概率论公式总结-都琳

概率论与数理统计 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载  1  第一章随机事件及其概率随机事件A，样本空间Ω，概率空间F，AA⊂Ω∈，F一、随机事件间的关系和运算1、包含：A⊂B， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示A发生必有事件B发生2、相等：若A⊂B且B⊃A，即A=B，则称事件A与事件B相等。3、互不相容（或互斥）：A∩B=Ф，表示A与B不可能同时发生。对立一定互斥。4、对立（或互逆）:A=Ω-A。表示A不发生的事件。互斥未必对立。5、和事件/并：A∪B，或者A+B（A∩B=Ø），表示A、B中至少有一个发生的事件。6、差事件：ABAABAB−=−=,表示A发生而B不发生的事件。7、积事件/交：A∩B或者AB，表示A、B同时发生的事件。二、运算定律1、交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A。2、结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C；A∩（B∩C）=（A∩B∩C3、分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）；()()()ABCABAC=∩∪∩∪∩。4、德摩根律（对偶率）：BA∪=A∩B；BA∩=A∪B；。z常用结论：AA=Φ；A∪A=Ω；()()ABABABABBAAB=+−=−+−+∪第二章随机变量及其分布一、一维随机变量及其分布1、分布函数:(){}FxPXx=≤分布函数性质:(1)0()1,;FxxR≤≤∈(2)()Fx是单调不减的；(3)()lim()0;xFFx→−∞−∞==()lim()1;xFFx→+∞+∞==概率论与数理统计公式 2  (4)()Fx为右连续，即000lim()(),.xxFxFxxR+→=∈分布函数重要公式:(1){}();PXbFb≤=(2){}()();PaXbFbFa<≤=−(3){}1();PXaFa>=−(4){}();PXbFb−<=(5)()()(),.PXbFbFbbR−==−∈2、离散型随机变量:(){}{}()kkxxFxPXxPXxxR≤=≤==∈∑¾典型离散型随机变量的分布：(1)退化分布(单点分布)：()1PXC==(2)两点分布B(1,p)：1{}(1)(0,1)kkPXkppk−==−=(3)离散型均匀分布：1{}(1,2,,)kPXxknn==="(4)二项分布(,)Bnp：{}(1)kknknPXkCpp−==−(5)泊松分布()Pλ：{}e(0,1,)!kPXkkkλλ−==="(6)几何分布：1{}(1)(1,2,)kPXkppk−==−="(7)超几何分布：{}(0,1,2,,min{,})knkMNMnNCCPXkkMnC−−==="3、连续型随机变量：()()dxFxptt−∞=∫¾密度函数的性质：(1)()0,;pxxR≥∈(2)()d1;pxx+∞−∞=∫(3){}()()()d;baPaXbFbFapxx<≤=−=∫(4){}0.PXc==¾典型连续性随机变量的分布：(1)均匀分布X~U[a,b]1,,()0,,axbpxba⎧≤≤⎪=−⎨⎪⎩其它;0,,(),,1,.xaxaFxaxbbaxb<⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪≥⎪⎩1{}{}0;PXaPXb<=>=D性质：2{}.dcPcXdba−≤<=−D(2)正态分布2~(,)XNμσ概率论与数理统计公式 3  22()21(),.2πxμσpxexσ−−=−∞<<∞;22()21()d2tμxσFxetσπ−−−∞=∫(3) 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布~(0,1)XN221()2πxxeφ−=;221()d.2txxetπ−−∞Φ=∫(1)()1(),xxΦ−=−Φ性质：(0)0.5Φ=；22(2)2πxedx+∞−−∞=∫(4)指数分布~()XExpλ,0,()0,0.xexpxxλλ−⎧>=⎨≤⎩;1,0,()0,0.xexFxxλ−⎧−>=⎨≤⎩二、二维随机变量及分布：1、联合分布函数：(,)Fxy{,}PXxYy=≤≤2、二维离散型随机变量的分布：{,},ijijPXxYyp===(,),ijijxxyyFxyp≤≤=∑∑3、二维连续型随机变量的分布：(,)(,)ddxyFxypuvuv−∞−∞=∫∫¾联合密度函数性质：(1)(,)0;pxy≥(2)(,)dd(,)1;pxyxyF+∞+∞−∞−∞=+∞+∞=∫∫2(,)(3)(,)(,),(,);Fxypxyxypxyxy∂=∂∂若在连续则有(4){(,)}(,)dd.GPXYGpxyxy∈=∫∫¾典型二维随机变量的分布：(1)均匀分布：1,(,),(,)0,.xyDpxyS⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它(2)二维正态分布221212(,)~(,,,,)XYNμμσσρ：2211222221212()2()()()12(1)2121(,)2π1xμρxμyμyμσσρσσpxyeσσρ⎡⎤−−−−−−+⎢⎥−⎢⎥⎣⎦=−(,),xy−∞<<∞−∞<<∞4、边缘分布：()(,){,}{}XFxFxPXxYPXx=+∞=<≤+∞=≤；()(,){,}{}YFyFyPXYyPYy=+∞=<+∞≤=≤概率论与数理统计公式 4  (1)离散型随机变量：边缘分布函数1()(,),iXijxxjFxFxp∞≤==+∞=∑∑1()(,).jYijyyiFyFyp∞≤==+∞=∑∑边缘分布律1{},1,2,,iijijppPXxi∞•=====∑"1{},1,2,,jijjippPYyj∞•=====∑"(2)连续型随机变量：边缘分布函数{}()(,)(,)ddxXFxFxpxyyx+∞−∞−∞=+∞=∫∫边缘密度()(,)d;Xpxpxyy+∞−∞=∫()(,)dYpypxyx+∞−∞=∫(3)结论：二元正态分布的边缘分布是一元正态分布．221212(,)~(,,,,)XYNμμσσρ即若，则221122~(,),~(,).XNYNμσμσ5、独立性：(,)()().XYXYFxyFxFy⇔=和相互独立(1):{,}{}{}ijijXYPXxYyPXxPYy⇔=====、离散型与相互独立(2):(,)()()XYXYpxypxpy⇔=、连续型与相互独立常用结论：(1)()().XYfXgy若和相互独立，则与也相互独立1212(2)(,),,XYNuuσσρ∼（,,），0XYρ⇔=与相互独立6、条件分布（1）离散型：条件分布律{;}{|};{}ijijijjjPXxYypPXxYyPYyp⋅======={,}{|}{}ijijjiiiPXxYypPYyXxPXxp⋅=======（2）连续型：条件概率密度(,)();()XYYpxypxypy=|(x,)(|)()YXXpypyxpx=条件分布函数||(|)(|)d(x,)/()dxxXYXYYFxypxyxpypyx−∞−∞==∫∫||(|)(|)dyYXYXFyxpyxy−∞=∫(x,)/()dyXpypxy−∞=∫（3）常用结论：二元正态分布的条件分布仍为正态分布。概率论与数理统计公式 5  三、随机变量的函数及其分布1、一维随机变量函数的分布()YfX=（1）离散型：{}{()}kkPYyPfXy===()kiiyfxp==∑（2）连续型：方法一：分布函数法：()(){}{()}()d()().YXfxyYFyPYyPfXypxxxFyY≤=≤=≤=−∞<<∞∫再对求导得到的密度函数方法二：公式法：11[()][()],,()0,.XYpfyfyypyαβ−−⎧′<<⎪=⎨⎪⎩注意条件其它常用结论：(1)随()~[0,1]XFxU机变量的分布函数(2)若22~(,)~~(,()).XNμσYaXbNaμbaσ=++，则2、二维随机变量函数的分布(,)ZfXY=（1）和的分布ZXY=+()(,)dZpzpzyyy+∞−∞=−∫(,)dpxzxx+∞−∞=−∫；XY当与独立，()()()dZXYpzpzypyy+∞−∞=−∫()()dXYpxpzxx+∞−∞=−∫（2）差的分布ZXY=−()(,)dZpzpzyyy+∞−∞=+∫(,)dpxxzx+∞−∞=−∫；XY当与独立，()()()dZXYpzpzypyy+∞−∞=+∫()()dXYpxpxzx+∞−∞=−∫（3）商的分布XZY=()||(,)dZpzypyzyy+∞−∞=∫；XY当与独立，()||()()dZXYpzypyzpyy+∞−∞=∫（4）极值分布max{,},MXY=min{,}.NXY=的分布XY当，相互独立,()()()MXYFzFzFz=；()1[1()][1()]NXYFzFzFz=−−−XY当，相互独立且同分布,2()()MFzFz=；2()1[1()]NFzFz=−−概率论与数理统计公式 6  3、常用结论(1)若1122121212~(),~(),~()XPXPXXXXPλλλλ⇒++且相互独立2211222,~(,),~(,)XYXNYNμσμσ（）相互独立且，221212~(,)ZXYNμμσσ=+++则(3)若,~(0,1),~(0,1)/XYXNYNZXY=相互独立且，则服从柯西分布：211()1Zpzzπ=+。第三章随机变量的数字特征一、数学期望：1、定义：离散型：()1;kkkEXxp∞==∑连续型：()()d.EXxpxx+∞−∞=∫2、随机变量函数的数学期望(1)一元函数的数学期望()()()()()1,d,kkkfxpXEYEfXfxpxxX∞=+∞−∞⎧⎪==⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑∫为离散型为连续型(2)二元函数的数学期望¾离散型：()()11,(,)ijijijEZEfXYfxyp∞∞====⎡⎤⎣⎦∑∑¾连续型：()(),EZEfXY=⎡⎤⎣⎦(,)(,)ddfxypxyxy+∞+∞−∞−∞=∫∫3、数学期望的性质：()()()()()()()0001101;2;3;4,.nniiiiiiECCECXCXEaXaEXXYEXYEXEY==⎧=⎪=⎪⎪⎛⎞⎨=⎜⎟⎪⎝⎠⎪⎪⇒=⎩∑∑独立概率论与数理统计公式 7  二、方差： 1、定义：()()()()222.DXEXEXEXEX=−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦离散型：21()[()],kkkDXxEXp∞==−∑连续型：()()2()d,DXxEXpxx+∞−∞=−⎡⎤⎣⎦∫2、性质：(1)设C为常数，则有()0.DC=(2)()()2.DkXkDX=(3)设随机变量X,Y相互独立,且D(X),D(Y)存在,则D(X±Y)=D(X)+D(Y)(4)D(X)=0的充要条件是{}1,.PXCC==为常数(5)()()2,DXEXCC≤−为常数(6)切比谢夫不等式22{}σPXμεε−≥≤22{}1σPXμεε⇔−<≥−,其中E(X)=μ,()2DXσ=三、协方差：1、定义：()()(){}cov,.XYEXEXYEY=−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、性质：(1)()(),,CovXYCovYX=(2)(),()CovXYEXYEXEY=−⋅(3)()(),,CovaXbYabCovXY=⋅(4)()()()1212,,,CovXXYCovXYCovXY+=+(5)若X与Y独立,则(),0.CovXY=(6)()()()()2,DXYDXDYCovXY±=+±()()112cov,.nniiijiiijDXDXXX==<⎛⎞⇒=+⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑(7)(),.CovXXDX=概率论与数理统计公式 8  四、相关系数：1、定义：()()()()cov(,)cov,()()XYXEXYEYXYDXDYDXDYρ⎛⎞−−⎜⎟==⎜⎟⎝⎠2、性质：(1)1.XYρ≤(2){}11.XYPYaXbρ=⇔=+=(3)若X与Y相互独立，则X与Y不相关，反之不真.(4),0cov(,)0()()()()()()XYXYρXYEXYEXEYDXYDXDY⇔=⇔=⇔=⇔+=+不相关z常用结论：(1)0−1分布（两点分布）：X~B(1,p)，分布律1{}(1)kkPXkpp−==−，k=0,1，则E(X)=p,()(1)Dxpp=−(2)二项分布：X~B(n,p)，分布律{}(1)kknknPXkCpp−==−，k=0,1,2,…,n，则E(X)=np,()(1);Dxnpp=−(3)泊松分布：()~XPλ，分布律{}e!kPXkkλλ−==，k=0,1,2,…，则E(X)=D(X)=;λ(4)几何分布：分布律{}1(1)kPXkpp−==−，k=1,2,…则E(X)=1,p()2;qDxp=(5)均匀分布：~(,)XUab：密度函数()1,[,]0,xabpxba⎧∈⎪=−⎨⎪⎩其他，则E(X)=,2ab+D(X)=2();12ab−(6)正态分布：()2~,XNμσ：密度函数()()2221e2πxpxμσσ−−=，则E(X)=,μ()2Dxσ=~(0,1)XN，密度函数()2221e,2πxpxσ−=则240,1,3EXEXEX===推广：2+2-1=12xedxπ∞−∞⇒∫由2+2022xedxπ∞−=∫；22++222220122xxEXxedxxedxππ∞∞−−−∞=⇔=⇒=∫∫由(7)二元正态分布：()()22,,,,1122,~XYNμσμσρ()2121,exp2π1pxyσσρ=−()()()()()22112222211211221xxyyμμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤−−−−−⎪⎪−+⎢⎥⎨⎬−⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭概率论与数理统计公式 9  ()()()T11211exp.22πdetXXμμ−⎧⎫=−−−⎨⎬⎩⎭∑∑(8)指数分布()Expλ：密度函数()e,00,0xxpxxλλ−⎧>=⎨≤⎩，则E(X)=1λ，D(X)=21λ(9)伽玛分布(,)αβΓ：密度函数()10,0e,0Γ()xxpxxxααββα−−≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，+10Γ()=(0)xxedxααα∞−−>∫其中：,1Γ()=2π；E(X)=;αβD(X)=2;αβ(1,)()ExpββΓ=(10)卡方分布2()nχ：密度函数122210()2()20nxnxexnpx−−⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪⎩其它，21(),22nnχ⎛⎞=Γ⎜⎟⎝⎠22(),()2nnEnDnχχ==；21Γ(,)=()22nnχ(11)()()0,XEXEDX⎛⎞−⎜⎟=⎜⎟⎝⎠()()1XEXDDX⎛⎞−⎜⎟=⎜⎟⎝⎠第四章极限定理一、四种收敛性：1、依分布收敛：lim()()LnnnFxFxYY→∞=⇒⎯⎯→2、依概率收敛:lim{||}0PnnnPYYYYε→∞−≥=⇒⎯⎯→3、r阶收敛：lim||0rrnnnEYYYY→∞−=⇒⎯⎯→，均方收敛2r=则平均收敛1r=4、几乎处处收敛：.{lim}1aennnPYYYY→∞==⇒⎯⎯→二、大数定律：1111lim1,nnPininniiPXaXannε→∞==⎧⎫−<=⎯⎯→⎨⎬⎩⎭∑∑即概率论与数理统计公式 10  1、切比谢夫大数定律：12,,,,,,nXXX""设是两两不相关的随机变量序列每一随机变量都有有限的方差并有公共的上界()()()12,,,,nDXCDXCDXC≤≤≤""0,ε>则对任意的恒有1111lim1nniiniiPXEXnnε→∞==⎧⎫−<=⎨⎬⎩⎭∑∑P1111nniiiiXEXnn==⎯⎯→∑∑即2、伯努里大数定理:nnAμ设是次独立重复伯努里试验中事件,,pA发生的次数是事件在每次试验中发生的概率0,ε>则对任意的有lim1nnPpnμε→∞⎧⎫−<=⎨⎬⎩⎭Pnpnμ⎯⎯→即3、泊松大数定理:,Ak如果在一个独立试验序列中事件在第次,knpnμ试验中出现的概率等于以记在前次,0,Aε>试验中事件出现的次数则对任意的P1111lim1,nnnnkknkkPppnnnnμμε→∞==⎧⎫−<=⎯⎯→⎨⎬⎩⎭∑∑即4、辛钦大数定理:12,,,,nXXX"设随机变量独立同分布()()1,2,,,kEXknμ=="且具有数学期望0,ε>则对于任意的都有P1111lim1nniiniiPXXnnμεμ→∞==⎧⎫−<=⎯⎯→⎨⎬⎩⎭∑∑，即三、中心极限定理1、林德贝格-列维中心极限定理12,,,nXXX"独立同分布，E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2≠0则1niinXnYnμσ∗=−=∑()~0,1AN2、棣莫佛-拉普拉斯定理(,),nYBnp∼则()1nnYnpYnpp∗−=−()~0,1AN概率论与数理统计公式 11  第五章数理统计的基本概念与抽样分布一、基本概念：总体：X；样本：12(,,,)nXXX"；样本值：12(,,,)nxxx"；统计量：12(,,,)nfXXX"统计量的观测值：12(,,,)nfxxx"二、常用统计量：1、样本均值:11;niiXXn==∑其中()();EXEX=21();DXDXn=2、样本方差:()22221111=();nnniiiiSXXXnXnn===−−∑∑其中21();nnESDXn−=3、样本标准差:()2211;nnniiSSXXn===−∑4、修正样本方差:*22221111()();11nnniiiiSXXXnXnn===−=−−−∑∑2*();nESDX=5、样本k阶原点矩:11nkkiiAXn==⇒∑1AX=6、样本k阶中心矩:11()nkkiiBXXn==−⇒∑22nBS=7、次序统计量：分布函数()()[()]nnXFxFx=，(1)()1[1()].nXFxFx=−−密度函数()1()[()]()nnXpxnFxpx−=；(1)1()[1()]().nXpxnFxpx−=−8、经验分布函数:(1)12()(1)()0,,(,,,)(),1,.nnkknxxxxxxkFxxxxnnxx+<⎧⎪⎪=≤<=⎨⎪≥⎪⎩"中不超过的个数，则()(,());()()PnnnFxBnFXFxFx⎯⎯→∼概率论与数理统计公式 12  三、正态总体下的三大分布：1、卡方分布2()nχ若12,,,(0,1)nXXXN"∼则2222212()nnXXXnχχ=+++"∼密度函数122210()2()20nxnxexnpx−−⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪⎩其它，+10Γ()=(0)xxedxααα∞−−>∫其中：21Γ(,)=()22nnχ；22(),()2nnEnDnχχ==；2~(,2)nANnnχ2、T分布()tn2~(0,1),~(),,,()/XXNYnXYTtnYnχ=∼且独立则，密度函数12212()1,π2nnxpxxnnn+−+⎛⎞Γ⎜⎟⎛⎞⎝⎠=+−∞<<+∞⎜⎟⎛⎞⎝⎠Γ⎜⎟⎝⎠；()0,ET=()(2).2nDTnn=>−(0,1)TAN∼3、F分布12(,)Fnn2212~()~(),,XnYnXYχχ设，且相互独立，1122/~(,)/XnFFnnYn=则。密度函数:121112221112122221,0()220,nnnnnnnnxxxnnpxnn+−−⎧+⎛⎞Γ⎜⎟⎪⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎝⎠⎪+>⎢⎥⎪⎜⎟⎜⎟=⎛⎞⎛⎞⎨⎝⎠⎝⎠⎣⎦ΓΓ⎜⎟⎜⎟⎪⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎩其它222(),(2),2nEFnn=>−2212221222(2)(),(4)(2)(4)nnnDFnnnn+−=>−−F分布的性质:12211~(,),~(,).FFnnFnnF若则2~(),~(1,)TtnTFn若则概率论与数理统计公式 13  四、上侧分位数:{}PXxαα>=1、(0,1)Nuα标准正态分布的上侧分位数：()1uααΦ=−;1.uuαα−=−0.0250.051.96,1.645.uu==常用：2、ttα分布的上侧分位数：1()().tntnαα−=−45,().ntnuαα>≈当时3、22()()nnαχχ分布的上侧分位数:260()2.nnnnuααχ>≈+当时，4、F分布的上侧分位数12(,)Fnnα：112211(,).(,)FnnFnnαα−=五、抽样分布1、设随机变量列12,,,nXXX"相互独立，且2~(,)(1,2,,),iiiXNinμσ="则22111~(,).nnniiiiiiiiiCXNCCμσ===∑∑∑2、(样本来自单正态总体)2~(,),XNμσ若总体则(1)211~(,/),niiXXNnnμσ==∑(2)2*222(1)nnnSnSσσ−=2211()niiXXσ==−∑2~(1)nχ−则221();nnESnσ−=2222(1)();nnDSnσ−=2*2();nESσ=24*2()1nDSnσ=−2(3).nXS与独立(4)*//1nnXXTSnSnμμ−−==−~(1).tn−3、(样本来自两个正态总体)221122~(,),~(,),若XNYNμσμσXY与相互独立，则22121212(1)~(,)XYNnnσσμμ−−+22212(2)σσσ==当时，121212()()~(2),11wXYTtnnSnnμμ−−−=+−+概率论与数理统计公式 14  1222*2*221122111212()()(1)(1)22nniiiiwXXYYnSnSSnnnn==−+−−+−==+−+−∑∑其中*221112*2222/(3)~(1,1)./SFFnnSσσ=−−第六章参数估计一、点估计：（矩估计、最大似然估计）1、矩估计步骤：(1)计算总体m阶距；(2)令样本m阶矩=总体m阶矩的估计；(3)解方程得到矩估计量。2、最大似然估计：步骤：(1)求似然函数()()1niiLpxθθ==∏；；(2)求出()lnLθ及似然方程()ˆln0iLθθθθ=∂=∂(3)解似然方程得到最大似然估计值()12ˆˆiimxxxθθ="，，，;(4)最后得到最大似然估计量()12ˆˆiimXXXθθ="，，，二、估计量的评判标准：（无偏估计、最小方差无偏估计、有效估计、相合估计）1、无偏估计：ˆ();Eθθ=渐近无偏估计：ˆlim();nEθθ→+∞=偏差ˆ();Eθθ−2、最小方差无偏估计：方差最小的无偏估计，一般的若ˆ();Eθθ=1ˆ();()DnIθθ=其中()()()222ln;ln;0pxpxIEEθθθθθ⎛⎞∂∂⎛⎞==−>⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠，则为最小方差无偏估计3、有效估计：ˆ();ˆ()1Eeθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩渐进有效估计：ˆ();ˆlim()1;nEeθθθ→∞⎧=⎪⎨=⎪⎩其中()1nIeDθθθ∧∧⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎝⎠=⎜⎟⎛⎞⎝⎠⎜⎟⎝⎠有效估计一定是最小方差无偏估计，最小方差无偏估计不一定是有效估计。概率论与数理统计公式 15  4、相合估计（一致估计）：{}{}ˆˆlim1,lim0nnnnPPθθεθθε→∞→∞−<=−≥=或定理：若()ˆlim,nnEθθ→∞=ˆlim()0nnDθ→∞=，则nˆθ是θ的相合估计量。三、区间估计12ˆˆ[,]θθ：112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1nnPθXXXθθXXXα≤≤=−""1、单个正态总体均值μ的置信度为1α−置信区间：（1）方差2σ已知：/2/2,XuXunnαασσ⎛⎞−+⎜⎟⎝⎠（2）方差2σ未知：**/2/2(1),(1)nnααSSXtnXtnnn⎛⎞−−+−⎜⎟⎝⎠2、单个正态总体方差2σ的置信度为1α−置信区间：.)1()1(,)1()1(22/1*22/*22⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−nSnnSnnnααχχ3、两正态总体均值差12μμ−的置信度为1α−置信区间：(1):2221均为已知和σσ.,2221212/2221212/⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−+−−nnuYXnnuYXσσσσαα(2):,222221为未知但σσσσ==22**1122/2121212(1)(1)11(2).2αnSnSXYtnnnnnn⎛⎞−+−⎜⎟−±+−+⎜⎟+−⎝⎠4、两正态总体方差比2212/σσ的置信度为1α−置信区间：⇔⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−)1,1(1,)1,1(1212/1*2*1212/*2*12222nnFSSnnFSSαα.)1,1(),1,1(122/*2*1122/1*2*12222⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−nnFSSnnFSSααz常用结论：(1)样本均值211niiXXn==∑是总体均值EX的矩估计，无偏估计，最小方差无偏估计，相合估计。概率论与数理统计公式 16  (2)样本方差2211()nniiSXXn==−∑是总体方差DX的矩估计，渐近无偏估计。(3)修正样本方差*2211()1nniiSXXn==−−∑是总体方差DX的无偏估计，最小方差无偏估计，渐进有效估计。第七章假设检验一、假设检验的一般步骤(1)提出待检验的原假设H0和备择假设H1；(2)在H0成立的条件下,确定统计量的概率分布；(3)给定检验水平α，确定拒绝域W1;100()()PxWHPtBHαα∈=∈=；(4)根据样本值计算统计量的值；(5)判断：根据统计量的值是否落入拒绝域W1内,作出拒绝或接受H0。二、单正态总体参数的显著性水平为α的假设检验概率论与数理统计公式 17  三、两正态总体参数的显著性水平为α的假设检验注：1/212/2211(1,1)(1,1)FnnFnn−−−=−−αα