第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题“∃x>0，x2−ax+b>0”的否定是( )A.∃x>0，x2−ax+b≤0B.∃x≤0，x2−ax+b>0C.∀x≤0，x2−ax+b≤0D.∀x>0，x2−ax+b≤02.已知集合A={0,1,2,4}，B={x|x<2}，则A∩B的子集的个数为( )A.1B.2C.4D.83.函数f(x)=xsinx2|x|−1的大致图象为( )A.B.C.D.4.对于定义在R上的函数f(x)，下列说法正确的是( )A.若f(2)>f(1)，则函数f(x)是增函数B.若f(2)>f(1)，则函数f(x)不是减函数C.若f(−2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数D.若f(−2)=f(2)，则函数f(x)不是奇函数5.若a=2log32，b=(6427)13，c=tanπ6，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>a>b6.中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是T0，经过tmin后的温度是T，则T−Ta=(T0−Ta)e−th(c≈2.71828…)，其中Ta
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示环境温度，h表示半衰期.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是80°C放在20°C的室温中，10min以后茶水的温度是50℃，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？(结果精确到0.1，参考数据ln2≈0.7，ln3=1.1)( )A.5.6minB.5.7minC.5.8minD.5.9min7.若函数f(x)=x|x+a|−5,x≤1,ax,x>1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为( )A.[−3,−2]B.[−3,−1]C.[−2,0)D.(0,+∞)8.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2x.若g(f(x)−a)≥0恒成立，则实数a的取值范围为( )A.(−∞,1)B.(−∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.对于不等关系人们在早期会使用文字或象征性记号来记述.例如，荷兰数学家吉拉尔在他1629年所著《代数新发现》一书中，使用下面记号：AffB表示A大于B，A§B表示A小于B.若affbff0，则下列不等式一定成立的是( )A.(a+b)ff2abB.B.(a+b2)2§a2+b22C.ab§a+1b+1D.ac2ffbc210.已知函数f(x)=2cos(π3x−π6)，下列说法正确的是( )A.函数f(x)图象可由函数g(x)=2cos(π3x+π6)的图象向右平移π3个单位得到B.函数f(x)图象可由函数g(x)=cos(π3x−π6)的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到C.函数f(x)图象可由函数g(x)=2cos(πx−π6)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到D.函数f(x)的对称轴为x=−1+3k，k∈Z11.已知函数f(x)=tan2x.则下列关于f(x)的说法正确的是( )A.周期为π2B.定义域为{x|x≠π4+kπ,k∈Z}C.增区间为(−π4+kπ2,π4+kπ2)(k∈Z)D.图象的对称中心为(kπ2,0)(k∈Z)12.已知f(x)是定义在R上的函数，且对于任意实数x恒有f(x+2)=−f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=−x2+2x.则( )A.f(x)为奇函数B.f(x)在x∈[2,4]上的解析式为f(x)=x2−6x+8C.f(x)的值域为[0,1]D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)=1三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的周长为42cm，圆心角为2rad，则该扇形的弧长为 cm，面积为 cm2．14.请写出一个幂函数f(x)满足以下条件：①定义域为[0,+∞)；②f(x)为增函数.则f(x)= ．15.如图点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x= ．16.已知函数f(x)=x2，g(x)=|(12)x−m|.若∀x1∈[−1,2]，∃x2∈[−3,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数m的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)设全集U=R，集合A={x|y=lg(−x2+6x−5)}，集合B=[2−a,1+2a]，其中a∈R．(1)当a=1时，求B∪(∁UA)；(2)若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求实数a的取值范围．从①充分；②必要；③既不充分也不必要三个条件中选择一个填空，并解答该题．18.(本小题12.0分)在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A(13,y0).将角α的终边按逆时针方向旋转π2得到角β．(1)求tanβ；(2)求sin(α−π2)cos(π−β)sin(π+β)cos(β+3π2)+sin(3π−α)cos(π2−α)的值．19.(本小题12.0分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象经过点(0,−1)，若x1、x2满足对∀x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，f(x2)−f(x1)=4且|x1−x2|min=π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[−π4,π4]上的单调区间及最值．20.(本小题12.0分)汽车在隧道内行驶时，安全车距d(单位：m)正比于车速v(单位：km/h)的平方与车身长l(单位：m)的积，且安全车距不得小于半个车身长.当车速为70km/h时，安全车距为19.6个车身长．(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距d与车速v之间的函数关系式；(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为10m，当速度为多少时该车队通过(第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队)长度为800m的隧道用时最短？21.(本小题12.0分)已知二次函数f(x)满足f(x)=f(4−x)，f(2)=f(1)−1，若不等式f(x)≤−2x+2有唯一实数解．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在[t,t+1]上的最小值为g(t)．①求g(t)；②解不等式g(m)
0，x2−ax+b>0”为特称命题，其否定为全称命题，即为：∀x>0，x2−ax+b≤0，故选：D．根据特称命题与全称命题的否定关系即可求解．本题考查了特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．2.【答案】C 【解析】解：集合A={0,1,2,4}，B={x|x<2}，∴A∩B={0,1}，则A∩B的子集的个数为22=4．故选：C．利用交集定义求出A∩B={0,1}，由此能求出A∩B的子集的个数．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算能力，是基础题．3.【答案】A 【解析】解：根据题意，函数f(x)=xsinx2|x|−1，其定义域为R，由f(−x)=xsinx2|x|−1=f(x)，函数f(x)为偶函数，排除CD，在区间(0,π)上，sinx>0，则有f(x)>0，排除B，故选：A．根据题意，分析函数的奇偶性排除CD，再分析(0,π)上否、，函数值的符号，排除B，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值的符号，属于基础题．4.【答案】B 【解析】解：函数单调递增，需要变量大小关系恒成立，故A错误，若f(2)>f(1)，则函数f(x)肯定不是减函数，故B正确，若f(−x)=f(x)恒成立，则f(x)是偶函数，故C错误，当f(−2)=f(2)=0时，f(x)也有可能是奇函数，故D错误，故选：B．根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】B 【解析】解：1=log33a>c．故选：B．可得出11当a=−1时，f(x)=x|x−1|−5,x≤1,−1x,x>1，当x≤1时，f(x)=−x2+x−5，函数的对称轴为x=12，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C，当a=1时，f(x)=x|x+1|−5,x≤1,1x,x>1，当x∈(−1,1)时，f(x)=x2+x−5，函数的对称轴为x=−12，函数不是单调函数，排除D；故选：A．利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果．本题考查函数的单调性，注意分段函数的解析式，属于中档题．8.【答案】A 【解析】解：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，因为f(x)+g(x)=2x，①所以f(−x)+g(−x)=2−x，所以f(x)−g(x)=2−x，②①+②得f(x)=2x+2−x2，g(x)=2x−2−x2，所以g(x)在R上单调递增，g(0)=0，若g(f(x)−a)≥0恒成立，则g(f(x)−a)>g(0)恒成立，所以f(x)−a>0恒成立，所以f(x)>a恒成立，所以只需ag(0)恒成立，则f(x)−a>0恒成立，只需ab>0，∴a+b>2ab，(a+b2)2−a2+b22=−(a−b)24<0，(a+b2)20，ab>a+1b+1，c=0时，ac2=bc2．故选：AB．根据题意知a>b>0，然后根据基本不等式可判断A正确；利用作差比较法即可判断BC的正误；c=0时，选项D不正确．本题考查了基本不等式，作差比较法比较两个式子的方法，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】BC 【解析】解：函数f(x)图象可由函数g(x)=2cos(π3x+π6)的图象向右平移π3个单位得到：函数y=2cos(π3x−π29+π6)≠f(x)，所以A不正确；函数f(x)图象可由函数g(x)=cos(π3x−π6)的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y=2cos(π3x−π6)=f(x)，所以B正确；函数f(x)图象可由函数g(x)=2cos(πx−π6)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到y=cos(π3x−π6)=f(x)，所以C正确；π3x−π6=kπ，解得x=3k+12，k∈Z，所以D不正确；故选：BC．利用三角函数的图象变换，以及函数的性质，判断选项的正误即可．本题考查三角函数图象的变换，三角函数的简单性质的应用，是中档题．11.【答案】AC 【解析】解：对于函数f(x)=tan2x，可得它的最小正周期为π2，故A正确；由2x≠kπ+π2，k∈Z，求得x≠kπ2+π4，故函数的定义域为{x|x≠kπ2+π4,k∈Z}，故B错误；令kπ−π2<2x0时，g(x)=|(12)x−m|图象是将y=(12)x−m下方的图象翻折到x轴上方，令g(x)=0得|(12)x−m|=0，即x=log12m，①当log12m≥1时，即m≤12时，g(x)在[−3,1]上单调递减，g(x)max=g(−3)=|8−m|，g(x)min=g(1)=|12−m|，所以g(x)的值域B=[|12−m|,|8−m|]，又A⊆B，所以|12−m|≤0|8−m|≥4，解得m=12，②当−30}={x|(x−1)(x−5)<0}=(1,5)，∴∁UA={x|x≤1或x≥5}，∴B∪(∁UA)=(−∞,3]∪[5,+∞)；(2)若选①，则A⊆B，∴2−a≤11+2a≥5，解得a≥2，即实数a的取值范围为[2,+∞)；若选②，由区间定义可知B≠⌀，∴2−a<1+2a，即a>13，∴B⊆A，∴2−a>11+2a<5，解得1313，再根据B⊆A，列出不等式组，求出实数a的取值范围；若选③，则A⊈B且B⊈A，由①②可求出实数a的取值范围．本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．18.【答案】解：(1)平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A(13,y0)，则y0>0．则根据|OP|=19+y02=1，可得y0=223，故点A(13,223)，tanα=22．将角α的终边按逆时针方向旋转π2得到角β，则β=π2+α，故tanβ=tan(π2+α)=−cotα=22313=22．(2)sin(α−π2)cos(π−β)sin(π+β)cos(β+3π2)+sin(3π−α)cos(π2−α)=−cosα⋅(−cosβ)−sinβ⋅sinβ+sinα⋅sinα=cosαcosβ−sin2β+sin2α=cosα⋅(−sinα)−cos2α+sin2α=−tanα−1+tan2α=−227． 【解析】(1)由题意，利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得结果．(2)由题意，利用诱导公式，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．19.【答案】解：(1)由对∀x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)得f(x1)为f(x)的最小值−A，f(x2)为f(x)的最大值A，又f(x2)−f(x1)=4，所以2A=4，A=2，由|x1−x2|min=π2，T2=π2，所以ω=2，由f(x)的图象经过点(0,−1)得2sinφ=−1，可得sinφ=−12，又因为|φ|<π2，所以φ=−π6，所以f(x)=2sin(2x−π6).(2)先求f(x)的增区间，令−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z，解之得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，又x∈[−π4,π4]，所以−π6≤x≤π4，所以f(x)在[−π4,π4]上的增区间为[−π6,π4]，减区间则为[−π4,−π6]，所以f(x)min=f(−π6)=−2，又f(−π4)=2sin(−2π3)=−3，f(π4)=2sin(π3)=3>f(−π4)，所以f(x)max=f(π4)=3，所以f(x)的最小值为−2，最大值为3． 【解析】(1)由题意可求A的值，利用周期公式可求ω的值，由f(x)的图象经过点(0,−1)，可得sinφ=−12，结合|φ|<π2，可求φ的值，进而可得函数解析式．(2)利用正弦函数的单调性和值域即可求解．本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及正弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据题意l为定值，设比例常数为k，则d=kv2l，所以19.6l=k1⋅702，所以k=0.004，所以d=0.004v2l，令0.004v21≥0.51，则v≥55，所以d=0.5l,09451000×55=18955000，②当v≥55时，t=900+0.36v21000v=36105(2500v+v)≥3600105=9250，当且仅当v=50时，等号成立．又18955000>9250，所以当v=50时用时最短．故当速度为50km/h时，该车队通过该隧道用时最短． 【解析】(1)根据题意l为定值，设比例常数为k，则d=kv2l，代入数值，得到k=0.004，令0.004v21≥0.51，则v≥55，最后写出分段函数解析式即可；(2)设通过隧道的时间为t(h)，t=800+10l+9d1000v=900+9d1000v，分当02，解可得m<34或m>54，此时有542时，有|2m−12−32|>|m−32|，解可得m>76或m<12，此时有m<12或m>2；综合可得：m的取值范围为{m|m<12或m>54}. 【解析】(1)根据题意，分析f(x)的对称轴，设f(x)=ax2−4ax+c，由f(2)=f(1)−1求出a的值，由不等式f(x)≤−2x+2有唯一实数解可得c的值，即可得答案；(2)①根据题意，结合二次函数性质分情况讨论，求出g(t)的表达式，综合可得答案；②根据题意，分析可得g(t)的图象关于直线t=32对称，由此按m的值分情况讨论，求出不等式的解集，综合可得答案．本题考查二次函数的性质，涉及函数解析式的求法，属于基础题．22.【答案】解：(1)a=0时，f(x)=2x是R上的奇函数；a≠0时，f(x)是非奇非偶函数；(2)①∵g(x)是偶函数，∴g(−x)=g(x)，∴log2(4−x+a)−bx=log2(4x+a)+bx，即log2(1+a⋅4x)−(2+b)x=log2(4x+a)+bx，∴a=1−(2+b)=b，解得a=1，b=−1；②g(x)=log2(4x+1)−x，g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，证明如下：g′(x)=4xln4(4x+1)ln2−1=2⋅4x4x+1−1=2−24x+1−1=1−24x+1，若x>0，则4x+1>2，24x+1<1，∴1−24x+1>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，且g(x)为偶函数，∴g(x)在(−∞,0)上单调递减． 【解析】(1)可看出a=0时，f(x)为奇函数；a≠0时，f(x)为非奇非偶函数；(2)①根据g(x)为偶函数可得出log2(1+a⋅4x)−(2+b)x=log2(4x+a)+bx，从而求出a=1，b=−1；②可看出g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，求导得到g′(x)=1−24x+1，可看出x>0时，g′(x)>0；x<0时，g′(x)<0，从而得出g(x)的单调性．本题考查了奇函数和偶函数的定义及判断，基本初等函数和复合函数的求导公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，考查了计算能力，属于中档题．
浙公网安备 33021202002483