系统由采样开关（Ts为采样周期）、控制器D(z)、保持器Gh(s)、被控对象和反馈测量H(s)组成。 *7.4.1离散系统的一般设计方法*图中，离散控制器D(z)可由模拟控制器Gc(s)加采样器组成、或者是数字控制器或计算机。被控对象G(s可以)是模拟或数字的。对于模拟对象，则离散控制量u(k)需要经数/模(D/A)转换器再进入保持器（通常D/A转换器带有输出保持其功能）。通常，离散系统设计有两种方法，一种是先按连续系统设计Gc(s)，再将其离散化，并用数字电路或计算机实现其控制律；另一种是直接按离散系统的原理进行设计。这里主要介绍后者。 **假设离散系统的闭环传递函数为 由上式可得 可见，若已知被控对象模型及预期的闭环模型Gzb(z)， 就可以由上式确定出所需要的离散控制器模型D(z)。 将上式中的z变为s即为连续模型公式，可以按照连续 模型进行设计。 *仿照式（7-4）和（7-3）式，控制器模型及控制律可表示为： 其中，k=1,2,3，….。上式表明，第k步控制量需要用 到其前一步和直到n步的控制量和前n-m步直到n步的 误差量。可见数字控制器必须具有累加和记忆功能。 由第6章可知，连续PID控制器输入/输出的数学模型为： 将其离散化，可得到差分全量PID控制律： 式中TS为采样周期。 *7.4.2离散系统的PID设计方法*增量PID控制律的总控制量为u(k)=u(k-1)+△u(k)，即表示为当前的控制量等于前一步的控制量加上当前的控制增量。由上式进一步得到数字控制器模型：*当Td=0，TI=∞时，D(z)=Kp，变为比例（P）控制器；当Td=0时，变为比例积分（PI）控制器；当TI=∞时，变为比例微（PD）分控制器。 离散PID控制律对系统的控制作用与连续时一样。 *【例7-13】设离散系统如图7-12所示，且H(s)=1。已知被控对象模型为： 取采样周期为Ts=0.1s及零阶保持器。试分别用P、PI、 PD和PID控制器，观察不同控制器对系统的动态响应过 程的影响。 解：先确定零阶保持器与被控对象串联后G0(s)的Z变换模型G0(z)： *由式（7-6）得闭环离散模型为： 将P、PI、PD和PID控制器分别代入上式，并求其单位 阶跃响应曲线。程序如下： >>clear;Ts=0.1;num0=[1,0.9048]; den0=conv([1,-0.8187],[1,-0.9048]); G0=tf(0.0453*num0,den0,Ts);%G0模型 Kp=[1,2,2,2,2];%原系统，P、PI、PD、PID的Kp参数 TI=[1e+20,1e+20,2,1e+20,2];%原系统，P、PI、PD、PID的TI参数 Td=[0,0,0,0.1,0.1];%对应原系统，P、PI、PD、PID的Td参数*fori=1:5;%顺序绘制不同控制器时系统的响应曲线b0=Kp(i)*(1+Ts/TI(i)+Td(i)/Ts);%计算PID参数bib1=Kp(i)*(1+2*Td(i)/Ts);b2=Kp(i)*Td(i)/Ts;numz=[b0,-b1,b2];denz=[1,-1,0];%控制器模型参数Dz=tf(numz,denz,Ts);%控制器模型Gb=minreal(feedback(Dz*G0,1));%闭环模型简化step(Gb)；%单位阶跃响应holdon%保持图形end%循环结束*结果如图7-13所示。由图可见，PI和PID可以消除稳态误差，Kp可以减小稳态误差，PD可以提高响应的快速性。这些特点与连续系统一致。数字控制器的实现有两种方法：一是连续控制器加采样与保持器；另一种是通过计算机编程实现。采用计算机实现控制器的控制量运算的控制系统框图如图7-13所示。 通常（A/D）（D/A）具有采样与保持器功能，采 样周期（或转换频率）由计算机编程来控制。 *7.4.3数字控制器的实现*【例7-14】试将例7-13中的PID控制器D(z)用计算机实现。解：由式(7-12)得到PID控制器的输出模型设k<0时，u(k)=e(k)=0。在零时刻，输入单位阶跃信号，此时x0(0)=0，e(0)=1。将k=0,1,2,…代入上式，得到零时刻及以后PID控制器D(z)的输出控制序列：u(0)=b0,u(1)=u(0)+b0e(1)-b1，u(2)=u(1)+b0e(2)-b1e(1)+b2e(0)，u(3)=u(2)+b0e(3)-b1e(2)+b2e(1)，u(4)=u(3)+b0e(4)-b1e(3)+b2e(2)，.... *其通式为： 在时刻kTs，控制序列{u(k)，k=0,1,2,…}作用于被控对 象，随即产生相应的输出序列{xo(k)，k=0,1,2,…}。输 出序列可由式（7-13）得到，即 xo(k)=1.724xo(k-1)-0.7408xo(k-2)+0.0453u(k-1)+0.04099u(k-2) 经过反馈测量，得到误差序列{e(k)=xi(k)-xo(k)=1-xo(k)，k=0,1,2,…}。再经PID运算得到新的控制信号，再作用于被控对象，....，如此反复。 *上述过程以采样周期Ts为间隔，按k顺序进行，因此离散控制过程是一个循环迭代的过程。计算机编程流程框图如图7-14所示。 *编程流程主要包括三部分：初始参数设置；控制律计算；输出及测量转换。采样周期Ts的选择不能小于计算机运算时间的总和。利用MATLAB得控制序列、误差序列和输出序列如表7-5所示。 *对应的响应波形如图7-15所示。 *说明：离散控制系统分析方法是连续控制系统方法的推广。当采样周期满足采样定理，且足够小时，离散系统的分析与设计方法与连续系统一样，只是在理论上有不同的数学描述。在实际分析时，应根据实际情况进行选择。而在工程设计与控制实施时，还需要了解和掌握数字装置或计算机的结构特点和和应用方法等。 **