求隐函数偏导数的几种方法

第27卷第5期2010年1O月贵州大学学报(自然科学版)JournalofGuizhouUniversity(NaturalSciences)V0l_27No．50ct．2010文章编号1000—5269(2010)05—0007—04求隐函数偏导数的几种方法雷安平(贵州轻工职业技术学院，贵州贵阳550003)摘要：本文讨论了一元隐函数、多元隐函数的存在条件及相关结论，给出隐函数求偏导数的直接法、公式法和全微分法等方法和相应的实例。关键词：隐函数；偏导数；方法中图分类号：0172．1文献标识码：A隐函数求偏导数是数学分析重要内容之一，它在数学的很多分支有广泛的应用(如数学物理方程，微分方程等)．利用它可以求平面曲线、空间曲线的切线和曲面的切平面等．数学分析中只给出隐函数求偏导数的直接法和公式法，本文 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 几种常用的隐函数求偏导数方法，便于隐函数求偏导数时的应用．1隐函数存在定理]定理1若二元函数F(x，Y)满足条件(1)F(0，Yo)=0；(2)在闭矩形D={(，Y)lJ一。I≤口，lY—YoI≤b}上，F(x，y)连续，且具有连续偏导数F|，F；(3)x。，Yo)≠0，那么(i)在点(。，)，o)附近可以从函数方程F(，y)=0惟一确定隐函数Y=)，∈O(xo，p)它满足F(x))=0，以及Yo=)；(ii)隐函数Y=，()在∈O(x0，JD)上连续；(iii)隐函数Y=)在EO(x。，p)上具有连续的导数，且d(，Y)(，)，)‘多元隐函数存在定理定理2若n+1元函数F(x，，¨-，，Y)满足条件(1)F(x，：，⋯，：，yO)=0；(2)在闭长方体D={(，，，)II，，一yOI≤b，l一I≤口，i=1，2，⋯，n}j二，函数F(l，2，⋯，，Y)连续，且具有连续偏导数，，i=1，2，⋯，／I,；(3)(，2，⋯，，，，)≠0，那么(i)在点(，：，⋯，：)附近可以从函数方程F(1，2，⋯，，Y)=0惟一确定隐函数Y=。，：，⋯，)，(，，⋯，0)∈0((，：，⋯，0)，P)它满足F(x1，2，⋯，1，2，⋯，))；0，以及yO=，，⋯，0)；(ii)隐函数Y=，：，⋯，)在(?，：，⋯，：)∈D((，，⋯，)，p)上连续；(iii)隐函数Y=，，：，⋯，)在(，：，⋯，：)∈D((，：，⋯，：)，p)上具有连续的偏导数，且Oxi一畿1’2，⋯(1，2，⋯，，)，)’‘’’“方程组确定的隐函数存在定理定理3若函数G(，y，，口)=0和F(x，Y，，)=0满足条件(1)F(xo，Yo，u0，)=0，G(0，Yo，／．L0，0)=0；(2)在闭长方体D={(，Y，，t，)Il一l≤口，I一)，oI≤b，IⅡ一l≤c，l一I≤d}上，收稿日期：2010—06—30作者简介：雷安平(1970一)，女，贵州黄平人，讲师，从事高等数学教学工作，Email：jk3289@sina．com．通讯作者：雷安平。Email：：jk3289@sina．COIl1．·8·贵州大学学报(自然科学版)第27卷函数F，G连续，且具有连续偏导数；(3)在(o，Y0，u0，／3O)，Jacobi行列式．，==l≠0'那么(i)在点(，Yo，。，V0)的附近可以从函数方程组rF(，Y，u，)=0，LC(，Y，，)=0．唯一确定向量值隐函数(。。，它满足rF(x，Y，Y)，g(x，Y)=0，【G(，Y，，，)，g(x，Y))=0．及0=0，Yo)，口0g(x0，yo)；(ii)这个向量值隐函数在(，y)∈D((o，Yo)，p)上连续；(iii)这个向量值隐函数在(，y)∈D((，yo)，p)上具有连续的导数，且I薹vl-,[一L3x3yJ求隐函数偏导数的常用方法2一元隐函数2．1显化法把一元隐函数F(，Y)=0化为显函数Y=)，()后，再利用显函数求导的方法，来求该一元隐函数的导数，即耋==y例1设+In(xy一考)o，求y·解原方程可化为一In(xy一考)，一詈=e一，一e，，——丁，一一利用显函数求导的方法，有(一)，，一(—1)‘2．2公式法把确定的一元隐函数的方程写成F(，Y)=0的形式后，分别把，，，看成单独变量，从一元隐函数方程中求出(，Y)和(，Y)，再由定理1的结论，来求该一元隐函数的导数，即有公式空：一．(1)一‘例2设In可=arctan上，求．解令F(，，，)=n(戈+，，2)一aLrctan÷，则±+Y’=。南一南埒利用公式(1)，有一=一一=———dxFy一y’2．3微商法把一元隐函数F(x，Y)=0中变量，Y看成单独变量，对确定一元隐函数方程F(x，Y)=0的两边同时对求x,y微分，再根据函数的微分与函数的导数的关系，来求该一元隐函数的导数．例3设+ln(一考)=0，求)，·解对方程。+In(，，一考)=0两边同时求微分得2+一ly[d()一d(詈)】=0，一+主(+~ay1+)=0，+一ly(，，+ay一ldy+)=0，V—j2+—(，，+一1，+)=0等=#y第5期雷安平：求隐函数偏导数的几种方法·9·(’．’塞=y)·所以．(·一)y可‘2．4参数法引入参数把一元隐函数F(，Y)=0转换成由参数方程组所决定的函数，再利用参数方程组所确定的函数的求导法则，来求该一元隐函数的导数．椤04设e+ln(x—y)=0，求Y．解令ex+y=t，得+Y=lnt，①由e+ln(x一，，)=0，得ln(x一，，)=一t．所以—Y=e～，r②联立①、②解得rlnt+e-t’数【Y—，由参数方程所确定法则，有+e—r，-业：：tdtdx一1一e-t—一d1+te一‘l+eZ+y(一)一1一te一‘一1一ex+Y(一y)。2．5直接法直接把确定一元隐函数的方程F(，Y)=0中的Y看成是的函数，方程的两边同时对求导数，从而得到一个含有Y的方程：：一Ox—Ox‘Oydx’由此方程解出Y的方法．例5设In碍=arctanY，求dy．’似解方程两边关于求导(此时Y为的函数)得二1．2x+2yy'一一2+，，2一z+(考)’所以一±．一●d一V2．6对数求导法一元隐函数的方程F(x，Y)：0中有或者Y的形式，常用取对数求导的方法．例6设y一)，=0，求dx．解原方程可化为yX，方程两边同时取对数得ylnx=xlny，方程两边同时对求导数得y'lnx+Y=lny+．所以，一lny-．．Z_一翌二一l一兰。x(ylnx一)’即一篓二zdxx(ylnx一)‘3多元隐函数3。1显化法把多元隐函数F(x，：，⋯，，Y)=0化为显函数，，=y(x，X2，⋯，)后，再利用显函数求导法则，来求该多元隐函数导数的方法，即立一!!!：：：!!一i7设2+，，2+=R=Cz≥0)，求，考．解由+Y+=R及≥0知=(7，利用显函数求偏导数的方法得Oz以—．2x、-=日丝一二Oy一碍’3．2直接法若Y=y(x，：，⋯，)且可导时，利用F(x，2，⋯，，y(xl，2，⋯，X,a))=0的符合函数的链式 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf ，有OF(x1，X2，⋯，，y(xl，2，⋯，))以OF(x1，2，⋯，，)，)．OF(x1，2，⋯，，)a．——。十一一Oy一。Oxl一以1，2，⋯，n．例8设e一一2+e-z=0，求，．·l0·贵州大学学报(自然科学版)第27卷(一y)一2缸0z裳=o，-~'(-x)-2aaz，，言=o，rOZ一一曼：la2+efle一Lay2+e盟：一，i：1，2，⋯，ma一=一一．Z=-Z⋯．．x(l，2，⋯，)‘’’⋯f亟：一：一二：一l一=一一=一一=一————lI缸F一2一e一2+e’=一e-xy()，+xdy)一(2+e)dz=0，她一筹dx一dy22，。+e一+e-工’所以一Oz：一．塑：一．Ox2+e一’Oy2+e一3．5对数求导法多元隐函数的方程F(x1，2，⋯，，，，)=0中有y，i=1，2，⋯，n或‘，i=1，2，⋯，rt的形式，常用取对数求导的方法．例11设一=0，求尝，．解原方程可化为=，方程两边同时取对数得xlnz=zlny，上式两边同时对，Y求导数得一lnz—zl眦一‘一⋯一zln'1ny一’nv一一Z．一一z．‘一羔一1nv一)，(一zlny)‘羔一lnv)，【一J4结束语本篇论文首先讨论了隐函数偏导数存在的条件和在隐函数偏导数存在的条件下的结论．其次，给出一元隐函数求偏导数的六种方法、多元隐函数求偏导数的五种方法，最后，通过一元隐函数和多元隐函数的各一道例题的一题多解分别得出结论：一元隐函数求偏导数用公式法或直接法比较简单，多元隐函数求偏导数用全微分法比较简单。参考文献：[1]陈纪修，於崇华，金路．数学分析(下册)[M]．北京：高等教育出版社，2004：163—170．[2]倪敬能．关于隐函数求导问题的归纳与总结[J]．潮湖学院学报，2002，4(3)：3—5．[3]高霞．一类隐函数的求导方法[J]．2008，4：235—235．[4]姚健康．由方程组所确定的隐函数的求导问题[J]．贵阳学院学报，2006，1(1)：2—6．(下转第l5页)y+=一一+r：k以所第5期张广平：无阻尼单摆运动方程的对数函数形式的特解·15·ASpecialSolutiontoMotionalEqutionoftheUndumpedSimplePendulumontheLogarithmicFunctionZHANGGuang—ping(CollegeofPhysicsandElectronicEngineering，Long—DongUniversity，Qingyang745000，China)Abstract：Bychangingsinefunction，ittransfersmotionalequationoftheundampedsimplependulumtonon]in‘earordinarydifferentialequationsoftheequationpolynomialtypeinthepaper．BasedontheFexpansionalmethod．whichcanbesolvedbythepromotiveRiccatiequationmethod，thevariousspecialsolutionoflogarith—micfunctioncanbeobtained．Keywords：undampedsimplependulum；nonlinearequations；Riccatiequationmethod；specialsolutionoflog‘athmi矗lncti0”(上接第1O页)SeveralMethodsofImplicitFunctionLEIAn—ping(GuizhouVocationCollegeofLightIndustry，Guiyang550001，China)Abstract：Theunaryimplicitfunction，themulti—dimensionalimplicitfunctionconditionofexistenceandthere—latedconclusionwerediscussed．Thepartialderivativeofimplicitfunctionofthedirectmethod，theformulamethodandthetotaldifferentialmethodandothermethodsandthecorrespondinginstancesweregiven．Keywords：implicitfunction；partialderivative；method